مشتق پارامتری

الگو:حساب دیفرانسیل و انتگرال مشتق پارامتری یک نوع مشتق در حسابان است و زمانی که هر دو متغیر وابسته و مستقل x و y به متغیر سومی (مانند t که زمان در نظر گرفته می‌شود) وابسته باشند بکار می‌رود. به عنوان مثال مجموعه از توابع را در نظر بگیرید که در آن:

$x(t)=4t^2$

و

$y(t)=3t.$

مشتق اول معادله پارامتری بالا:

$\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\dot{y}(t)}{\dot{x}(t)},$

که در آن، $\dot{x}(t)$ به معنی مشتق x نسبت به t می‌باشد، برای درک آن باید به یاد قاعده زنجیری برای مشتق‌های:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx},$

افتاد، یا به عبارت دیگر

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.$

که شکل رایج تر آن به صورت:

$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}$

می‌باشد و مشتق هر دو طرف با معادله بالا را نتیجه می‌دهد. $\frac{dx}{dt}$ و مشتق هر دو معادله نسیت به t:

$\frac{dx}{dt}=8t$

و

$\frac{dy}{dt}=3,$

می‌شود که فرمول آن به صورت زیر می‌شود

$\frac{dy}{dx}=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}=\frac{3}{8t},$

زمانی که $\dot{x}$ و $\dot{y}$ تابع فرض می‌شوند.

مشتق دوم یک معادله پارامتری به صورت زیر می‌باشد:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$	$=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$
	$=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot \frac{dt}{dx}$
	$=\frac{d}{dt}\left(\frac{\dot{y}}{\dot{x}}\right)\frac{1}{\dot{x}}$
	$=\frac{\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}}{{\dot{x}}^3}$

جستارهای وابسته

• معادله پارامتری
• مشتق

منابع

• الگو:یادکرد ویکی