تابع انتگرال لگاریتم

در ریاضیات، تابع انتگرال لگاریتم یا انتگرال لگاریتم نام یکی از توابع ویژه است. با توجه به قضیه سیگل-والفیزز این تابع تقریب بسیار خوبی به عنوان تعداد اعداد اول کمتر مساوی با یک مقداد معین میزند که کاربرد بسیاری را در فیزیک و نظریه اعداد اول ایفا می کند.

نمودار تابع انتگرال لگاریتم

تعریف

تابع انتگرال لگاریتم را با نماد $\mathrm{l}\mathrm{i}(x)$ نمایش می دهند و به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}.$

نمایش تابع به صورت سری

تابع انتگرال لگاریتم را می توان به صورت چندین سری مختلف نمایش داد. برای مثال:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln \ln x+\sqrt{x}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}(\ln x{)}^n}{n!2^{n-1}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\frac{1}{2k+1}.$

که در اینجا γ ثابت اویلر نام دارد و حدوداً برابر است با γ ≈ 0.57721 56649 01532

هم ارزی های تابع

برای این تابع هم ارزی های مختلفی وجود دارد؛ از جمله:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=O\left(\frac{x}{\ln x}\right)$

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)\sim \frac{x}{\ln x}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k!}{(\ln x{)}^k}$

$\frac{\mathrm{l}\mathrm{i}(x)}{x/\ln x}\sim 1+\frac{1}{\ln x}+\frac{2}{(\ln x{)}^2}+\frac{6}{(\ln x{)}^3}+\cdots$

تابع آفست انتگرال لگاریتم و کاربرد آن

تابع آفست انتگرال لگاریتم را با نماد $\mathrm{L}\mathrm{i}(x)$ نمایش می‌دهند و به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\mathrm{L}\mathrm{i}(x)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}=\mathrm{l}\mathrm{i}(x)-\mathrm{l}\mathrm{i}(2)$

این تابع در ریاضیات گسسته و نظریه اعداد اول کاربرد قابل توجهی را دارا می‌باشد؛ مثلاً ثابت شده است که:

$\pi (x)\sim \mathrm{Li}(x)$

که در آن $\pi (x)$ تابع شمارش اعداد اول است.

منابع

• الگو:یادکرد ویکی