ماتریس مقدماتی

در ریاضیات، اعمال سطری مقدماتی ۳ عمل ساده روی یک ماتریس است که در ادامه به آنها می‌پردازیم.

یک ماتریس مقدماتی مثل $E$ ماتریسی است که ضرب چپ آن در یک ماتریس ($EA$) همان کاری را روی آن انجام دهد که یک عمل سطری مقدماتی انجام می‌دهد. می‌توان نتیجه گرفت که ضرب راست $AE$ یک عمل ستونی مقدماتی مشابه روی $A$ انجام می‌دهد. ماتریس مقدماتی با اعمال تنها یک عمل سطری مقدماتی روی ماتریس همانی به دست می‌آید.

اگر با اعمال چند عمل سطری مقدماتی بتوان از یک ماتریس $A$ به ماتریس $B$ رسید آن دو ماتریس را هم‌ارز سطری می‌نامیم و با نماد هم‌ارزی $A\sim B$ نمایش می‌دهیم. اعمال سطری مقدماتی در حذف گاوسی و موارد مشابه کاربرد دارد.

اعمال سطری مقدماتی

مبادله

الگو:اصلی این عمل تمام درایه‌های دو سطر ماتریس را (نظیر به نظیر) با یکدیگر جابه‌جا می‌کند. این عملیات را می‌توان با نماد $R_i\leftrightarrow R_j$ نشان داد.

مثال: با جابه‌جا کردن سطر ۲ و ۳ در ماتریس $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$ ماتریس $T_{2,3}A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 7& 8& 9\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$ به دست می‌آید.

ماتریس مقدماتی متناظر با این عمل $T_{i,j}=\left[\begin{array}{ccccccccc}1& & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & \\ & & 1& & & & & \\ & & & 0& & 1& & \\ & & & & \ddots & & & \\ & & & 1& & 0& & \\ & & & & & & 1& & \\ & & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & 1\end{array}\right]$ با جابه‌جا کردن سطر $i,j$ در $I$ به دست می‌آید.

• $T_{i,j}^{-1}=T_{i,j}$
• دترمینان $|T_{i,j}|=-1$ است. در نتیجه $|T_{i,j}A|=|A{T}_{i,j}|=-|A|$. یعنی با جابه‌جا کردن سطرها یا ستون‌‌های یک ماتریس دترمینان آن منفی می‌شود.

ضرب اسکالر

با این عمل می‌توان درایه‌های یک سطر ماتریس را در یک ثابت اسکالر ناصفر ضرب کرد. این عملیات را می‌توان با نماد $R_i\leftarrow k{R}_i$ نشان داد.

مثال: با ضرب ۳ در سطر دوم ماتریس $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$ ماتریس $D_{2,3}A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 12& 15& 18\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$ به دست می‌آید.

ماتریس مقدماتی متناظر با این عمل $D_{i,c}=\left[\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1& & & & \\ & & & c& & & \\ & & & & 1& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{array}\right]$ با ضرب $c$ در سطر $i$-ام $I$ به دست می‌آید.

• $D_{i,c}^{-1}=D_{i,\frac{1}{c}}$
• این ماتریس و وارونش قطری است.
• دترمینان $|D_{i,c}|=c$ است. در نتیجه $|D_{i,c}A|=|A{D}_{i,c}|=c|A|$. یعنی با ضرب $c$ در یک سطر یا ستون یک ماتریس دترمینان آن نیز در $c$ ضرب می‌شود.

جمع

در این عمل مضربی از یک سطر را به یک سطر دیگر اضافه می‌کنیم. این عملیات را می‌توان با نماد $R_i\leftarrow R_i+k{R}_j$ نشان داد.

مثال: ۲-برابر سطر یکم ماتریس $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$ را به سطر دوم آن اضافه می‌کنیم: $L_{2,1,-2}A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 0\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$

ماتریس مقدماتی متناظر با این عمل $L_{i,j,c}=\left[\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1& & & & \\ & & & \ddots & & & \\ & & c& & 1& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{array}\right]$ با اضافه کردن $c$-برابر در سطر $j$-ام به سطر $i$-ام $I$ به دست می‌آید.

• $L_{i,j,c}^{-1}=-L_{i,j,c}$
• این ماتریس و وارونش مثلثی هستند.
• دترمینان $|L_{i,j,c}|=1$ است. در نتیجه $|L_{i,j,c}A|=|A{L}_{i,j,c}|=|A|$. یعنی با اضافه کردن مضارب سطری به سطر دیگر یا ستونی به ستون دیگر در یک ماتریس دترمینان آن ثابت می‌ماند.

جستارهای وابسته

• ماتریس هم‌ارز سطری

منابع

• الگو:یادکرد