توابع نویل تتا

توابع نویل تتا نام خود را از اریک هرولد نویل گرفته‌است،^[۱] این توابع به این شکل تعریف می‌شوند:^[۲]^[۳] الگو:وسط‌چین

θ_{c} (z, m) = \frac{\sqrt{2 π} q (m)^{1 / 4}}{m^{1 / 4} \sqrt{K (m)}} \sum_{k = 0}^{\infty} (q (m))^{k (k + 1)} \cos (\frac{(2 k + 1) π z}{2 K (m)})

θ_{d} (z, m) = \frac{\sqrt{2 π}}{2 \sqrt{K (m)}} (1 + 2 \sum_{k = 1}^{\infty} (q (m))^{k^{2}} \cos (\frac{π z k}{K (m)}))

θ_{n} (z, m) = \frac{\sqrt{2 π}}{2 (1 - m)^{1 / 4} \sqrt{K (m)}} (1 + 2 \sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k} (q (m))^{k^{2}} \cos (\frac{π z k}{K (m)}))

θ_{s} (z, m) = \frac{\sqrt{2 π} q (m)^{1 / 4}}{m^{1 / 4} (1 - m)^{1 / 4} \sqrt{K (m)}} \sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{k} (q (m))^{k (k + 1)} \sin (\frac{(2 k + 1) π z}{2 K (m)})

الگو:پایان وسط‌چین در اینجا $K (m)$ انتگرال بیوی کامل نوع اول است، $K^{'} (m) = K (1 - m)$ و $q (m) = e^{- π K^{'} (m) / K (m)}$ نومِ بیضوی است.

ارتباط با سایر توابع

توابع نویل تتا می‌توانند توسط توابع ژاکوبی تتا هم نمایش داده شوند^[۴] الگو:وسط‌چین

θ_{s} (z | τ) = θ_{23} (0 | τ) θ_{1} (z^{'} | τ) / θ'_{1} (0 | τ)

θ_{c} (z | τ) = θ_{2} (z^{'} | τ) / θ_{2} (0 | τ)

θ_{n} (z | τ) = θ_{4} (z^{'} | τ) / θ_{4} (0 | τ)

θ_{d} (z | τ) = θ_{3} (z^{'} | τ) / θ_{3} (0 | τ)

الگو:پایان وسط‌چین در اینجا $z^{'} = z / θ_{3} (0 | τ)^{2}$ .

توابع نویل تتا با توابع بیضوی ژاکوبی مرتبط هستند. اگر $p q (u, m)$ یک تابع بیضوی ژاکوبی باشد آنگاه: الگو:وسط‌چین

pq (u, m) = \frac{θ_{p} (u, m)}{θ_{q} (u, m)}

اگر $m = 0.3$ و $z = 2.5$ را در تعاریف تابع نویل تتا جایگذاری کنیم به مقادیر پایین می‌رسیم.