نمایش مبدأ برای یکاهای پلانک

{{ادغام از|طول پلانک}}
'''یکاهای پلانک'''{{انگلیسی|Planck units}} در دانش [[فیزیک ذرات]] و در [[کیهان‌شناسی فیزیکی]]، [[یکا|یکاهای اندازه‌گیری]] هستند که منحصراً بر حسب چهار [[ثابت فیزیکی]] جهانی تعریف می‌شوند؛ به شکلی که اگر این چهار ثابت فیزیکی را برحسب این یکاها بیان شوند مقدار عددی [[۱ (عدد)|۱]] خواهند داشت. یکاهای پلانک اهمیت ژرفی در [[فیزیک نظری]] دارند زیرا از راه بدون بعدسازی، چندین [[عبارت جبری]] قانون فیزیکی را با ظرافت ساده‌سازی می‌کنند. به‌طور خاص در پژوهش‌های مرتبط با نظریه‌های وحدتی مانند [[گرانش کوانتومی]] اهمیت می‌یابند.

این یکاها که نخست در سال ۱۸۹۹ بدست فیزیکدان آلمانی [[ماکس پلانک]] پیشنهاد شدند، سامانه‌ای از [[یکاهای طبیعی]] هستند، زیرا سرچشمۀ تعریف آن‌ها تنها برگرفته از ویژگی‌های طبیعت است و نه از هیچ [[ساختگی|ساختار انسانی]]. ''یکاهای پلانک'' تنها یکی از چندین سامانۀ یکاهای طبیعی هستند، اما یکاهای پلانک بر پایۀ ویژگی‌های هر شی یا ذره [[نمونه اولیه]] (که انتخاب آن‌ها ذاتاً به دلخواه است) نیست، بلکه تنها بر پایهٔ ویژگی‌های [[خلأ|فضای آزاد]] است. این یکاها در پژوهش‌ها در مورد یکپارچه‌کردن نظریه‌ها در چند زمینه مانند [[گرانش کوانتومی]] مرتبط هستند. (البته زمانی که او یکاهای خود را معرفی کرد، [[مکانیک کوانتومی]] هنوز کشف نشده بود)

اصطلاح [[مقیاس پلانک]] به مقادیری از فضا، [[زمان]]، [[انرژی]] و دیگر یکاها گفته می‌شود که از نظر [[بزرگی (ریاضیات)|بزرگی]] مشابه ''یکاهای پلانک'' هستند. این منطقه ممکن است با انرژی‌های نزدیک {{val|e=19|u=GeV}} [[گیگا]] [[الکترون‌ولت]]، فواصل زمانی نزدیک {{val|e=-43|u=}} ثانیه و طول‌های نزدیک {{val|e=-35|u=}} متر (به ترتیب معادل انرژی جرم پلانک، زمان پلانک و طول پلانک) مشخص شود.

چهار [[ثابت فیزیکی]] جهانی که بر حسب تعریف، مقدار عددی ۱ را در این یکاها بیان می‌کنند عبارتند از:
* [[سرعت نور]] در خلاء c
* [[ثابت گرانش]]، G،
* [[ثابت پلانک]] کاهش یافته، ħ،
* [[ثابت بولتزمن]]، [[کیلوبایت]]
یکاهای پلانک دارای بعد [[الکترومغناطیس]]ی را در خود نگنجانده. برخی از نویسندگان ترجیح داده‌اند که دامنهٔ سامانه را به [[الکترومغناطیس]] گسترش دهند، برای مثال، [[ثابت گذردهی خلأ|ثابت الکتریکی]] ε<sub>۰</sub> یا ۴πε<sub>۰</sub> را به این فهرست اضافه می‌کنند. برخی دیگر از نویسندگان با بکارگیری ابعاد سامانه، مقادیر عددی دیگری را بر حسب یک یا چند مورد از چهار ثابت بالا به‌کار می‌برند.

== معرفی ==
به هر سامانۀ اندازه‌گیری ممکن است مجموعه‌ای از کمیت‌های پایه و یکاهای پایه مرتبط به‌طور مستقل نسبت داده شود که همه کمیت‌ها و یکاهای دیگر را می‌توان از آن استخراج کرد. برای نمونه، در [[دستگاه بین‌المللی یکاها|سامانۀ بین‌المللی یکاها]] ، کمیت‌های پایه SI شامل طول با یکای مربوط به [[متر]] است. در سامانۀ یکاهای پلانک، ممکن است مجموعه مشابهی از کمیت‌های پایه و یکاهای مرتبط انتخاب شود که بر حسب آن مقادیر دیگر و یکاهای منسجم بیان شوند.   {{Rp}}[[یکای طول]] پلانک به طول پلانک و یکای زمان پلانک به زمان پلانک معروف است، اما این نامگذاری به عنوان گسترش به همه کمیت‌ها ایجاد نشده‌است.

