لایه مرزی استوکس

لایه مرزی استوکس در سیال لزج ناشی از نوسان هماهنگ صفحه مسطح صلب (لبهٔ پایینی سیاه). سرعت (خط آبی) و جابجایی ذرات (خط قرمز) به عنوان تابعی از فاصله با دیوار

در دینامیک سیالات منظور از لایهٔ مرزی استوکس یا لایهٔ نوسانی استوکس، لایهٔ مرزی نزدیک یک دیوار جامد در جریان نوسانی یک سیال لزج است. هم‌چنین می‌تواند به لایهٔ مرزی ایجاد شده توسط حرکت نوسانی یک صفحه در سیال لزج ساکن اشاره کند. جرج استوکس یک حل تحلیلی را برای حالتی که جریان آرام و عدد رینولدز پایین باشد، استخراج کرد. این رابطه جزء معدود حل‌های دقیق معادلات ناویه-استوکس است. لایهٔ مرزی استوکس در جریان آشفته نیز وجود دارد، ولی برای محاسبهٔ مشخصات جریان باید از اندازه‌گیری آزمایشگاهی، شبیه‌سازی عددی یا روش‌های تقریبی استفاده شود.

نوسان‌های گردابه‌ای نزدیک مرز

یک مشاهدهٔ مهم از حل استکوس برای جریان نوسانی استوکس این است که نوسانات گردابه‌ای به یک لایهٔ مرزی نازک و با میرایی نمایی (با دور شدن از دیواره) محدود می‌شود. این مشاهده در مورد لایهٔ مرزی آشفته نیز معتبر است. بیرون از لایهٔ مرزی استوکس (که معمولاً بیشتر حجم سیال را شامل می‌شود) می‌توان از نوسانات گردابه‌ای چشم‌پوشی کرد. با یک تقریب مناسب، نوسانات سرعت جریان در بیرون لایهٔ مرزی، غیرچرخشی هستند و می‌توان نظریهٔ جریان پتانسیل را برای بخش نوسانی حرکت به کار برد. این عمل، حل این مسائل را بسیار ساده می‌کند و برای ناحیه‌های جریان غیرچرخشی در امواج صوتی و امواج آب به کار می‌رود.

لایهٔ مرزی استوکس برای جریان آرام در نزدیکی دیواره

چنین فرض می‌شود که جریان نوسانی یک‌بعدی و موازی با دیوارهٔ مسطح باشد. تنها مؤلفهٔ غیر صفر سرعت، u نامیده می‌شود و در راستای x موازی با جهت نوسان است. افزون بر این، با فرض تراکم‌ناپذیری سیال، مؤلفهٔ سرعت u تنها وابسته به زمان t و فاصله از دیواره z است. هم‌چنین فرض می‌شود که عدد رینولدز به اندازهٔ کافی کوچک باشد تا جریان آرام باشد. در چنین شرایطی معادلات ناویه-استوکس بدون نیروی خارجی به صورت زیر ساده می‌شوند: الگو:چپ‌چین $\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}+\nu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}$ الگو:پایان چپ‌چین که در آن ρ چگالی سیال است که ثابت فرض می‌شود، p فشار سیال است و ν لزجت سینماتیکی سیال و مقدار آن ثابت است. از آن‌جایی که u تابعی از موقعیت x نیست، گرادیان فشار الگو:Math نیز مستقل از x است. هم‌چنین معادلهٔ ناویه-استوکس برای مؤلفهٔ سرعت عمود بر دیواره به صورت الگو:Math ساده می‌شود. در نتیجه فشار و گرادیان فشار، مستقل از فاصله تا دیواره (z) هستند. در نتیجه گرادیان فشار تنها وابسته به زمان است.

تنها مؤلفهٔ غیر صفر بردار گردابه که ω نامیده می‌شود، در راستای عمود بر x و zبرابر زیر است: الگو:چپ‌چین $\omega =\frac{\partial u}{\partial z}$ الگو:پایان چپ‌چین با مشتق‌گیری از معادلهٔ بالا نسبت به z داریم: الگو:چپ‌چین $\frac{\partial \omega }{\partial t}=\nu \frac{{\partial }^2\omega }{\partial z^2}$ الگو:پایان چپ‌چین

نوسان صفحهٔ مسطح صلب

حرکت هماهنگ صفحهٔ مسطح صلب منجر به کشیده شدن سیال در نزدیکی آن به دلیل تنش‌های برشی لزج می‌شود. فرض کنید که حرکت صفحه به صورت زیر باشد: الگو:چپ‌چین $u_0(t)=U_0\cos \left(\mathrm{\Omega }t\right)$ الگو:پایان چپ‌چین که در آن U₀ دامنهٔ سرعت صفحه و Ω بسامد زاویه‌ای حرکت است. صفحه که در موقعیت z=۰ قرار دارد، سیال لزج مجاور را به حرکت با سرعت مشابه (u₁) وامی‌دارد که نتیجهٔ آن شرط مرزی بدون لغزش زیر است: الگو:چپ‌چین $u_1(0,t)=u_0(t)=U_0\cos \left(\mathrm{\Omega }t\right)\text{ at }z=0$ الگو:پایان چپ‌چین در فاصلهٔ دوری از صفحه (∞ → z) سرعت u₁ به صفر میل می‌کند؛ بنابراین گرادیان فشار در بی‌نهایت برابر صفر است و با توجه به این که تنها وابسته به زمان است و رابطه‌ای با z ندارد، باید در همه‌جا صفر باشد: الگو:چپ‌چین $\frac{\partial u_1}{\partial t}=\nu \frac{{\partial }^2{u}_1}{\partial z^2}$ الگو:پایان چپ‌چین چنین معادله‌ای معادلهٔ گرمای یک‌بعدی یا معادلهٔ انتشار نامیده می‌شود.

در نتیجه مقدار سرعت جریان به صورت زیر به دست می‌آید: الگو:چپ‌چین $u_1(z,t)=U_0{\text{e}}^{-\kappa z}\cos (\mathrm{\Omega }t-\kappa z)\text{ with }\kappa =\sqrt{\frac{\mathrm{\Omega }}{2\nu }}.$ الگو:پایان چپ‌چین که در آن κ نوعی عدد موج در راستای z و متناظر با طول زیر است: الگو:چپ‌چین $\delta =\frac{2\pi }{\kappa }=2\pi \sqrt{\frac{2\nu }{\mathrm{\Omega }}}$ الگو:پایان چپ‌چین که ضخامت لایهٔ مرزی استوکس نامیده می‌شود. در فاصلهٔ δ از صفحه، دامنهٔ سرعت به ۰٫۰۰۲ برابر مقدار U₀ در سطح صفحه کاهش می‌یابد. افزون بر این، نوسانات سرعت به صورت یک موج میرا با طول موج δ و سرعت فاز Ω / κ از دیواره دور می‌شوند.

منابع

• الگو:Cite book
• الگو:Cite book Originally published in 1879, the 6th extended edition appeared first in 1932.
• الگو:Cite book
• الگو:Cite book