کمان (هندسه)

ناحیهٔ سبزرنگ در نگاره، قطاع دایره نام دارد و لبهٔ خمیده شکل آن که طولی برابر با L دارد کمان دایره نامیده می‌شود.

در هندسه، یک کمان بخشی از یک خم مشتق‌پذیر در صفحهٔ دو بعدی است. برای نمونه یک کمان دایره‌ای (کمان مستدیر)، بخشی از پیرامون یک دایره است. اگر کمان بخشی از یک دایرهٔ بزرگ (دایره عظیمه) یا بیضی بزرگ (بیضی عظیمه) باشد آن را کمان بزرگ (کمان عظیمه) می‌نامیم.

طول کمان

کمانی از دایره به شعاع $r$ که زاویه‌ای مرکزی به نام $\theta$ را دربر می‌گیرد (به رادیان) به این معنی که اضلاع زاویه شعاع‌هایی از دایره‌اند، در این صورت طول آن کمان برابر با $\theta r$ خواهد بود. دلیل این مطلب عبارت است از: الگو:چپ‌چین

$\frac{L}{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}}=\frac{\theta }{2\pi }.$

الگو:پایان چپ‌چین پس از جایگذاری مقدار محیط دایره خواهیم داشت: الگو:چپ‌چین

$\frac{L}{2\pi r}=\frac{\theta }{2\pi },$

الگو:پایان چپ‌چین مقدار $L$ نسبت به $\theta$ این گونه به دست می‌آید: الگو:چپ‌چین

$L=\theta r.$

الگو:پایان چپ‌چین اگر زاویه‌ای $\alpha$ درجه باشد مقدار آن به رادیان خواهد بود: الگو:چپ‌چین

$\theta =\frac{\alpha }{180}\pi ,$

الگو:پایان چپ‌چین پس طول کمان می‌شود: الگو:چپ‌چین

$L=\frac{\alpha \pi r}{180}.$

الگو:پایان چپ‌چین راه دیگر بدست آوردن طول یک کمان دایره ای این است که دو سر آن کمان را به مرکز دایره وصل کنیم و زاویهٔ تولید شده در مرکز دایره را اندازه بگیریم، نسبت زاویهٔ تولید شده به °۳۶۰ برابر است با نسبت طول کمان به پیرامون دایره. برای نمونه اگر زاویهٔ تولید شده ۶۰ درجه باشد و محیط دایره ۲۴ سانتی‌متر، طول کمان خواهد شد: الگو:چپ‌چین

60/360=L/24

360L=1440

L=4cm

سطح کمان

سطح میان یک کمان و مرکز دایره عبارت است از: الگو:چپ‌چین

$A=\frac{1}{2}{r}^2\theta .$

الگو:پایان چپ‌چین نسبت سطح:$A$ به سطح کل دایره برابر است با نسبت زاویهٔ $\theta$ به زاویهٔ کل دایره: الگو:چپ‌چین

$\frac{A}{\pi r^2}=\frac{\theta }{2\pi }.$

الگو:پایان چپ‌چین $\pi$ از دو طرف تساوی ساده می‌شود آنگاه: الگو:چپ‌چین

$\frac{A}{r^2}=\frac{\theta }{2}.$

الگو:پایان چپ‌چین دو طرف تساوی را در $r^2$ ضرب می‌کنیم: الگو:چپ‌چین

$A=\frac{1}{2}{r}^2\theta .$

الگو:پایان چپ‌چین اگر زاویه بجای رادیان به درجه داده شده بود، سطح کمان آن می‌شد: الگو:چپ‌چین

$A=\frac{\alpha }{360}\pi r^2.$

مساحت قطاع منحنی کمان

برای آگاهی بیشتر مقالهٔ قطاع دایره را نگاه کنید.

سطح میان کمان دایره و پاره خط رسانندهٔ دو سر کمان به یکدیگر عبارت است از: الگو:چپ‌چین

$\frac{1}{2}{r}^2(\theta -\sin \theta ).$

الگو:پایان چپ‌چین برای بدست آوردن سطح قطاع دایره باید مساحت مثلث تولید شده در مرکز دایره (با ضلع‌های شعاع دایره) را از مساحت کمان که در بالا توضیح داده شد کم کنیم.

شعاع کمان

با استفاده از نظریهٔ سکانت - تانژانت یا توان یک نقطه می‌توان شعاع $r$ یک دایره را با استفاده از درازای $H$ و پهنای $W$ یکی از کمان‌های آن به صورت زیر بدست آورد: الگو:چپ‌چین

$r=\frac{W^2}{8H}+\frac{H}{2}$

منابع

• الگو:یادکرد-ویکی

پیوند به بیرون

• مفهوم و ویژگی‌های یک کمان همراه با پویانمایی
• مجموعه صفحه‌های بیان کنندهٔ کمان‌ها و ویژگی‌های آن‌ها همراه با برنامه‌های پویا نمایی
• الگو:MathWorld
• شعاع یک کمان و قطاع دایره همراه با پویانمایی