رویه مربعی

در هندسهٔ تحلیلی، رویه‌های درجهٔ دوم در فضای سه‌بعدی دسته‌ای از رویه‌ها هستند که به این صورت تعریف می‌شوند: مکان هندسی همهٔ نقاطی مانند $P=(x,y,z)$ که در معادلهٔ $F(x,y,z)=0$ صدق کنند که $F$ یک تابع درجهٔ دو است.

به عنوان مثال کُره یک رویهٔ درجه دو است؛ زیرا معادلهٔ استاندارد کره یک معادلهٔ درجه دو است: $x^2+y^2+z^2=r^2$

به‌طور کلّی‌تر، ابررویه‌های درجه دو در فضای ${ℝ}^n$ دسته‌ای از ابررویه‌های $n-1$-بعدی هستند که به این صورت تعریف می‌شوند: مجموعهٔ همهٔ نقاطی مانند $P=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ که در معادلهٔ $F(x_1,x_2,\dots ,x_n)=0$ صدق کنند که $F$ یک تابع درجهٔ دو است.

در نتیجه می‌توان مقاطع مخروطی را حالت خاصی از رویه‌های درجه دو (حالت $n=2$) دانست. البتّه در فضای دوبعدی به جای «رویه» باید از اصطلاح «خم» استفاده کرد.

در سه بعد

در فضای سه‌بعدی، رویه‌های درجه دو به شاخه‌های زیر تقسیم می‌شود:

بیضی‌گون	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
سهمی‌گون بیضوی	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z}{c}$
سهمی‌گون هذلولوی	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{z}{c},c>0$
هذلولی‌گون یکپارچه	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
هذلولی‌گون دوپارچه	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$

حالات حدّی یا تبهگنی
مخروط بیضوی	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$
استوانهٔ بیضوی	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
استوانهٔ هذلولوی	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
استوانهٔ سهموی	$x^2+2ay=0$

وقتی که دو یا هر سه ثابت ($a$ و $b$ و $c$) با یکدیگر برابر باشند، رویهٔ درجه دو دورانی به دست می‌آید:

حالات خاص: رویهٔ دورانی
کره‌گون	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1$
کره	$x^2+y^2+z^2=r^2$
سهمی‌گون دایروی	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-z=0$
هذلولی‌گون دورانی یکپارچه	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1$
هذلولی‌گون دورانی دوپارچه	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=-1$
سطح مخروطی	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=0$
استوانه (دایروی)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$

جستارهای وابسته

• رویه
• مقاطع مخروطی