معادله پائولی

الگو:Sidebar with collapsible lists معادله پائولی، که با نام معادله شرودینگر-پائولی نیز شناخته شده‌است، فرمول‌بندی معادله شرودینگر برای ذرات اسپین-۱⁄۲ است که برهمکنش اسپین ذرات با میدان الکترومغناطیسی را در نظر می‌گیرد. این معادله در حقیقت حد غیرنسبیتی معادله دیراک است و در سرعت‌هایی که اثرات نسبیتی قابل چشم‌پوشی هستند، کاربرد دارد. این معادله در سال ۱۹۲۷ توسط ولفگانگ پائولی به دست‌آمد.

جزئیات

برای یک ذره با جرم m و بار الکتریکی q در میدان الکترومغناطیسی توصیف‌شده با پتانسیل برداری

$𝐀=(A_x,A_y,A_z)$

و پتانسیل اسکالر الکتریکی ϕ، این معادله می‌شود:

معادله پائولی (حالت کلی)

$[\frac{1}{2m}(\mathit{\sigma }\cdot (𝐩-q𝐀){)}^2+q\varphi ]|\psi ⟩=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi ⟩$

که در آن

$\mathit{\sigma }=({\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z)$

یک بردار سه‌مولفه‌ای از ماتریس‌های پاولی است، یعنی هر مؤلفه آن یک ماتریس پاولی است؛

$𝐩=-i\hslash \mathrm{\nabla }=-i\hslash (\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$

بردار سه‌مولفه‌ای عملگر تکانه است و ∇ عملگر گرادیان است و

$|\psi ⟩=\left(\begin{array}{c}{\psi }_0\\ {\psi }_1\end{array}\right)$

اسپینور دومولفه‌ای تابع موج است، یک بردار ستونی که با نمادگذاری دیراک نوشته شده‌است. به‌طور صریح‌تر می‌توان معادله پاولی را چنین نوشت:

$[\frac{1}{2m}{\left(\sum _{n=1}^3\left({\sigma }_n(-i\hslash \frac{\partial }{\partial x_n}-q{A}_n)\right)\right)}^2+q\varphi ]\left(\begin{array}{c}{\psi }_0\\ {\psi }_1\end{array}\right)=i\hslash \left(\begin{array}{c}\frac{\partial {\psi }_0}{\partial t}\\ \frac{\partial {\psi }_1}{\partial t}\end{array}\right).$

که هامیلتونی در آن، به خاطر وجود ماتریس‌های $\sigma$ پاولی، یک عملگر ماتریسی ۲ × ۲ است .

رابطه با معادله شرودینگر و معادله دیراک

معادله پائولی غیرنسبیتی است، اما وجود اسپین را پیش‌بینی می‌کند. بنابراین جایگاهی بین معادله شرودینگر و معادله دیراک دارد:

• معادله شرودینگر غیرنسبیتی است و اسپین را هم پیش‌بینی نمی‌کند.
• معادله دیراک کاملاً نسبیتی است و اسپین را هم پیش‌بینی می‌کند.

توجه کنید که به خاطر خواص ماتریس‌های پاولی، اگر بردار $𝐀$ صفر گردد، معادله به همان معادله شرودینگر برای ذره در پتانسیل اسکالر ϕ تبدیل می‌شود.

حالات خاص

در حضور میدان مغناطیسی خارجی معادله پاولی می‌شود:

معادله پاولی (میدان مغناطیسی)

$\underset{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{r}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}{\underbrace{i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|{\phi }_{\pm }⟩=(\frac{(𝐩-q𝐀{)}^2}{2m}+q\varphi )\hat{1}\mathbf{|}{\phi }_{\pm }⟩}}-\underset{\text{Stern Gerlach term}}{\underbrace{\frac{q\hslash }{2m}\mathit{\sigma }\cdot 𝐁\mathbf{|}{\phi }_{\pm }⟩}}$

که در آن

$|{\phi }_{\pm }⟩=\left(\begin{array}{c}|{\phi }_{+}⟩\\ |{\phi }_{-}⟩\end{array}\right)$,

مولفه‌های اسپینور پاولی هستند. B میدان مغناطیسی خارجی است و

$\hat{1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

ماتریس همانی است که به عنوان عملگر همانی عمل می‌کند.

جستارهای وابسته

• کره بلوخ
• ماتریس‌های پائولی

منابع

• الگو:Cite book
• الگو:Cite book
• الگو:Cite book