نابرابری ینسن

نابرابری ینسن بر روی نمودار

پرونده:Convex 01.ogv نابرابری ینسن نابرابری اساسی در مبحث توابع محدب و مقعر است. این به دلیل عمومیت این نابرابری، خود مبنای بسیاری از نابرابری‌های مهم است، به خصوص در تجزیه و تحلیل و تئوری اطلاعات. این نابرابری بنام ریاضیدان دانمارکی یوهان لودویگ ینسن الگو:به دانمارکی، نامگذاری شده و در ۱۷ در ژانویه ۱۹۰۵ در یک کنفرانس مربوط به ریاضیات در دانمارک معرفی شده‌اند. طبق فرضیه‌های دیگری این نابرابری قبل از آن توسط اتو هولدر، الگو:به آلمانی ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۸۹ استفاده شده.

جملات

بیان

برای یک تابع محدب $f$ و برای ${\lambda }_i$ غیر منفی: $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=1$، بنابراین:الگو:سخ

$f\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}f\left(x_i\right).$

اثبات استنتاجی

برای هر $\lambda$ حقیقی بین ۰ و ۱ :الگو:سخ

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$

اثبات ینسن

$f\left(\frac{x+y}{2}\right)\le \frac{f(x)+f(y)}{2}$الگو:سخ

$f\left(\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}\right)\le \frac{\sum _{i=1}^{n}f\left(x_i\right)}{n}$الگو:سخ

$f\left(\frac{\sum _{i=1}^n{k}_i{x}_i}{\sum _{i=1}^n{k}_i}\right)\le \frac{\sum _{i=1}^n{k}_{i}f\left(x_i\right)}{\sum _{i=1}^n{k}_i}$الگو:سخ

$f\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}f\left(x_i\right)$

کاربردها

از نابرابری ینسن در اثبات نابرابری‌های دیگر استفاده می‌شود. به‌طور مثال در اثبات نابرابری میانگین حسابی-هندسی و نابرابری کی فان الگو:انگلیسی از این نابرابری استفاده می‌شود.

پیوند به بیرون

نابرابری ینسن، مؤسسه‌ای بین‌المللی ولفرم ریسرچ

الگو:درگاه الگو:آنالیز محدب