فرمول براهماگوپتا

در هندسه اقلیدسی، فرمول براهْماگوپتا دستوری برای یافتن مساحت هر چهار ضلعی محاطی با دانستن طول اضلاع یک چهارضلعی دلخواه است.

فرمول

فرض کنیم مساحت چهارضلعی الگو:Math باشد و طول اضلاع آن الگو:Math, الگو:Math, الگو:Math, الگو:Math باشد. در این صورت فرمول براهماگوپتا بدین قرار است:

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

که در آن الگو:ریاضی برابر نصف محیط است:

$s=\frac{a+b+c+d}{2}.$

این فرمول تعمیمی از فرمول هرون است. مثلث را می‌توان چهار ضلعی ای در نظر گرفت که طول یکی از اضلاع آن صفر است. از این منظر، با نزدیک کردن الگو:ریاضی به صفر، چهار ضلعی محاطی به یک مثلث محاطی تبدیل می‌شود (همه مثلث‌ها محاطی هستند)، و فرمول برهماگوپتا به فرمول هرون تبدیل می‌شود.

اگر نخواهیم از نصف محیط در فرمول براهماگوپتا استفاده کنیم فرمول بدین صورت خواهد بود:

$K=\frac{1}{4}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}.$

هم‌ارز دیگر آن این است:

$K=\frac{\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2{)}^2+8abcd-2(a^4+b^4+c^4+d^4)}}{4}\cdot$

اثبات

نمودار مرجع

اثبات مثلثاتی

مساحت چهار ضلعی محاطی الگو:ریاضی برابر با حاصل جمع مساحت مثلث‌های الگو:ریاضی و الگو:ریاضی است:

$=\frac{1}{2}pq\sin A+\frac{1}{2}rs\sin C.$

اما از آنجایی که الگو:ریاضی یک چهار ضلعی محاطی است پس، الگو:ریاضی.

از این رو الگو:ریاضی

پس:

$K=\frac{1}{2}pq\sin A+\frac{1}{2}rs\sin A$

$K^2=\frac{1}{4}(pq+rs{)}^2{\sin }^{2}A$

$4K^2=(pq+rs{)}^2(1-{\cos }^{2}A)$

برای پیدا کردن ضلع مشترک الگو:ریاضی در الگو:ریاضی و الگو:ریاضی از قانون کسینوس‌ها استفاده می‌کنیم:

$p^2+q^2-2pq\cos A=r^2+s^2-2rs\cos C.$

با توجه بهالگو:ریاضی (از آنجایی که زوایای الگو:ریاضی و الگو:ریاضی مکمل هستند) داریم:

$2(pq+rs)\cos A=p^2+q^2-r^2-s^2.$

رابطهٔ بالا را در معادله ای که ابتدا به دست آوردیم جایگذاری می‌کنیم:

$4K^2=(pq+rs{)}^2-\frac{1}{4}(p^2+q^2-r^2-s^2{)}^2$

$16K^2=4(pq+rs{)}^2-(p^2+q^2-r^2-s^2{)}^2.$

سمت راست به فرم الگو:ریاضی است پس توان نوشت:

$[2(pq+rs)-p^2-q^2+r^2+s^2][2(pq+rs)+p^2+q^2-r^2-s^2]$

که با ساده کردن عبارت در براکت‌ها، می‌دهد:

$=[(r+s{)}^2-(p-q{)}^2][(p+q{)}^2-(r-s{)}^2]$

$=(q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s).$

نیم قطر(الگو:ریاضی) را در فرمول وارد می‌کنیم:

$16K^2=16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s).$

از دو طرف جذر می‌گیریم:

$K=\sqrt{(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}.$

اثبات غیر مثلثاتی

اثبات جایگزین و غیر مثلثاتی نیز وجود دارد که از دو کاربرد فرمول هرون در مثلث‌های مشابه استفاده می‌کند.

استفاده در چهارضلعی‌های غیر محاطی

تصویری از یک چهار ضلعی

در مورد چهارگوشه‌های غیر محاطی، فرمول برهماگوپتا قابل تعمیم است ولی باید اندازهٔ دو زاویه مقابل چهار ضلعی را در نظر بگیریم:

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\theta }$

گه در آن الگو:ریاضی برابر میانگین دو زاویهٔ مقابل است. (توجه کنید که انتخاب هر کدام از جفت زاویه‌های مقابل تأثیری در نتیجه ندارد: اگر دو زاویه مقابل دیگر گرفته شود، میانگین آنها برابر با الگو:ریاضی می‌شود و از آنجایی که الگو:ریاضی، الگو:ریاضی. نتیجه فرقی نمی‌کند) این فرمول تعمیم یافته با نام فرمول Bretschneider نیز شناخته می‌شود.

$abcd{\cos }^2\theta =abcd{\cos }^2\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,$

یک فرمول مرتبط، که Coolidge آن را اثبات کرده‌است و با آن می‌توان مساحت تمام چهار ضلعی‌های محدب را حساب کرد. این فرمول است

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}$

که در آن الگو:ریاضی و الگو:ریاضی طول قطرهای چهار ضلعی است. در یک چهارگوش محاطی، بر اساس قضیه بطلمیوس الگو:ریاضی، و با این جایگذاری فرمول Coolidge به فرمول براهما گوپتا تقلیل میابد.

قضایای مرتبط

• فرمول هرون برای مساحت مثلث حالت خاصی است که وقتی الگو:ریاضی باشد حاصل می‌شود.
• رابطه بین فرم اصلی و تعمیم یافتهٔ فرمول برهماگوپتا شبیه به نحوه تعمیم قضیه فیثاغورس به قانون کسینوس‌ها.
• فرمول‌های حالت بسته برای محاسبهٔ چند ضلعی‌های محاطی وجود دارند که به‌طور فزاینده ای پیچیده هستند.

پیوند به بیرون

• الگو:MathWorld

• الگو:Mathworld