ابربیضی

نمونه هایی از ابربیضی با $a=1,b=0.75$

ابربیضی که به یاد گابریل لامه با نام منحنی لامه نیز شناخته می‌شود، منحنی بسته‌ای مشابه بیضی است که جنبه‌های هندسی آن شامل نیم‌قطر بزرگ، نیم‌قطر کوچک و تقارن حول آنها را حفظ می‌کند، ولی شکل کلی متفاوتی دارد.

در دستگاه مختصات دکارتی، مجموعه نقاط روی منحنی معادلهٔ زیر را ارضا می‌کنند: الگو:چپ‌چین

${\left|\frac{x}{a}\right|}^n+{\left|\frac{y}{b}\right|}^n=1,$

الگو:پایان چپ‌چین که در آن n و a و b اعدادی مثبت هستند و خط‌های عمودی پیرامون یک عدد، قدر مطلق آن را نشان می‌دهند.

موارد ویژه

این فرمول به تعریف منحنی بسته‌ای می‌پردازد که در مستطیلی به ابعاد 2a و 2b محاط است. پارامترهای a و b را نیم‌قطرهای منحنی می‌نامند.

$0<n<1$	ابربیضی شبیه ستارهٔ چهارپر با اضلاع مقعر است. در حالت خاص n = ۱/۲، هر یک از چهار کمان بخشی از سهمی است.	ابربیضی با n = الگو:Fraction, a = b = 1
$n=1$	منحنی متوازی‌الأضلاعی با رأس‌های (الگو:چر±a, 0) و (الگو:چر0, ±b) است.
$1<n<2$	منحنی شبیه متوازی‌الأضلاعی با همان رئوس ولی با اضلاع محدب است. با نزدیک شدن به نقاط انتهایی، انحنا افزایش می یابد و حد ندارد.	ابربیضی با n = الگو:Fraction, a = b = 1
$n=2$	منحنی به صورت بیضی معمولی است (در حالت خاص اگر a = b باشد تبدیل به دایره می‌شود).
$n>2$	منحنی شکلی شبیه مستطیل با لبه‌های گرد پیدا می‌کند. در نقاط (الگو:چر±a, 0) و (الگو:چر0, ±b) انحنا برابر صفر است.	ابربیضی با n = 4, a = b = 1

ویژگی‌های ریاضی

اگر n عدد گویای مثبتی به شکل p/q باشد، هر ربع ابربیضی منحنی جبری از مرتبهٔ pq است. در حالت خاص الگو:چرa=b=۱ و n زوج، منحنی فرما از درجهٔ n خواهد بود. اگر صورت کسر زوج نباشد، منحنی از اجزای منحنی جبری مشابهی در راستاهای مختلف تشکیل می‌شود.

می توان منحنی را با معادلات پارامتری زیر (که پارامتر t تفسیر هندسی ندارد) توصیف کرد: الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}x\left(t\right)& =\pm a{\cos }^{\frac{2}{n}}t\\ y\left(t\right)& =\pm b{\sin }^{\frac{2}{n}}t\end{array}\}0\le t\le \frac{\pi }{2}$

الگو:پایان چپ‌چین به ازای هر مقدار t چهار نقطه روی منحنی مشخص می‌شود. معادل آن می‌توان برای t در بازهٔ $0\le t<2\pi$ تعریف کرد: الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}x\left(t\right)& ={|\cos t|}^{\frac{2}{n}}\cdot a\mathrm{sgn}(\cos t)\\ y\left(t\right)& ={|\sin t|}^{\frac{2}{n}}\cdot b\mathrm{sgn}(\sin t)\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین که در آن تابع علامت به صورت زیر تعریف می‌شود: الگو:چپ‌چین

$\mathrm{sgn}(w)=\{\begin{array}{cc}-1,& w<0\\ 0,& w=0\\ +1,& w>0.\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین می توان مساحت ابربیضی را برحسب تابع گاما بیان کرد: الگو:چپ‌چین

$\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}=4ab\frac{{\left(\mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{n})\right)}^2}{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{2}{n})}.$

جستارهای وابسته

• مثلث رولو

پیوند به بیرون

• الگو:SpringerEOM
• "Lamé Curve" at MathCurve.
• الگو:MathWorld
• الگو:MacTutor
• "Super Ellipse" on 2dcurves.com
• Superellipse Calculator & Template Generator
• C code for fitting superellipses