عدد تاکسی

در داستانی نقل شده از گادفری هارولد هاردی، سرینیواسا رامانوجان (در تصویر) هنگامی که بیمار بود ایده اعداد تاکسی را مطرح کرد.

در ریاضی n امین عدد تاکسی الگو:انگلیسی کوچکترین عدد طبیعی است که بتوان آن را به n شکل متفاوت به صورت حاصل جمع مکعب دو عدد طبیعی نشان داد. مشهورترین عدد تاکسی عدد ۱۷۲۹ است که دومین عدد تاکسی است.

۱۷۲۹ = Ta(2) = ۱^۳ + ۱۲^۳ = ۹^۳ + ۱۰^۳

تاریخچه

مفهوم عدد تاکسی را Bernard Frénicle de Bessy برای اولین بار در سال ۱۶۵۷ مطرح کرد. (و عدد تاکسی شماره دو یعنی همان عدد ۱۷۲۹ را نیز ذکر کرد)

اما عدد ۱۷۲۹ در اوائل قرن بیستم مشهور شد. در داستانی که در سال ۱۹۳۸ هاردی و E. M. Wright اثبات کردند که به ازای هر عدد طبیعی یک عدد تاکسی موجود است و اثبات آنها به شکلی بود که می‌توانست اعدادی که این خاصیت را دارند تولید کند. به هر حال اثبات نمی‌توانست مشخص کند که اعداد تولید شده کوچکترین هستند پس در واقع نمی‌توانست مقداد واقعی Ta(n) را بدهد.

اعداد تاکسی شناخته شده

تا به حال فقط شش عدد تاکسی شناخته شده‌اند:

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(1)=2& =1^3+1^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(2)=1729& =1^3+12^3\\ & =9^3+10^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(3)=87539319& =167^3+436^3\\ & =228^3+423^3\\ & =255^3+414^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(4)=6963472309248& =2421^3+19083^3\\ & =5436^3+18948^3\\ & =10200^3+18072^3\\ & =13322^3+16630^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(5)=48988659276962496& =38787^3+365757^3\\ & =107839^3+362753^3\\ & =205292^3+342952^3\\ & =221424^3+336588^3\\ & =231518^3+331954^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(6)=24153319581254312065344& =582162^3+28906206^3\\ & =3064173^3+28894803^3\\ & =8519281^3+28657487^3\\ & =16218068^3+27093208^3\\ & =17492496^3+26590452^3\\ & =18289922^3+26224366^3\end{array}$

کران بالا برای اعداد تاکسی

اعداد تاکسی زیر کران بالای شناخته شده‌ای دارند:

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{Ta}(7)& \le & 24885189317885898975235988544& =& 2648660966^3+1847282122^3\\ & & & =& 2685635652^3+1766742096^3\\ & & & =& 2736414008^3+1638024868^3\\ & & & =& 2894406187^3+860447381^3\\ & & & =& 2915734948^3+459531128^3\\ & & & =& 2918375103^3+309481473^3\\ & & & =& 2919526806^3+58798362^3\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{Ta}(8)& \le & 50974398750539071400590819921724352& =& 299512063576^3+288873662876^3\\ & & & =& 336379942682^3+234604829494^3\\ & & & =& 341075727804^3+224376246192^3\\ & & & =& 347524579016^3+208029158236^3\\ & & & =& 367589585749^3+109276817387^3\\ & & & =& 370298338396^3+58360453256^3\\ & & & =& 370633638081^3+39304147071^3\\ & & & =& 370779904362^3+7467391974^3\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{Ta}(9)& \le & 136897813798023990395783317207361432493888& =& 41632176837064^3+40153439139764^3\\ & & & =& 46756812032798^3+32610071299666^3\\ & & & =& 47409526164756^3+31188298220688^3\\ & & & =& 48305916483224^3+28916052994804^3\\ & & & =& 51094952419111^3+15189477616793^3\\ & & & =& 51471469037044^3+8112103002584^3\\ & & & =& 51518075693259^3+5463276442869^3\\ & & & =& 51530042142656^3+4076877805588^3\\ & & & =& 51538406706318^3+1037967484386^3\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{Ta}(10)& \le & 7335345315241855602572782233444632535674275447104& =& 15695330667573128^3+15137846555691028^3\\ & & & =& 17627318136364846^3+12293996879974082^3\\ & & & =& 17873391364113012^3+11757988429199376^3\\ & & & =& 18211330514175448^3+10901351979041108^3\\ & & & =& 19262797062004847^3+5726433061530961^3\\ & & & =& 19404743826965588^3+3058262831974168^3\\ & & & =& 19422314536358643^3+2059655218961613^3\\ & & & =& 19426825887781312^3+1536982932706676^3\\ & & & =& 19429379778270560^3+904069333568884^3\\ & & & =& 19429979328281886^3+391313741613522^3\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{Ta}(11)& \le & 2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632& =& 11410505395325664056^3+11005214445987377356^3\\ & & & =& 12815060285137243042^3+8937735731741157614^3\\ & & & =& 12993955521710159724^3+8548057588027946352^3\\ & & & =& 13239637283805550696^3+7925282888762885516^3\\ & & & =& 13600192974314732786^3+6716379921779399326^3\\ & & & =& 14004053464077523769^3+4163116835733008647^3\\ & & & =& 14107248762203982476^3+2223357078845220136^3\\ & & & =& 14120022667932733461^3+1497369344185092651^3\\ & & & =& 14123302420417013824^3+1117386592077753452^3\\ & & & =& 14125159098802697120^3+657258405504578668^3\\ & & & =& 14125594971660931122^3+284485090153030494^3\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{Ta}(12)& \le & 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152& =& 33900611529512547910376^3+32696492119028498124676^3\\ & & & =& 38073544107142749077782^3+26554012859002979271194^3\\ & & & =& 38605041855000884540004^3+25396279094031028611792^3\\ & & & =& 39334962370186291117816^3+23546015462514532868036^3\\ & & & =& 40406173326689071107206^3+19954364747606595397546^3\\ & & & =& 41606042841774323117699^3+12368620118962768690237^3\\ & & & =& 41912636072508031936196^3+6605593881249149024056^3\\ & & & =& 41950587346428151112631^3+4448684321573910266121^3\\ & & & =& 41960331491058948071104^3+3319755565063005505892^3\\ & & & =& 41965847682542813143520^3+1952714722754103222628^3\\ & & & =& 41965889731136229476526^3+1933097542618122241026^3\\ & & & =& 41967142660804626363462^3+845205202844653597674^3\end{array}$

منابع

• الگو:یادکرد ویکی