نمایش مبدأ برای F-هم‌جبر

در [[ریاضیات]]، به‌طور ویژه در [[نظریه رسته‌ها]] یک '''<math>F</math>-هم‌جبر '''یک ساختار تعریف شده بر اساس یک [[تابعگون (نظریه رسته‌ها)|تابعگون]] <math>F</math> است. برای جبرها و هم‌جبرها، یک تابعگون، روشی مناسب و کلی برای سازماندهی یک امضا است. این مسئله، کابردهایی در [[علوم رایانه|علوم کامپیوتر]] دارد: نمونه‌هایی از هم‌جبرها شامل [[ساختمان داده]]‌های تنبل و نامتناهی، مانند استریم‌ها و سیستم‌های انتقالی هستند.

<math>F</math>-هم‌جبرها دوگان <math>F</math>-جبر ها هستند. همانگونه که خانوادهٔ تمام جبرها برای یک امضا و یک نظریهٔ معادله‌ای تشکیل واریته می‌دهند، خانواده همه <math>F</math>-هم‌جبرهایی که یک تئوری معادله‌ای داده شده را ارضاء می‌کنند، تشکیل هم-واریته می‌دهند، که امضاء مورد نظر توسط <math>F</math> داده شده‌است.

== تعریف ==
یک '''<math>F</math>-هم‌جبر '''برای یک درون‌تابعگون روی رسته:

:<math>F : \mathcal{C}\longrightarrow \mathcal{C}</math>
یک شئ <math>A</math> از <math>\mathcal{C}</math> به همراه یک پیکانِ:
:<math>\alpha : A \longrightarrow FA</math>
است که معمولاً با <math>(A, \alpha)</math> نشان می‌دهند.

یک [[هم‌ریختی|همریختی]] از <math>F</math>-هم‌جبر <math>(A, \alpha)</math> به <math>F</math>-هم‌جبری دیگر چون <math>(B, \beta)</math> یک [[مورفیزم (ریاضیات)|ریخت]]

:<math>f:A\longrightarrow B</math>

در <math>\mathcal{C}</math> است به طوری که

:<math> Ff\circ \alpha = \beta \circ f</math>

در نتیجه <math>F</math>-هم‌جبرهای داده شده بازای یک تابعگون ''F''، تشکیل یک رسته می‌دهند.

== مثال ==
تابعگون <math>F: \mathbf{Set} \longrightarrow \mathbf{Set}</math> را در نظر بگیرید که <math>X</math> را به <math>(X\times A)\cup\{1\}</math>, <math>F</math>-هم‌جبرهای <math>\alpha : X \longrightarrow (X\times A)\cup\{1\} = FX</math> استریم‌های [[مجموعه متناهی|متناهی]] یا [[بی‌نهایت (ریاضی)|نامتناهی]] به روی [[الفبا (علوم رایانه|الفبا]]<nowiki/>ی {{nobreak|<math>A</math>,}} که در آن <math>X</math> مجموعه وضعیت هاست و <math>\alpha</math> تابع انتقال وضعیت است. اِعمال تابع انتقال وضعیت به روی یک وضعیت دو نتیجه ممکن دارد: یا یک عنصر از <math>A</math> همراه با وضعیت بعدی از استریم است یا عنصر مجموعه تک-عضوی <math>\{1\}</math> به عنوان یک «وضعیت نهایی» مجزا است که نشان دهنده آن است که مقادیر دیگری در استریم موجود نیست.

== برنامه‌های کاربردی ==
در [[علوم رایانه|علوم کامپیوتر]]، هم‌جبرها به عنوان مفهومی مناسب و روشی کلی برای مشخص کردن رفتار سیستم‌ها و ساختمان داده‌هایی که به‌طور بالقوه بینهایت هستند، ظهور کرده‌اند: برای نمونه، کلاس‌ها در [[برنامه‌نویسی شیءگرا|برنامه‌نویسی شی گرا]]، استریمها و سیستم‌های انقالی. در حالی که شاخص-بندی‌های جبری، عموماً با استفاده از [[نوع داده]]‌های استقرایی تولید شده توسط سازنده‌ها، با رفتار تابعی سر و کار دارند، شاخص بندی‌های هم‌جبری، به رفتار مُدل شده توسط داده‌های پردازشیِ هم-استقرائی که توسط انتخابگرها قابل روئیت اند، و بیشتر در غالب [[نظریه اتوماتا|نظریه ماشینها]]، می‌پردازد. در اینجا نقشی مهم توسط هم‌جبرهای نهایی ایفا می‌شود که مجموعه‌های کاملی از رفتارهای احتمالاَ بینهایت هستند، مانند استریم‌ها. منطق طبیعی برای بیان ویژگی‌های چنین سیستم‌هایی، منطق‌های [[منطق موجهات|وجهی]] هم‌جبری‌اند.

== منابع ==
{{چپ چین}}
* [http://www.cs.ru.nl/B.Jacobs/PAPERS/JR.pdf B. Jacobs and J. Rutten,  A Tutorial on (Co)Algebras and (Co)Induction.]  [http://www.cs.ru.nl/B.Jacobs/PAPERS/JR.pdf EATCS Bulletin 62, 1997, p.222-259].
* [http://www.cwi.nl/~janr/papers/files-of-papers/universal_coalgebra.pdf Jan J. M. M. Rutten: Universal coalgebra: a theory of systems.]{{پیوند مرده|date=اكتبر ۲۰۲۲ |bot=InternetArchiveBot }} [http://www.cwi.nl/~janr/papers/files-of-papers/universal_coalgebra.pdf Theor. Comput.]{{پیوند مرده|date=اكتبر ۲۰۲۲ |bot=InternetArchiveBot }} [http://www.cwi.nl/~janr/papers/files-of-papers/universal_coalgebra.pdf Sci. 249(1): 3-80 (2000)]{{پیوند مرده|date=اكتبر ۲۰۲۲ |bot=InternetArchiveBot }}.
* [http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/14/8/14-08abs.html J. Adámek, Introduction to coalgebra.] [http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/14/8/14-08abs.html Theory and Applications of Categories 14 (2005), 157-199]
* [http://www.cs.ru.nl/B.Jacobs/CLG/JacobsCoalgebraIntro.pdf B. Jacobs, Introduction to Coalgebra.] [http://www.cs.ru.nl/B.Jacobs/CLG/JacobsCoalgebraIntro.pdf Towards Mathematics of States and Observations] (پیشنویس کتاب)
* [https://staff.science.uva.nl/y.venema/papers/2006/vene-auto06.pdf Yde Venema: Automata and Fixed Point Logics: a Coalgebraic Perspective.] [https://staff.science.uva.nl/y.venema/papers/2006/vene-auto06.pdf Information and Computation, 204 (2006) 637-678].
{{پایان چپ چین}}

== پیوند به بیرون ==
{{چپ چین}}
* [http://calco09.dimi.uniud.it/ CALCO 2009: کنفرانس جبرها و همجبر ها در علوم کامپیوتر]
* [http://calco2011.ecs.soton.ac.uk/ CALCO 2011]
{{پایان چپ چین}}

== جستارهای وابسته ==
* [[هم‌جبر]]

[[رده:نظریه رسته‌ها]]
[[رده:هم‌جبرها]]