قانون روفینی

پائولو روفینی

قانون روفینی در ریاضیات عبارت است از روشی کاربردی در تقسیم یک چندجمله‌ای بر یک دوجمله‌ای به شکل x-r. این قانون نخستین بار از سوی پائولو روفینی در ۱۸۰۴ پیشنهاد شد. قانون روفینی حالت خاصی از تقسیم ترکیبی (Synthetic division) برای وقتی است که تقسیم‌کننده خطی باشد.

روش

این قانون راهی برای تقسیم یک چندجمله‌ای مانند

$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$

بر یک دوجمله‌ای مانند

$Q(x)=x-r$

پیشنهاد می‌دهد تا خارج قسمتی چند جمله ای به شکل زیر بدست آید:

$R(x)=b_{n-1}{x}^{n-1}+b_{n-2}{x}^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_0$

برای تقسیم الگو:عبارت چپچین بر الگو:عبارت چپچین باید:

1. ضرایب الگو:عبارت چپچین را به ترتیب در جدولی بنویسید سپس r را در سمت چپ کمی پایین تر اما بالای خط بنویسید:

   $\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & & & & \\ & & & & & \end{array}$

2. ضریب انتهایی در سمت چپ (الگو:عبارت چپچین) را زیر خط بنویسید.

   $\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & & & & \\ & a_n& & & & \\ & =b_{n-1}& & & & \end{array}$

3. عدد آخر زیر خط را در r ضرب کنید و بالای خط و در خانهٔ کناری بنویسید.

   $\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & b_{n-1}\cdot r& & & \\ & a_n& & & & \\ & =b_{n-1}& & & & \end{array}$

4. دو مقدار موجود در یک خانه را با هم جمع کنید و در همان ستون زیر خط بنویسید.

   $\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & b_{n-1}\cdot r& & & \\ & a_n& b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}& & & \\ & =b_{n-1}& =b_{n-2}& & & \end{array}$

5. گام‌های سه و چهار را آنقدر تکرار کنید تا هیچ عددی باقی نماند.

   $\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & b_{n-1}\cdot r& \dots & b_1\cdot r& b_0\cdot r\\ & a_n& b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}& \dots & b_1\cdot r+a_1& a_0+b_0\cdot r\\ & =b_{n-1}& =b_{n-2}& \dots & =b_0& =R\end{array}$

مقادیر b ضرایب چندجمله ای حاصل (الگو:عبارت چپچین) اند که درجه اش یک درجه از الگو:عبارت چپچین کمتر است.