معادله لوتکا-ولتررا

معادله لوتکا-ولتررا الگو:انگلیسی که همچنین معادلهٔ شکارچی-شکار الگو:انگلیسی نامیده می‌شود، یک زوج معادله دیفرانسیلی غیرخطی است که به‌عنوان مدلی برای سیستم‌های زیستی که در آن‌ها دو گونه به صورت شکارچی و شکار وجود دارند، بکار می‌رود. این معادلات اولین بار توسط آلفرد لوتکا در ۱۹۲۵ و ویتو ولترا ۱۹۲۶ ارائه شدند. این معادلات به صورت زیر بیان می‌شوند: الگو:چپ‌چین $\frac{dx}{dt}=x(\alpha -\beta y)$

$\frac{dy}{dt}=-y(\gamma -\delta x)$ الگو:پایان چپ‌چین که در آن‌ها y تعداد شکارچی‌ها، x تعداد شکارها، t زمان و الگو:چرα، β، γ و δالگو:چر پارامترهای مشخصه برهم‌کنش شکارچی‌ها و شکارها است.

• معادله شکارها می‌شود:

$\frac{dx}{dt}=\alpha x-\beta xy.$

رشد لجستیک شکارها توسط x نشان داده شده که به میزان α در dx تأثیر می‌گذارد و y نشان دهندهٔ تعداد گونهٔ شکارچی در رشد لجستیک است و به این معناست که به میزان تعداد برخوردهای گونه x و y که برابر است با xy و نرخ شکار شدن β میزان تعداد کم شدن x را نشان می‌دهد پس به میزان βxy (یا شکار شدن x) از جمعیت لجستیک x در هر وهله تغییراتی زمانی از جمعیت αx کم می‌کنیم.

• معادله شکارچی‌ها می‌شود:

$\frac{dy}{dt}=\delta xy-\gamma y.$

در این معادله $\delta xy$ نشان دهنده افزایش جمعیت شکارچی‌ها است و $\gamma y$ نشانگر مرگ طبیعی آنهاست (که یک نوع ثابت واپاشی می‌باشد).

همشیب نمودار لوتکا-ولترا

برای هر معادله دیفرانسیلی می‌توان نمودار ترسیم نقطه‌ای الگو:به انگلیسی کشید اما چنانچه نموداری را در ترسیم نقطه‌ای رسم کنیم که در هر نقطه از آن dx/dt صفر شود همشیب آن نام دارد و از نظر زیستی هر شکلی از آن تحلیل خاصی دارد.

همشیب صید و صیاد دارای یک نقطه تعادل و پایداری دو گونه

همشیب صید و صیاد دارای یک نقطه تعادل و پایداری دو گونه

برای هر نقطه در نمودار، تمایل شیب رشدها به سمت نقطه تقاطع دو نمودار است.

همشیب صید و صیاد دارای سه نقطه تعادل

همشیب صید و صیاد دارای سه نقطه تعادل

برای برخی نقاط انقراض صید و برخی صیاد مدنظر است و در نقاطی به تعادل در نقطه تعادل می‌رسیم.

همشیب دارای یک نقطه تعادل و انقراض صیاد

برای هر نقطه در نمودار، صیاد منقرض می‌شود.

همشیب دارای یک نقطه تعادل و انقراض صیاد

همشیب دارای یک نقطه تعادل و انقراض صید

همشیب دارای یک نقطه تعادل و انقراض صید

برای هر نقطه در نمودار، صید منقرض می‌شود. (دقت کنید این مدل فقط ریاضیاتی است و تا حد خوبی بر طبیعت منطبق است و نه کاملاً)

منابعی برای مطالعه

• Carl I.I. Pistorius, James M. Utterback, A Lotka-Volterra model for multi-mode technological interaction: modeling competition, symbiosis and predator prey modes In: Technology Management in a Changing World, Proceedings of the Fifth International Conference on Management of Technology, Miami, Florida, February 27-March 1, 1996, Pages 3929-96