مجموعه‌های مجزا

مجموعه‌های مجزا

در نظریه مجموعه‌ها دو مجموعهٔ $A$ و $B$ مجموعه‌های مجزا الگو:به انگلیسی هستند، دارای هیچ عضو مشترکی نباشند. چند مجموعه به صورت زوج مجزا هستند اگر هر جفت دوتایی از آن‌ها دارای عضو مشترک نباشد.

تعریف

مجموعه‌های $A$ و $B$ مجزا هستند، زمانی که اشتراک آن‌ها مجموعهٔ تهی باشد، در این صورت داریم:

$A\cap B=\mathrm{\varnothing }$

یک خانواده $(M_i{)}_{i\in I}$ (مجموعه‌ای از مجموعه‌ها) زمانی مجزا است که تمامی اعضای آن جفت-جفت مجزا باشند، در این صورت داریم:

$M_i\cap M_j=\mathrm{\varnothing }$ برای $i\ne j$ و $i,j\in I$

اگر اجتماع این مجموعه‌ها را در نظر بگیریم، آنگاه اجتماع مجموعه‌های مجزا به دست می‌آید که به شکل زیر است:

$M=\dot{\bigcup _{i\in I}}{M}_i$

اگر اعضای خانواده مجموعهٔ تهی نباشند، در این صورت به افراز مجموعه $M$ می‌رسیم.

به صورت همانند می‌توان به جای خانواده مجموعه‌ها از سیستم مجموعه‌ها هم استفاده کرد.

مثال

• مجموعه‌های $A=\{1,2,3\}$ و $B=\{7,8,11\}$ مجزایند، چون هیچ عضو مشترکی ندارد.
• مجموعه‌های $A=\{1,2,7\}$ و $B=\{6,7,8,11\}$ مجزا نیستند، چون دارای عضو مشترک $7$ هستند.
• سه مجموعهٔ $A=\{1,2,3\}$، $B=\{4,5\}$ و $C=\{5,6,7\}$ به صورت جفت مجزا نیستند، چون حداقل یکی از اشتراک‌های آن‌ها ($B\cap C$) مجموعهٔ غیرتهی است.

افراز زیر، افرازی نامتناهی از مجموعه‌های مجزا است که اعداد صحیح را شکل می‌دهند:

$\{0\},\{1,-1\},\{2,-2\},\{3,-3\},\{4,-4\},\dots$.

خصوصیات

• مجموعه تهی $\mathrm{\varnothing }$ از هر مجموعهٔ دیگر مجزاست.
• $\{a\}$ و $B$ حتماً مجزا هستند، اگر $a\notin B$.
• قدرت یک اجتماع مجزا متناهی برابر است با جمع تک تک قدرت‌ها. برای اجتماع‌های غیر مجزا به فرمول زیب مراجعه کنید.