تغییر متغیر اویلر

تغییر متغیر اویلر یک روش برای یافتن حاصل انتگرال‌های به فرم زیر است:

${\displaystyle }$

که در آن ${\displaystyle }$ یک تابع گویا از ${\displaystyle }$ و ${\displaystyle }$ است. در چنین مواردی انتگرال را می‌توان با تغییر متغیر اویلر به دست آورد.

اولین تغییر متغیر اویلر

اولین قانون تغییر متغیر اویلر هنگامی استفاده می‌شود که $a>0$ . در این تغییر متغیر از طریق برابری $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\pm x\sqrt{a}+t$ به دست می‌آید: $x=\frac{c-t^2}{\pm 2t\sqrt{a}-b}$ و $\mathrm{d}x$ هم همچون $x$ بر حسب $t$ قابل بیان است.

در این تغییر متغیر انتخاب علامت مثبت یا منفی می‌تواند انتخاب شود.

دومین تغییر متغیر اویلر

اگر $c>0$ باشد ما چنین برابری‌ای را حل می‌کنیم: $\begin{array}{c}\sqrt{a{x}^2+bx+c}=xt\pm \sqrt{c}.\end{array}$ و $x$ چنین به دست خواهد آمد: $x=\frac{\pm 2t\sqrt{c}-b}{a-t^2}.$ مشابه مورد بالا $dx$ نیز برحسب $t$ به دست خواهد آمد.

سومین تغییر متغیر اویلر

اگر چندجمله‌ای $a{x}^2+bx+c$ دارای ریشه های حقیقی $\alpha$ و $\beta$ باشد می‌توان با معادله‌ی زیر، $x$ و $dx$ را بر حسب $t$ به دست آورد. $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{a(x-\alpha )(x-\beta )}=(x-\alpha )t$ که نتیجه خواهد داد: $x=\frac{a\beta -\alpha t^2}{a-t^2}$

مثال‌ها

نمونه‌هایی برای اولین تغییر متغیر اویلر

یک

در انتگرال $\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+c}}$ ما می توانیم با استفاده از اولین تغییر متغیر و برابری $\sqrt{x^2+c}=-x+t$ حاصل زیر را داشته باشیم:

$x=\frac{t^2-c}{2t}\mathrm{d}x=\frac{t^2+c}{2t^2}\mathrm{d}t$

$\sqrt{x^2+c}=-\frac{t^2-c}{2t}+t=\frac{t^2+c}{2t}$

بر اساس این چنین چیزی به دست خواهد آمد:

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+c}}=\int \frac{\frac{t^2+c}{2t^2}}{\frac{t^2+c}{2t}}\mathrm{d}t$

$=\int \frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln |t|+C=\ln |x+\sqrt{x^2+c}|+C$

به ازای $c=\pm 1$، چنین فرمول‌هایی به دست می‌آید.

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+1}}=\text{arsinh}(x)+C$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-1}}=\text{arcosh}(x)+C(x>1)$

دو

برای پیدا کردن پاسخ  $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2+4x-4}}$ طبق اولین جایگزینی اویلر خواهیم داشت: $\sqrt{x^2+4x-4}=\sqrt{1}x+t=x+t$ و با به توان دو رساندن دو طرف معادله خواهیم داشت:$x^2+4x-4=x^2+2xt+t^2$ ؛

$x^2$ها حذف خواهند شد و در پایان $x$ برابر با $x=\frac{t^2+4}{4-2t}$ خواهد شد.$dx$ را با مشتق گرفتن از دو سمت معادله‌ی فوق به دست آورده و با جایگزین کردن مقادیر پاسخ انتگرال را به دست می‌آوریم:

$dx=\frac{-2t^2+8t+8}{(4-2t{)}^2}dt$$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+4x-4}}=\int \frac{\frac{-2t^2+8t+8}{(4-2t{)}^2}dt}{(\frac{t^2+4}{4-2t})(\frac{-t^2+4t+4}{4-2t})}=2\int \frac{dt}{t^2+4}=ta{n}^{-1}(t/2)+C$ است و $t=\sqrt{x^2+4x-4}-x$ پس$\int \frac{1}{x\sqrt{x^2+4x-4}}=ta{n}^{-1}(\frac{\sqrt{x^2+4x-4}-x}{2})+C$