انتگرال‌گیری جزء به جزء

انتگرال‌گیری جزء به جزء به روایت چند مثال با پویا نمایی توضیح داده شده‌است.

انتگرال‌گیری جزء به جزء در علم ریاضیات و به‌خصوص در محاسبه انتگرال کاربرد دارد. در این روش یک انتگرال که محاسبه آن غیرممکن یا پیچیده‌است با تغییر متغیر به انتگرالی هم ارز ولی قابل محاسبه تبدیل می‌شود.

شرح روش

به صورت ساده اگر الگو:چرu = f(x)الگو:چر و الگو:چرv = g(x) الگو:چر و همچنین دیفرانسیل آن‌ها به صورت du = f '(x) dx و dv = g'(x) dx باشد داریم:

$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$

که به صورت ساده‌تر می‌توان نوشت:

$\int udv=uv-\int vdu$

روش جدولی

با اینکه روش بازگشتی تعریف شده درست است، معمولاً به خاطر سپردن و کاربرد آن دشوار است. غالباً روشی بسیار آسان‌تر با عناوینی نظیر «روش جدولی»، «روش مشتق و انتگرال»، «روش جز به جز پی در پی یا مکرر»، «روش هویساید» یا «تیک تاک توی» به دانشجویان آموخته می‌شود. این روش وقتی یکی از توابع الگو:چرu = f(x)الگو:چر یا الگو:چرv = g(x) الگو:چر چندجمله‌ای باشند، در بهترین شرایطش قرار می‌گیرد، چونکه پس از مشتق‌گیری‌های پی در پی تابع چندجمله‌ای صفر می‌شود. این روش برای آن دسته از توابع که خود را (پس از چند بار مشتق یا انتگرال‌گیری) تکرار می‌کنند نیز بسیار کاراست.

برای مثال انتگرال زیر را در نظر بگیرید:

$\int x^3\cos xdx.$

انتگرالگیری پی در پی از v (ستون ب)	مشتقات پی در پی از u (ستون الف)
$\cos x$	$x^3$
$\sin x$	$3x^2$
$-\cos x$	$6x$
$-\sin x$	$6$
$\cos x$	$0$

حال به سادگی نخستین خانه ستون الف را در دومین خانه ستون ب، دومین خانه ستون الف را در سومین خانه ستون ب، و… ضرب کرده، و سپس علامت این جمله‌ها را با شروع از اولی مثبت، منفی، مثبت، منفی و همین‌طور یکی در میان قرار دهید. توجه شود که علامت جمله اول +، دوم - و… است. در شکل زیر نحوه کار را می‌بینید:

Signing method in Tabular integration by parts

نتیجه به شکل زیر خواهد بود:

$(+)(x^3)(\sin x)-(3x^2)(-\cos x)+(6x)(-\sin x)-(6)(\cos x)+C.$

$=x^3\sin x+3x^2\cos x-6x\sin x-6\cos x+C.$

با کمی دقت می‌توان روش فوق را برای توابعی که پس از چند بار مشتق یا انتگرال‌گیری خود را تکرار می‌کنند، گسترش داد. به مثال زیر دقت کنید:

$\int e^x\cos xdx.$

انتگرالگیری پی در پی از v (ستون ب)	مشتقات پی در پی از u (ستون الف)
$cosx$	$e^x$
$sinx$	$e^x$
$-cosx$	$e^x$

به نحوه علامتگذاری در این مثال توجه کنید:

Extended Signing method in Tabular integration by parts

در این مثال در گام آخر لازم است که از جمله آخری (مضرب آخری) انتگرال بگیریم:

$\int e^x\cos xdx=e^x\sin x+e^x\cos x-\int e^x\cos xdx,$

با ساده‌سازی انتگرال‌های دو طرف داریم:

$2\int e^x\cos xdx=e^x\sin x+e^x\cos x,$

در نتیجه حاصل به صورت زیر می‌شود:

$\int e^x\cos xdx=\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}+C.$

منابع

• الگو:Cite book
• الگو:Cite book
• الگو:Cite journal