ترانهاد مزدوج

در ریاضیات، ترانهادِ همیوغ یا ترانهادِ هرمیتی یک ماتریس m در n (ماتریس A) با درایه‌های همتافت (مختلط)، ماتریسی است n در m (ماتریس $A^{*}$) که از ترانهادن و همیوغیدن هر کدام از درایه‌هایش ساخته‌می‌شود. ترانهاد همیوغ را به شیوه ریاضی اینگونه تعریف می‌کنند: $({𝑨}^{*}{)}_{ij}=\overline{{𝑨}_{ji}}$

این تعریف اینگونه نیز می‌تواند گفته‌شود: ${𝑨}^{*}=(\overline{𝑨}{)}^{\mathrm{T}}=\overline{{𝑨}^{\mathrm{T}}}$

که در آن ${𝑨}^{\mathrm{T}}$ نشانگر ترانهاده و $\overline{𝑨}$ نشانگر همیوغِ همتافت است. در رشته‌های فیزیک به ویژه فیزیکِ کوانتومی، ترانهادِ همیوغ یا ترانهاد هرمیتی را با نشانهٔ خنجر $A^{†}$ نشان می‌دهند؛ و نشانه ستاره $A^{*}$ تنها برای نشان دادن همیوغِ همتافت است.

نمونه

اگر

$𝑨=\left[\begin{array}{cc}1& -2-i\\ 1+i& i\end{array}\right]$

سپس ترانهادِ همیوغ آن می‌شود:

${𝑨}^{*}=\left[\begin{array}{cc}1& 1-i\\ -2+i& -i\end{array}\right]$

چند نکته پایه‌ای

ماتریس مربعی A با درایه‌های $a_{ij}$:

• ماتریس هرمیتی یا خودآبن (self-adjoint) است اگر الگو:Math یعنی $a_{ij}=\overline{a_{ji}}$.
• پادهرمیتی (antihermitian) است اگر الگو:Math یا $a_{ij}=-\overline{a_{ji}}$.
• هنجارمند (Normal) است اگر الگو:Math.
• یکانی است اگر الگو:Math