فرم ماک ماژولار

در ریاضیات، فرم ماک ماژولار الگو:انگلیسی، بخش هولومورفیک از یک فرم ماس (Maass Form) ضعیف هارمونیک بوده و یک تابع تتای ماک اساساً فرم ماژولار ماکی با وزن الگو:Sfrac است. اولین مثال‌ها از توابع تتای ماک توسط سرینیواسا رامانوجان در آخرین نامه‌اش در سال ۱۹۲۰ به گ.هـ. هاردی و در دفترچهٔ گم‌شده‌اش توصیف شده‌است. سندر زووگرز (Sander Zwegers) کشف نمود که افزودن برخی از توابع غیر-هولومورفیک بهشان، آن‌ها را تبدیل به فرم‌های ماس ضعیف می‌کند.الگو:Sfn الگو:Sfn

تاریخچه

الگو:Quote box نامه ۱۲ ژانویه ۱۹۲۰ میلادی رامانوجان به هاردی،الگو:Sfn ١٧ مثال از توابعی را که او به نام توابع تتای ماک می‌نامید، فهرست کرده، و دفترچه گم‌شده اشالگو:Sfn شامل چندین مثال دیگر نیز می‌باشد (منظور رامانوجان از اصطلاح «تابع تتا»، چیزیست که امروزه به یک فرم ماژولار معروف است). رامانوجان اشاره کرد که این توابع دارای بسط مجانبی در کاسپ‌ها بوده، که با فرم‌های ماژولاری با وزن الگو:Sfn شباهت داشته، به طوری که احتمالاً دارای قطب‌هایی در کاسپ‌ها بوده اما نمی‌توان آن‌ها را برحسب توابع تتای «معمولی» نوشت. او توابعی با خواص مشابه را «توابع تتای ماک» نامید. زووگرز (Zwegers)، بعدها ارتباط تابع تتای ماک با فرم‌های ماس ضعیف کشف نمود.

رامانوجان به توابع تتای ماکش، مرتبه (order) نسبت داد، که تعریف واضح و مشخصی نداشت. قبل از کار زووگرز، مراتب توابع تتای ماک شناخته شده شامل این موارد بودند:

الگو:وسط‌چین $3, 5, 6, 7, 8, 10 .$ الگو:پایان وسط‌چین

مفهوم رامانوجان از مرتبه، بعدها تبدیل به کونداکتورِ کاراکتر نبنتیپوس (Nebentypus character) با فرم‌های ماس هارمونیک از وزن الگو:Sfn شد که توابع تتای ماک رامانوجان را به عنوان تصویرهای هولومورفیک می‌پذیرند.