ریشه واحد

پنجمین ریشهٔ واحد (نقاط آبی) در صفحه مختلط

ریشه واحد (الگو:Lang-en) یا عدد دو مواور در ریاضیات، هر عدد مختلطی است که وقتی به توان عدد صحیح مثبت n برسد حاصل آن ۱ بشود. از ریشه‌های واحد در بسیاری از رشته‌های ریاضیات استفاده می‌شود اما در نظریهٔ اعداد، نظریه کاراکتر گروه، و تبدیل فوریه گسسته نقش مهمتری دارند.

ریشه واحد را در هر میدانی می‌توان تعریف کرد. اگر مشخصه میدان صفر باشد، ریشه‌ها اعداد مختلطی هستند که عدد صحیح جبری هم هستند. برای میدان‌های دارای مشخصه مثبت، ریشه‌ها به یک میدان متناهی تعلق دارند، و برعکس، هر عنصر غیرصفر از یک میدان متناهی یک ریشه واحد است. هر میدان بسته جبری دقیقا شامل الگو:Mvar تا ریشه الگو:Mvarام از واحد است، بجز وقتیکه الگو:Mvar یک مضرب از مشخصه (مثبت) میدان باشد.

تعریف کلی

نمایش هندسی ریشه دوم تا ششم از یک عدد مختلط معمولی در حالت قطبی. برای ریشه nام از واحد، این دو تنظیم را انجام دهید: الگو:Mvar = 1 و الگو:Mvar = 0. ریشه اصلی به رنگ سیاه نمایش داده شده است.

یک ریشه الگو:Mvarام از واخد، که در آن الگو:Mvar یک عدد صحیح مثبت است، یک عدد الگو:Mvar است که معادله را زیر برآورده می‌کند:

$z^n=1.$

بجز وقتیکه چیز دیگری تعیین شود، ریشه‌های واحد را می‌توان اعداد مختلط درنظر گرفت (شامل عدد 1، و عدد -1 اگر الگو:Mvar زوج باشد)، که مختلطی با قسمت موهومی صفر هستند، و در این حالت، ریشه‌های الگو:Mvarام از واحد به اینصورت هستند

$\exp \left(\frac{2k\pi i}{n}\right)=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n},k=0,1,\dots ,n-1.$

با این حال، معادله تعریفی برای ریشه‌های واحد روی هر میدان الگو:Math (و حتی روی هر حلقه‌ای) معنادار هستند، و این موضوع امکان درنظر گرفتن ریشه‌های واحد را در الگو:Math را می‌دهد. میدان الگو:Math هر چه باشد، ریشه‌های واحد در الگو:Math دو حالت دارند: یا اعداد مختلط هستند، که وقتیکه مشخصه الگو:Math صفر باشد رخ می‌دهد، یا در غیر اینصورت، به یک میدان متناهی تعلق دارند. برعکس، هر عنصر غیرصفر در یک میدان متناهی یک ریشه واحد در آن میدان است. ریشه واحد در پیمانه n و میدان متناهی را برای جزییات بیشتر ببینید.

یک ریشه الگو:Mvarام واحد در صورتی اولیه (primitive) است که یک ریشه الگو:Mvarام واحد برای یک الگو:Mvar کوچکتر نباشد، یعنی اگر

$z^n=1\text{and}{z}^m\ne 1\text{ for }m=1,2,3,\dots ,n-1.$

اگر n یک عدد اول باشد، آنوقت همه ریشه‌های الگو:Mathام واحد، بجز 1، اصلی هستند.

در فرمول بالا به زبان توابع نمایی و مثلثاتی، ریشه‌های اصلی الگو:Mvarام واحد آن‌هایی هستند که در آن الگو:Mvar و الگو:Mvar اعداد صحیح متباین هستند.

بخش‌های آتی این مقاله با ریشه‌های واحد مختلط مطابقت دارند. برای حالتی که ریشه‌های واحد در میدان‌هایی با مشخصه غیرصفر هستند، میدان متناهی § ریشه‌های واحد را ببینید. برای حالتی که ریشه‌های واحد در حلقه‌هایی از اعداد صحیح پیمانه‌ای هستند، ریشه واحد در پیمانه n را ببینید.

جستارهای وابسته

• مجموع رامانوجان

منابع

• الگو:یادکرد-ویکی