تئوری آکوستیک

تئوری آکوستیک به تفسیر ریاضی امواج صوت وابسته‌است و از دینامیک سیالات استنتاج می‌شود. انتشار امواج صوتی در سیال (مانند هوا) را می‌توان به وسیلهٔ معادله حرکت (پایستگی تکانه) و معادله پیوستگی (بقای جرم) مدلسازی کرد. با در نظرگرفتن پاره‌ای ساده‌سازی‌ها، به ویژه ثابت در نظر گرفتن چگالی، این معادلات به صورت زیر بیان می‌شوند:

$\begin{array}{cc}{\rho }_0\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+\mathrm{\nabla }p& =0\\ \frac{\partial p}{\partial t}+\kappa \mathrm{\nabla }\cdot 𝐯& =0\end{array}$

که این دو معادله به ترتیب بیانگر موازنه تکانه و موازنه جرم هستند. در این معادلات $p(𝐱,t)$ فشار آکوستیک و $𝐯(𝐱,t)$ بردار سرعت آکوستیکی سیال، $𝐱$ بردار مختصات فضایی،$x,y,z$، و $t$ زمان، ${\rho }_0$ چگالی ایستایی جرم محیط و $\kappa$ مدول بالک محیط می‌باشند. مدول بالک را می‌توان برحسب چگالی و سرعت صوت در محیط ($c_0$) به صورت زیر بیان کرد:

$\kappa ={\rho }_0{c}_0^2.$

معادله موج آکوستیک ترکیبی از این دو دسته معادله توازن است که آن را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$\frac{{\partial }^2𝐯}{\partial t^2}-c_0^2{\mathrm{\nabla }}^2𝐯=0\text{or}\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}-c_0^2{\mathrm{\nabla }}^{2}p=0$

معادله موج آکوستیک (و معادلات جرم و تکانه) معمولاً برحسب $\phi$ که $𝐯=\mathrm{\nabla }\phi$ بیان می‌شوند. به این ترتیب، معادله موج آکوستیک را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

$\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}-c_0^2{\mathrm{\nabla }}^2\phi =0$

و معادلات توازن تکانه و جرم نیز به صورت زیر بیان می‌شوند:

$p+{\rho }_0\frac{\partial \phi }{\partial t}=0;\rho +\frac{{\rho }_0}{c_0^2}\frac{\partial \phi }{\partial t}=0.$

منابع

• ویکی‌پدیا انگلیسی