نابرابری گرانوال

نابرابری گرانوال که در ریاضیات به آن لم گرانوال یا نابرابری گرانوال- بلمن گفته می‌شود، این امکان را می‌دهد که یک تابع که نابرابری دیفرانسیلی یا نابرابری انتگرالی خاصی را ارضا می‌کند، به وسیلهٔ تابع پاسخ معادلهٔ دیفرانسیل و یا معادلهٔ انتگرالی متناظر محدود کنیم. نابرابری گرانوال ابزار مهمی برای رسیدن به تخمین‌های مناسب در نظریهٔ معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل تصادفی است. فرم دیفرانسیلی این نابرابری در سال ۱۹۱۹ توسط گرانوال و فرم انتگرالی آن در سال ۱۹۴۳ توسط ریچارد بلمن به اثبات رسید.

لم گرانوال

فرض کنید تابع $g(t)$ یک تابع حقیقی‌مقدار و پیوسته باشد که در نابرابری $g(t)\ge 0$ صدق می‌کند،و هم‌چنین الگو:چپ‌چین $g(t)\le C+K\underset{0}{\overset{t}{\int }}g(s)ds$ الگو:پایان چپ‌چین باشد، که $t\in [0,a]$ و $C$ و $K$ ثوابت مثبت باشند، آنگاه برای $t\in [0,a]$ داریم: الگو:چپ‌چین $g(t)\le C{e}^{Kt}$ الگو:پایان چپ‌چین

اثبات

فرض کنید برای تمام $t\in [0,a]$ داریم: $G(t)=C+K\underset{0}{\overset{t}{\int }}g(s)ds$ ، حال $G(t)\ge g(t)$ و $G(t)>0$ است برای تمام $t\in [0,a]$ . از قضیه‌ی اساسی حسابان نتیجه می‌شود که: الگو:چپ‌چین $G^{\prime }(t)=Kg(t)$ الگو:پایان چپ‌چین آنگاه نتیجه می‌شود که : الگو:چپ‌چین $\frac{G^{\prime }(t)}{G(t)}=\frac{Kg(t)}{G(t)}\le \frac{KG(t)}{G(t)}\le K$ الگو:پایان چپ‌چین برای تمام $t\in [0,a]$ . و این رابطه برابر است با: الگو:چپ‌چین $\frac{d}{dt}(logG(t))\le K$ الگو:پایان چپ‌چین یا الگو:چپ‌چین $logG(t)\le Kt+logG(0)$ الگو:پایان چپ‌چین یا الگو:چپ‌چین $G(t)\le G(0)e^{Kt}=C{e}^{Kt}$ الگو:پایان چپ‌چین که برای تمام $t\in [0,a]$ نتیجه می‌شود که $g(t)\le C{e}^{Kt}$