قضیه سوا

حالت یکم قضیهٔ سوا، سه خط یکدیگر را در نقطهٔ O درون مثلث قطع کرده‌اند.

حالت دوم قضیهٔ سوا، سه خط یکدیگر را در نقطهٔ O بیرون از مثلث قطع کرده‌اند.

قضیهٔ سوا، قضیه‌ای در هندسهٔ دوبعدی است؛ به این ترتیب که اگر مثلث دلخواه ABC را در نظر بگیریم و نقاط الگو:عبارت چپ‌چین را به ترتیب روی اضلاع الگو:عبارت چپ‌چین انتخاب کنیم، خط‌های الگو:عبارت چپ‌چین یکدیگر را در یک نقطه قطع می‌کنند اگر و فقط اگر: الگو:چپ‌چین

$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$

الگو:پایان چپ‌چین در حالی که AF فاصلهٔ مستقیم بین دو نقطهٔ A و F است. (فاصله در یک جهت روی یک خط مثبت و در جهت مخالف منفی در نظر گرفته می‌شود)

شکل دیگر قضیهٔ سوا به این شکل است: که می‌گوییم سه خط الگو:عبارت چپ‌چین یکدیگر را در یک نقطه قطع می‌کنند، اگر و فقط اگر: الگو:چپ‌چین

$\frac{\sin \mathrm{\angle }BAD}{\sin \mathrm{\angle }CAD}\times \frac{\sin \mathrm{\angle }ACF}{\sin \mathrm{\angle }BCF}\times \frac{\sin \mathrm{\angle }CBE}{\sin \mathrm{\angle }ABE}=1.$

الگو:پایان چپ‌چین این قضیه توسط جووانی سوا (Giovanni Ceva) در اثرش به نام De lineis rectis، که در سال ۱۶۷۸ نوشت، اثبات شده بود اما پیش از او یوسف بن احمد مؤتمن بن هود، پادشاه ساراگوسا در قرن یازدهم، آن را اثبات کرده بود.

مثلث DEF را مثلث سوایی O و خط‌های الگو:عبارت چپ‌چین را سوایی‌های O می‌نامند.

اثبات قضیه

فرض کنید: $AD$ و $BE$ و $CF$ در نقطه‌ای مانند $O$ یکدیگر را قطع می‌کنند. چون مثلث‌های $\mathrm{△}BOD$ و $\mathrm{△}COD$ ارتفاع یکسان دارند، خواهیم داشت: الگو:چپ‌چین

$\frac{|\mathrm{△}BOD|}{|\mathrm{△}COD|}=\frac{BD}{DC}$

الگو:پایان چپ‌چین به دلیل مشابه: الگو:چپ‌چین

$\frac{|\mathrm{△}BAD|}{|\mathrm{△}CAD|}=\frac{BD}{DC}$

در ادامهٔ مطلب بالا خواهیم داشت: الگو:چپ‌چین

$\frac{BD}{DC}=\frac{|\mathrm{△}BAD|-|\mathrm{△}BOD|}{|\mathrm{△}CAD|-|\mathrm{△}COD|}=\frac{|\mathrm{△}ABO|}{|\mathrm{△}CAO|}$

الگو:پایان چپ‌چین همچنین الگو:چپ‌چین

$\frac{CE}{EA}=\frac{|\mathrm{△}BCO|}{|\mathrm{△}ABO|}$

الگو:پایان چپ‌چین و الگو:چپ‌چین

$\frac{AF}{FB}=\frac{|\mathrm{△}CAO|}{|\mathrm{△}BCO|}$

الگو:پایان چپ‌چین با ضرب این سه عبارت در یکدیگر خواهیم داشت: الگو:چپ‌چین

$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$

برای اثبات عکس قضیه، فرض کنید نقاط $D$ و $E$ و $F$ به گونه‌ای اند که رابطهٔ بالا را برقرار می‌کنند؛ حال فرض کنید که $AD$ و $BE$ در نقطه $O$ با یکدیگر برخورد می‌کنند ولی امتداد $CO$ ضلع $AB$ را در نقطهٔ دیگری به نام $F^{\prime }$ قطع می‌کند. با توجه به اثباتی که در بالا کردیم باید داشته باشیم: الگو:چپ‌چین

$\frac{A{F}^{\prime }}{F^{\prime }B}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1.$

با مقایسهٔ دو رابطه خواهیم داشت:

$\frac{A{F}^{\prime }}{F^{\prime }B}=\frac{AF}{FB}.$

الگو:پایان چپ‌چین یک یکم (۱/۱) را به دو طرف تساوی اضافه می‌کنیم، می‌شود: $A{F}^{\prime }+F^{\prime }B=AF+FB=AB$ (حالت یکم) یا با کم کردن یک از آن می‌شود: $F^{\prime }B-A{F}^{\prime }=FB-AF=AB$ (حالت دوم)، خواهیم داشت: الگو:چپ‌چین

$\frac{AB}{F^{\prime }B}=\frac{AB}{FB}.$

الگو:پایان چپ‌چین بنابراین $F^{\prime }B=FB$ در نتیجه $F$ و $F^{\prime }$ بر روی هم قرار دارند، پس $AD$ و $BE$ و $CF=C{F}^{\prime }$ در نقطهٔ $O$ یکدیگر را قطع می‌کنند؛ هر دو سوی قضیه اثبات شد.

برای شکل مثلثی این قضیه، یک رویکرد این است که نگاه کنیم که سه سوایی متقاطع در نقطهٔ O، مثلث $\mathrm{△}ABC$ را به سه مثلث کوچکتر $\mathrm{△}AOB$ و $\mathrm{△}BOC$ و $\mathrm{△}COA$ تقسیم می‌کنند. با استفاده از قانون سینوس‌ها برای هر مثلث خواهیم داشت: الگو:چپ‌چین

$\frac{\sin \mathrm{\angle }OAB}{\sin \mathrm{\angle }OBA}=\frac{OB}{OA}\text{ ;}\frac{\sin \mathrm{\angle }OBC}{\sin \mathrm{\angle }OCB}=\frac{OC}{OB}\text{ ;}\frac{\sin \mathrm{\angle }OCA}{\sin \mathrm{\angle }OAC}=\frac{OA}{OC}.$

الگو:پایان چپ‌چین اگر سه رابطه را در یکدیگر ضرب کنیم می‌بینیم که سمت راست آن برابر با ۱ و سمت چپ آن برابر با عبارت داده شده در قضیه خواهد شد.

جستارهای وابسته

• میانهٔ مثلث
• قضیهٔ منلائوس

منابع

• ویکی‌پدیای انگلیسی

پیوند به بیرون

• Menelaus and Ceva
• Derivations and applications of Ceva's Theorem
• Trigonometric Form of Ceva's Theorem
• Glossary of Encyclopedia of Triangle Centers
• Conics Associated with a Cevian Nest, by Clark Kimberling
• Ceva's Theorem از Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project.
• الگو:MathWorld