تابع مثلثی

تابع مثلثی (یا تابع کلاه یا تابع مثلث) به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\land (t) = {\begin{matrix} 1 - | t |, & | t | < 1 \\ 0, & else \end{matrix}$

هم‌چنین می‌توان این تابع را به‌صورت کانولوشن تابع مستطیلی در خودش تعریف کرد:

$\land (t) = Π (t) ⋆ Π (t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} Π (τ) Π (t - τ) d τ$

بنابراین این تابع را می‌توان به صورت تابع شیب (انتگرال تابع پلهٔ واحد) نیز نمایش داد:

$\land (t) = u_{- 2} (t - 1) - 2 u_{- 2} (t) + u_{- 2} (t + 1)$

این تابع در پردازش سیگنال و سیستم‌های مخابراتی از اهمیت بالایی برخوردار است.

تبدیل فوریه

تبدیل فوریه‌ی این سیگنال، مربع تابع سینک است. این امر را می‌توان هم از تعریف تبدیل فوریه و هم از خاصیت کانولوشن آن به دست آورد:

$ℱ {\land (t)} = ℱ {Π (t) ⋆ Π (t)} = ℱ {Π (t)} \times ℱ {Π (t)} = s i n c^{2} (f)$

اپن‌هایم، آلن؛ نواب، حمید، سیگنال‌ها و سیستم‌ها، ترجمه دیانی، محمود، انتشارات نص، تهران، ۱۳۹۲، شابک: ۹۶۴-۶۲۶۴-۲۸-X.