قواعد دیفرانسیل‌گیری

الگو:حسابان در حساب دیفرانسیل برای گرفتن مشتق از یک تابع باید از یک سری قواعد پیروی کنیم. این قواعد به صورت‌های زیر طبقه‌بندی و خلاصه می‌شود.

باید دقت شود که هر قاعده نتیجه‌ای است بدیهی و قابل اثبات که از طریق رابطهٔ اصلی مشتق‌گیری اثبات و بیان می‌شود، و از هر تابع دلخواه می‌توان توسط آن رابطه به‌طور مستقیم مشتق گرفت. این قواعد تنها برای سهولت و سرعت بیشتر در عمل مشتق‌گیری می‌باشند.

قواعد اولیهٔ مشتق‌گیری

برای هر تابع دلخواه f و g و هر عدد حقیقی a داریم:

• قاعدهٔ ضرب ثابت

$(af{)}^{\prime }=a{f}^{\prime }$

• قاعده جمع و تفریق

$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$

$(f-g{)}^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime }.$

قاعده ضرب

الگو:اصلی اگر برای هر دو تابع دلخواه f و g تعریف شود h(x) = f(x) g(x)، برای مشتق تابع h قاعدهٔ زیر، که به قاعده ضرب مشهور است، تعریف می‌شود:

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x).$

قاعده زنجیری

الگو:اصلی مشتق تابع h که برای هر f و g دلخواهی به صورت h(x) = f(g(x)) تعریف می‌شود، به شکل زیر است:

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x).$

این قاعده مشهور به قاعده زنجیری یا قاعده مرکب است.

مشتق توابع وارون

اگر تابع g به صورت تابع وارون تابع f تعریف شود، قاعدهٔ زیر درست است:

$g^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }\circ g}.$

قاعده توان

این قاعده برای هر n غیر صحیح نیز تعمیم می‌یابد. به صورتی که برای هر n عضو اعداد حقیقی این قاعده پابرجاست.

قاعده خارج قسمت

اگر تابع h به صورت خارج قسمت تقسیم دو تابع f و g برهم تعریف شود، برای مشتق آن داریم:

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-g^{\prime }f}{g^2}$

دقت شود که مقدار تابع g نباید مساوی ۰ شود.

مشتق توابع نمایی و لگاریتمی

این قاعده برای توابع نمایی به صورت زیر برقرار است:

$\frac{d}{dx}\left(c^{ax}\right)=c^{ax}\ln c\cdot a,c>0$

دقت شود که c لزوماً نمی‌بایست که بزرگ‌تر از ۰ باشد. اما اگر مقدار c کمتر از ۰ باشد، مشتق این تابع یک عدد مختلط می‌شود.

مشتق‌های دیگر برای توابع مشهور توابع لگاریتمی و توابع نمایی به صورت زیر است:

$\frac{d}{dx}\left(e^x\right)=e^x$

$\frac{d}{dx}\left({\log }_{c}x\right)=\frac{1}{x\ln c},c>0,c\ne 1$

$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x},x>0$

$\frac{d}{dx}(\ln |x|)=\frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx}\left(x^x\right)=x^x(1+\ln x).$

مشتق توابع مثلثاتی

تقریباً مشتق تمامی توابع مثلثاتی مشهور و پر کاربرد به شکل زیر است:

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$	$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$	$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$	$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$	$(\mathrm{arcsec}x{)}^{\prime }=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$	$(\mathrm{arccsc}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}=-(1+{\cot }^{2}x)$	$(\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

مشتق توابع هذلولوی

مشتق یکسری از توابع هذلولوی به صورت زیر می‌باشد:

$(\sinh x{)}^{\prime }=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$	$(\mathrm{arsinh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$(\cosh x{)}^{\prime }=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$	$(\mathrm{arcosh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$(\tanh x{)}^{\prime }={\mathrm{sech}}^{2}x$	$(\mathrm{artanh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1-x^2}$
$(\mathrm{sech}x{)}^{\prime }=-\tanh x\mathrm{sech}x$	$(\mathrm{arsech}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$
$(\mathrm{csch}x{)}^{\prime }=-\coth x\mathrm{csch}x$	$(\mathrm{arcsch}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$
$(\coth x{)}^{\prime }=-{\mathrm{csch}}^{2}x$	$(\mathrm{arcoth}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1-x^2}$

جستارهای وابسته

• مشتق‌گیری لگاریتمی

منابع

الگو:پانویس این قواعد در بسیاری از کتاب‌ها و سایت‌های گوناگون وجود دارد. در این‌جا یک مورد از آن‌ها را ذکر می‌کنیم:

• Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, الگو:ISBN.