اعداد اول فیبوناتچی

اعداد اول فیبوناچی به آن گروه از اعداد فیبوناچی گویند که خود عدد اول هم باشند و آن را با $F_{P}$ نمایش می دهند.

دنباله اعداد اول فیبوناچی

$3, 5, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2971, 4723$

یکی از مسایل حل نشده ریاضیات این است که آیا تعداد اعداد اول فیبوناچی بی‌شمار است یا نه؟

می دانیم که جمله عمومی اعداد فیبوناتچی به شکل زیر است:

$F (n) = \frac{φ^{n} - (1 - φ)^{n}}{\sqrt{5}} = \frac{φ^{n} - (- φ)^{- n}}{\sqrt{5}},$

همچنین هم ارزی زیر برای جمله عمومی اعداد اول صادق است.

$P (n) \sim n \ln (n)$

و می دانیم که جمله عمومی اعداد اول فیبوناتچی از اشتراک جمله عمومی اعداد اول و اعداد فیبوناتچی به دست می‌آید یعنی:

$F_{P_{n}} = F_{n} \cap P_{n}$

پس برای بدست آوردن جمله عمومی اعداد اول فیبوناتچی باید معادله زیر را حل کرد

$P_{n} = F_{n}$

که از آن نتیجه می‌شود.

$n = P^{- 1} (F_{n}) = π (F_{n})$

پس جواب معادله ما که همان جمله عمومی اعداد اول فیبوناتچی است برابر با $π (F_{n})$ است یعنی:

$F_{P_{n}} = π (F_{n})$

می دانیم: $π (x) \sim \frac{x}{\ln x} .$

پس اگر قرار باشد تعداد اعداد اول فیبوناتچی بی‌نهایت باشد آنگاه:

$\lim_{n \to \infty} \frac{F_{P_{n}}}{\frac{F_{n}}{l n (F_{n})}} = 1$

و می دانیم: $F_{n} = \frac{φ^{n} - (- φ)^{- n}}{\sqrt{5}}$

پس

$\lim_{n \to \infty} \frac{F_{P_{n}}}{\frac{\frac{φ^{n} - (- φ)^{- n}}{\sqrt{5}}}{l n (\frac{φ^{n} - (- φ)^{- n}}{\sqrt{5}})}} = 1$

پس:

$F_{P_{n}} \sim \frac{\frac{φ^{n} - (- φ)^{- n}}{\sqrt{5}}}{l n (\frac{φ^{n} - (- φ)^{- n}}{\sqrt{5}})}$