تابع بسل

توابع بسل اولین بار توسط دانیل برنولی تعریف شد و سپس فردریش بسل فرم عمومی آن را بررسی نمود. توابع بسل جواب‌هایِ معادله دیفرانسیل زیر می‌باشند:

تابع بسل از روی بسل تانیا الهام گرفته شده است

الگو:چپ‌چین $x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}+(m^2{x}^2-{\alpha }^2)y=0$ الگو:پایان

معادلهٔ بسلی معادله‌ای است که از معادلات قابل‌حل با سری‌هاست و دارای نقطه تکین منظّم است. نقطهٔ $x=0$ یگانه نقطهٔ غیرعادی معادلهٔ فوق است. جواب‌های متعامد معادله اشتورم-لیوویل به توابع بسل معروفند.

تابعِ بسل اصلاح شده:

الگو:چپ‌چین $\mathrm{x}{\phantom{A}}^2\frac{\mathrm{d}{\phantom{A}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}{\phantom{A}}^2}+\mathrm{x}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}-(\mathrm{x}{\phantom{A}}^2+\mathrm{n}{\phantom{A}}^2)\mathrm{y}=0$ الگو:پایان

در معادلهٔ بالا، $n$ یک عدد صحیح است که مرتبهٔ تابع بسل را مشخص می‌کند. به‌طورکلّی، توابع بسل از حل معادلات دیفرانسیل پاره‌ای لاپلاس و معادله هلمهولتز در مختصات استوانه‌ای و مختصات کروی بدست می‌آید. از این رو، این توابع در تئوری انتشار امواج و تئوری پتانسیل اهمیت به‌سزایی دارد، البته این توابع در حل معادلات ارتعاشات، معادلات رسانایی گرما و امواج الکترومغناطیس در مختصات استوانه‌ای ظاهر می‌شود.

تعریف

توابع بسل نوع اول آن دستهٔ از توابعی هستند که مربوط به $\alpha$ بوده و به‌عنوان عدد طبیعی منفی هستند که در صفر متناهی می‌باشد: الگو:وسط‌چین

$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{m!\mathrm{\Gamma }(m+\alpha +1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha }$

که $\mathrm{\Gamma }(z)$ تابع گاما است که حالت کلّی فاکتوریل برای اعداد غیرطبیعی است.

نمودار توابع بسل از نوع اول، J_α(x)، به ازای مقادیر صحیح مرتبه α=۰٬۱,۲.

توابع بسل نوع دوم آن دسته توابعی هستند که در مبدأ مختصات (نقطه صفر) تکینه هستند:

الگو:وسط‌چین $Y_{\alpha }(x)=\frac{J_{\alpha }(x)\cos (\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin (\alpha \pi )}$ الگو:پایان

نمودار توابع بسل از نوع دوّم، (Y_α(x، به‌ازای مقادیر صحیح مرتبهٔ a=۰,۱,۲.

منابع

• الگو:یادکرد