ماتریس یک‌ها

در ریاضیات، ماتریس یک‌ها ماتریسی است که در آن همه‌ی درایه‌ها برابر با عدد یک است. مثال‌هایی از اینگونه ماتریس‌ها: الگو:وسط‌چین

$J_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right);J_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right);J_{2,5}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right);J_{1,2}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right).$

ویژگی‌ها

$J_{n,n}$ را یک ماتریس الگو:ریاضی از یک‌ها در نظر بگیرید، خواص زیر را برای J داریم :

• اثر J برابر n است، همچنین تنها زمانی دترمینان ناصفر (در اینجا برابر ۱) است که n برابر ۱ باشد ، در غیر این صورت دترمینان برابر صفر می‌شود.
• چند جمله‌ای مشخصه J برابر $(x-n)x^{n-1}$ است.
• رتبه J برابر ۱ است و دو مقدار ویژه دارد، یکی n با مرتبه تکرار 1 و دیگری 0 با مرتبه تکرار الگو:ریاضی .
• برای هر $k=1,2,\dots .$ داریم $J^k=n^{k-1}J$ .
• در ضرب هادامار، J عنصر خنثی است .

اگر J را به عنوان یک ماتریس در اعداد حقیقی بررسی کنیم، ویژگی‌های زیر نیز برقرارند :

• ماتریس $\frac{1}{n}J$ ماتریسی خودتوان است .
• الگو:پم J برابر $\exp (J)=I+\frac{e^n-1}{n}J$ است .

کاربردها

ماتریس یک‌ها در زمینه ترکیبیات کاربردهایی دارند، به طور خاص‌تر در استفاده از روش‌های جبری برای نظریه گراف . به عنوان مثال، اگر A ماتریس همسایگی گراف n-راسی و بدون جهت G و J ماتریس یک‌ها از همان بُعد باشند، آنگاه G یک گراف منتظم است اگر و تنها اگر AJ = JA .

جستارهای وابسته

• الگو:پم ، ماتریسی که در آن همه‌ی درایه‌ها صفر هستند.
• الگو:پم