سطح مخروطی

تعریف سطح مخروطی

گیف رویه مخروطی مربوط به هندسه

در هندسهٔ تحلیلی، سطح مخروطی یا رویهٔ مخروطی الگو:به انگلیسی یک رویهٔ بی‌کران است که از دوران یک خط حول یک محور (متقاطع) به دست می‌آید.

به‌طور کلّی‌تر، یک مخروط بیضوی الگو:به انگلیسی از انواع رویه‌های درجهٔ دوم است.

به مخروط بیضوی و نیز به سطح مخروطی، به‌طور خلاصه مخروط نیز می‌گویند. در گذشته «مخروط» به معنی سطحی کران‌دار و قائم با قاعدهٔ دایره بود. در طی زمان‌ها مفهوم کلمهٔ «مخروط» مخروط اریب را نیز شامل شد و پس از پیشرفت بیشتر ریاضیات، این اصطلاح کامل‌تر شد و سطح مخروطی را نیز شامل شد. هنوز در تدریس ریاضی در سطوح ابتدایی در جهان از معنی قدیمی استفاده می‌شود.

ویژگی‌ها

هر سطح مخروطی سه محور (خط) تقارن عمود برهم دارد که در یک مرکز (نقطه) تقارن با یکدیگر تقاطع دارند.

به مرکز تقارن سطح مخروطی رأس آن می‌گویند و به محور تقارن آن محور. هر خط روی مخروط (خطوطی که با دوران آن‌ها حول محور، مخروط به دست می‌آید) را یک مولّد سطح مخروطی می‌نامند.

مقاطع مخروطی

۱ و ۲: دایره و بیضی ۳: سهمی ۴: هذلولی

الگو:اصلی هر سطح مقطع از سطح مخروطی یا یک هذلولی ست، یا سهمی، یا بیضی یا دایره، یا یک خط یا نقطه یا تهی ست.

معادلهٔ استاندارد

در دستگاه مختصات دکارتی، روش استاندارد نمایش یک مخروط بیضوی با مرکز تقارن در مبدأ مختصات به صورت زیر است:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$

اگر $a=b$ باشد سطح مخروطی (دایروی) حاصل می‌شود.

در ابعاد بالاتر

یک ابرمخروط در فضای ${ℝ}^n$، یک ابررویهٔ درجه دو است. یک ابرمخروط، همهٔ نقاطی مانند $P=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ است که در معادلهٔ استاندارد زیر صدق کنند:

$\pm \frac{x_1^2}{c_1^2}\pm \frac{x_2^2}{c_2^2}\pm \dots \pm \frac{x_n^2}{c_n^2}=0$

جستارهای وابسته

• مخروط
• رویه
• ابررویهٔ درجهٔ دوم