تابع بسل-کلیفورد

در تجزیه و تحلیل ریاضی، تابع بِسِل-کلیفورد، که به نام فریدریش بسل و ویلیام کینگدون کلیفورد نامگذاری شده‌است، یک تابع کل از دو متغیر مختلط است می‌تواند برای نظریه توابع بسل مورد استفاده قرار بگیرد. اگر الگو:وسط‌چین $\pi (x)=\frac{1}{\mathrm{\Pi }(x)}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x+1)}$$\pi (x)=\frac{1}{\mathrm{\Pi }(x)}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x+1)}$ الگو:پایان وسط‌چین یک تابع کل باشد که با استفاده از تابع گاما متقابل تعریف می‌شود، آنگاه تابع بِسِل-کلیفورد توسط سری پایین تعریف می‌شود: الگو:وسط‌چین

${𝒞}_n(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\pi (k+n)\frac{z^k}{k!}$

الگو:پایان وسط‌چین نسبت عبارات پشت سر هم $z/k(n+k)$ است، که برای مقادیر $n$ و $z$با افزایش $k$ به سمت صفر میل می‌کند. با استناد به آزمون نسبت، می‌توان نتیجه گرفت که این سری به‌طور مطلق برای تمام مقادیر $n$ و $z$و به‌طور یکنواخت برای تمام مقادیر محدود $|z|$ همگراست و ازین رو تابع بِسِل-کلیفورد یک تابع کامل از دو متغیر $n$ و $z$ است.

معادله دیفرانسیل تابع بسل-کلیفورد

با مشتق گرفتن از تابع ${𝒞}_n(x)$ نسبت به $x$ به این نتیجه می‌رسیم که معادله خطی درجه دوم و همگن برای این تابع صدق می‌کند به این معنی که: الگو:وسط‌چین

$x{y}^{″}+(n+1)y^{\prime }=y.$

الگو:پایان وسط‌چین این تابع، نوع تعمیم‌یافته فوق‌هندسی است و تابع بِسِل-کلیفورد در واقعی ضریبی از تابع فوق‌هندسی پوشهامر-بارنِس است، به عبارت دیگر: الگو:وسط‌چین

${𝒞}_n(z)=\pi (n){}_0{F}_1(;n+1;z).$${𝒞}_n(z)=\pi (n){}_0{F}_1(;n+1;z).$

ارتباط با توابع بسل

تابع بسل از نوع اول را می‌توان با استفاده از تابع بسل-کلیفورد به شکل زیر تعریف کرد: الگو:وسط‌چین

$J_n(z)={\left(\frac{z}{2}\right)}^n{𝒞}_n(-\frac{z^2}{4});$

الگو:پایان وسط‌چین زمانی که $n$ یک عدد صحیح نیست، می‌توانیم از این معادله نتیجه بگیریم که تابع بسل، تابع کامل است. به‌طور مشابه، تابع اصلاح شده بسل از نوع اول می‌تواند به صورت زیر تعریف شود الگو:وسط‌چین

$I_n(z)={\left(\frac{z}{2}\right)}^n{𝒞}_n\left(\frac{z^2}{4}\right).$$I_n(z)={\left(\frac{z}{2}\right)}^n{𝒞}_n\left(\frac{z^2}{4}\right).$

الگو:پایان وسط‌چین البته این روش می‌تواند معکوس شود، به گونه ای که ما می‌توانیم تابع بسل-کلیفورد را با استفاده از تابع اصلاح شده بسل تعریف کنیم الگو:وسط‌چین

${𝒞}_n(z)=z^{-n/2}{I}_n(2\sqrt{z});$

الگو:پایان وسط‌چین پس از آن باید نشان داده شود که $𝒞$ تابع کامل است.

رابطه بازگشتی

می‌توان با استفاده از مشتق گرفتن از حساب تابع بسل-کلیفورد نشان داد که: الگو:وسط‌چین $\frac{d}{dx}{𝒞}_n(x)={𝒞}_{n+1}(x).$ الگو:پایان وسط‌چین و از این طریق معدله دیفرانسیل تابع را به شکل پایین بازنویسی کرد: الگو:وسط‌چین $x{𝒞}_{n+2}(x)+(n+1){𝒞}_{n+1}(x)={𝒞}_n(x),$ الگو:پایان وسط‌چین با استفاده از این معادله می‌توان به یک رابطه بازگشتی برای تابع بسل-کلیفورد دست یافت: الگو:وسط‌چین $\frac{{𝒞}_{n+1}(x)}{{𝒞}_n(x)}=\frac{1}{n+1+\frac{x}{n+2+\frac{x}{n+3+\frac{x}{\ddots }}}}.$ الگو:پایان وسط‌چین می‌توان نشان داد که این عبارت برای تمام حالات همگراست.

تابع مولد

اگر ما سری‌های همگرای $\exp (t)$ و $\exp (z/t)$ را در هم ضرب کنیم، $\exp (t+z/t)$ یک سری مطلقاً همگرا خواهد بود. اگر این سری را بسط بدهیم به معادله پایین می‌رسیم. الگو:وسط‌چین

$\exp (t+\frac{z}{t})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{t}^n{𝒞}_n(z).$$\exp (t+\frac{z}{t})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{t}^n{𝒞}_n(z).$

الگو:پایان وسط‌چین از تابع مولد می‌توان برای بدست آوردن فرمول‌های دیگر استفاده کرد، به ویژه ما می‌توانیم از فرمول انتگرالی کوشی استفاده کنیم و ${𝒞}_{𝓃}$را برای برای عدد صحیح $n$ بدست بیاوریم: الگو:وسط‌چین

${𝒞}_n(z)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{\exp (t+z/t)}{t^{n+1}}dt=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\exp (z\exp (-i\theta )+\exp (i\theta )-ni\theta )d\theta .$