اول وابسته

در جبر مجرد، یک اول وابسته الگو:به انگلیسی از مدولی چون $M$ روی حلقه ای چون $R$ ، نوعی ایده‌آل اول از $R$ است که به صورت نابودگر یک زیرمدول (اول) از $M$ ظاهر می شود. مجموعه اول‎های وابسته را اغلب با ${Ass}_{R} (M)$ نشان داده و برخی مواقع به آن قاتل الگو:به انگلیسی نیز می گویند (این کلمه در انگلیسی بازی با نماد این مفهوم و این حقیقت است که اول وابسته یک نابودگر الگو:به انگلیسی مدولی است).^[۱]

در جبر جابجایی، اول های وابسته به تجزیه اولیه ی لسکر-نوتر ایده‌آل حلقه های نوتری جابجایی مرتبط است. بخصوص، اگر یک ایده‌آل $J$ به صورت اشتراک تعداد متناهی از ایده‌آل های اول تجزیه شود، رادیکال این ایده‌آل های اولیه، ایده‌آل های اول اند، و این مجموعه از ایده‌آل ها برابر با ${Ass}_{R} (R / J)$ .الگو:Sfn همچنین مفاهیم اول های منزوی الگو:به انگلیسی و اول های نشانده شده الگو:به انگلیسی به مفهوم "اول‌های وابسته" ارتباط دارد.

تعاریف

یک $R$ -مدول $N$ را مدول اول گویند اگر برای هر زیرمدول $N^{'}$ از $N$ داشته باشیم ${Ass}_{R} (N) = {Ass}_{R} (N^{'})$ . برای هر مدول اول $N$ ، نابودگر آن یعنی ${Ass}_{R} (N)$ ، یک ایده‌آل اول در $R$ است.الگو:Sfn

یک اول وابسته از یک $R$ -مدول $M$ ، ایده‌آلی به صورت ${Ann}_{R} (N)$ است که در آن $N$ زیر مدول اولی از $M$ است. در جبر جابجایی، تعریف رایج متفاوت اما معادل است با:الگو:Sfn اگر $R$ جابجایی باشد، ایده‌آل اول وابسته ای چون $P$ از $M$ ، ایده‌آل اولی به فرم ${Ann}_{R} (m)$ است که $m$ ، عنصر ناصفری از $M$ است، یا به طور معادل $R / P$ یک ریخت با زیر مدولی از $M$ است.

در حلقه جابجایی $R$ ، عناصر مینیمال درون ${Ass}_{R} (M)$ (براساس رابطه شمول نظریه مجموعه ای) را اول های منزوی میگویند، در حالی که بقیه اول های وابسته (یعنی آن هایی که به طور محض شامل اول های وابسته ای باشن) را اول های نشانه شده نامند.

یک مدول را هم-اولیه الگو:به انگلیسی گویند اگر برای یک $m \in M$ از $x m = 0$ نتیجه شود که برای عدد صحیح مثبتی $x^{n} M = 0$ . یک مدول متناهیاً تولید شده $M$ روی یک حلقه نوتری جابجایی هم-اولیه است اگر و تنها اگر دقیقاً شامل یک اول وابسته باشد. یک زیرمدول $N$ از $M$ را $P$ -اولیه گویند اگر $M / N$ نسبت به $P$ هم-اولیه باشد. یک ایده‌آل $I$ ، ایده‌آلی $P$ -اولیه است اگر و تنها اگر ${Ass}_{R} (R / I) = P$ ؛ لذا، مفهوم هم-اولیه تعمیمی از ایده‌آل اولیه است.