توزیع دریکله عمومی

توزیع دریکله عمومی یک توزیع پیوسته در آمار است که عمومی شده توزیع دریکله است و به اندازه دو برابر آن پارامتر دارد. تابع چگالی $p_1,\dots ,p_{k-1}$ برابر است با:

${[\prod _{i=1}^{k-1}B(a_i,b_i)]}^{-1}{p}_k^{b_{k-1}-1}\prod _{i=1}^{k-1}\left[p_i^{a_i-1}{\left(\sum _{j=i}^k{p}_j\right)}^{b_{i-1}-(a_i+b_i)}\right]$

که در آن تعریف می‌کنیم $p_k=1-\sum _{i=1}^{k-1}{p}_i$.

تابع عمومی لحظه

اگر $X=(X_1,\dots ,X_k)\sim G{D}_k({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k;{\beta }_1,\dots ,{\beta }_k)$ آنگاه

$E[X_1^{r_1}{X}_2^{r_2}\cdots X_k^{r_k}]=\prod _{j=1}^k\frac{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_j+{\beta }_j)\mathrm{\Gamma }({\alpha }_j+r_j)\mathrm{\Gamma }({\beta }_j+{\delta }_j)}{\mathrm{\Gamma }\left({\alpha }_j\right)\mathrm{\Gamma }\left({\beta }_j\right)\mathrm{\Gamma }({\alpha }_j+{\beta }_j+r_j+{\delta }_j)}$

که ${\delta }_j=r_{j+1}+r_{j+2}+\cdots +r_k$. بنابراین

$E\left(X_j\right)=\frac{{\alpha }_j}{{\alpha }_j+{\beta }_j}\prod _{m=1}^{j-1}\frac{{\beta }_m}{{\alpha }_m+{\beta }_m}.$

منابع

1. https://web.archive.org/web/20081119000022/http://www.nscb.gov.ph/ncs/9thncs/papers/theory_Generalization.pdf