اپی گراف

در یک تابع محدب اپی گراف حتماً محدب است و همچنین اگر اپی گراف یک تابع محدب باشد خود تابع نیز محدب است.

در ریاضیات اپی گراف یا سوپر گراف تابعی از f:Rⁿ→R مجموعه‌ای واقع یا بالای یک تابع است که به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\text{epi}f=\{(x,\mu ):x\in {ℝ}^n,\mu \in ℝ,\mu \ge f(x)\}\subseteq {ℝ}^{n+1}.$

و اپی گراف اکید یا مؤکد به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\text{epi}}_{S}f=\{(x,\mu ):x\in {ℝ}^n,\mu \in ℝ,\mu >f(x)\}\subseteq {ℝ}^{n+1}.$

که شامل خود تابع نمی‌شود. مشابها تابع هایپوگراف مجموعه‌ای است که واقع یا زیر یک تابع را شامل می‌شود.

$\text{hyp}f=\{(x,\mu ):x\in {ℝ}^n,\mu \in ℝ,\mu \le f(x)\}\subseteq {ℝ}^{n+1}.$

ویژگی‌ها

در یک تابع محدب اپی گراف محدب است و همچنین اگر اپی گراف یک تابع محدب باشد خود تابع نیز محدب است. در حقیقت اپی گراف ارتباط دهنده توابع محدب و مجموعه‌های محدب است. اگر مجموعه هایپوگراف یک تابع محدب باشد تابع f یک تابع مقعر است و همچنین اگر اپی گراف یک تابع محدب باشد خود تابع مقعر است.

جستارهای وابسته

• بهینه‌سازی محدب
• اپی گراف
• تابع محدب

منابع

الگو:پانویس 1)Boyd, Stephen and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. الگو:ISBN

2)Nef, Walter (1988-01-01). Linear Algebra (in English). Courier Corporation. p. 35. الگو:ISBN