همه یکاهای پلانک از ثابت‌های فیزیکی جهانی دارای بعد که سامانه را تعریف می‌کنند مشتق می‌شوند، و در قراردادی که در آن این یکاها حذف می‌شوند (یعنی دارای مقدار بی‌بعد ۱ هستند)، این ثابت‌ها از معادلات فیزیک که در آن ظاهر می‌شوند، حذف می‌شوند. به عنوان مثال، [[قانون جهانی گرانش نیوتن|قانون گرانش جهانی نیوتن]]،

: <math>F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} = \left( \frac{F_\text{P} l_\text{P}^2}{m_\text{P}^2} \right)\frac{m_1 m_2}{r^2},</math>

را می توان به صورت زیر بیان کرد:

: <math>\frac{F}{F_\text{P}} = \frac{\left(\dfrac{m_1}{m_\text{P}}\right) \left(\dfrac{m_2}{m_\text{P}}\right)}{\left(\dfrac{r}{l_\text{P}}\right)^2}.</math>

هر دو معادله [[تحلیل ابعادی|از نظر ابعادی سازگار]] هستند و در ''هر'' سامانۀ کمیت به یک اندازه معتبر هستند، اما معادله دوم، با وجود ''G'' وجود ندارد، تنها [[کمیت بدون بعد|کمیت‌های بدون بعد]] را مرتبط می‌کند، زیرا هر نسبتی از دو کمیت هم‌بعد، کمیتی بدون بعد است. اگر بر پایۀ یک قرارداد کوتاه نویسی، درک شود که هر [[کمیت فیزیکی]]، نسبت متناظر با یک یکای پلانک منسجم است (یا "بیان شده در یکاهای پلانک" است)، نسبت‌های بالا ممکن است به سادگی با نمادهای کمیت فیزیکی بیان شوند، بدون اینکه با یکای مربوطه خود اندازه‌گیری شوند:

: <math>F' = \frac{m_1' m_2'}{r'^2}.</math>

این آخرین معادله (بدون ''G'' ) با ''F'' {{′}} ، ''m'' <sub>1</sub> "، ''m'' <sub>2</sub> " و ''r'' {{′}} که کمیت‌های نسبت بی بعد ''متناظر'' هستند معتبر است.''&nbsp;به'' مقادیر استاندارد، برای نمونه نوشته شده است: {{Nowrap|''F''{{′}} ≘ ''F''}} or {{Nowrap|1=''F''{{′}} = ''F''/''F''{{sub|P}}}}, ولی نه به عنوان یک برابری مستقیم میان کمیت‌ها. اگر مطابقت کمیت‌ها به عنوان برابری در نظر گرفته شود، ممکن است به نظر برسد که "ثابت‌های ''c'' ، ''G'' و ... را ۱ در نظر می‌گیریم". به همین دلیل پلانک یا دیگر یکاهای طبیعی باید با دقت به کار گرفته شوند. پل اس. وسون با اشاره به " {{Nowrap|1=''G'' = ''c'' {{=}} 1}} " نوشت که "از نظر ریاضی این ترفند پذیرفتنی است که باعث صرفه جویی در کار می شود. از نظر فیزیکی نشان دهنده از دست دادن اطلاعات است و می‌تواند منجر به سردرگمی شود." <ref>{{Cite journal|last=Wesson|first=P. S.|author-link=Paul S. Wesson|year=1980|title=The application of dimensional analysis to cosmology|journal=[[Space Science Reviews]]|volume=27|issue=2|page=117|bibcode=1980SSRv...27..109W|doi=10.1007/bf00212237}}</ref>
== تاریخچه و تعریف ==
مفهوم [[یکاهای طبیعی]] در سال ۱۸۷۴ معرفی شد، زمانی که [[جرج استونی|جورج جانستون استونی]] که به اینکه بار الکتریکی کوانتیزه شده است، اشاره کرد. یکاهای مشتق شده از طول، زمان و جرم، اکنون به افتخار او یکاهای استونی نامیده می‌شود. استونی یکاهای خود را جوری برگزید که ''G'' و ''c'' و [[بار الکترون]] ''e'' از نظر عددی برابر با ۱ باشند.<ref>{{Cite journal|last=Barrow|first=J. D.|author-link=John D. Barrow|date=1983-03-01|title=Natural Units Before Planck|url=https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1983QJRAS..24...24B|journal=Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society|volume=24|pages=24|bibcode=1983QJRAS..24...24B|issn=0035-8738|archive-url=https://web.archive.org/web/20220120030835/https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1983QJRAS..24...24B|archive-date=20 January 2022|access-date=16 April 2022}}</ref> در سال ۱۸۹۹، یک سال پیش از ظهور نظریه کوانتومی، [[ماکس پلانک]] چیزی را معرفی کرد که بعدها به عنوان ثابت پلانک شناخته شد. <ref name="planck-1899">{{Cite journal|last=Planck|first=Max|author-link=Max Planck|year=1899|title=Über irreversible Strahlungsvorgänge|url=https://www.biodiversitylibrary.org/item/93034#page/498/mode/1up|journal=Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin|language=de|volume=5|pages=440–480|archive-url=https://web.archive.org/web/20201117200137/https://www.biodiversitylibrary.org/item/93034#page/498/mode/1up|archive-date=17 November 2020|access-date=23 May 2020}}</ref>  در پایان مقاله، او یکاهای پایه‌ای را پیشنهاد کرد که بعداً به افتخار او نامگذاری شدند. یکاهای پلانک بر پایه کوانتوم [[کنش (فیزیک)|کنش]] هستند که امروزه به عنوان ثابت پلانک شناخته می‌شود که در تقریب وین برای [[تابش جسم سیاه|تابش‌های جسم سیاه]] ظاهر می‌شود. پلانک بر جهانی بودن دستگاه یکا جدید تأکید کرد و نوشت:{{گفتاورد|''... die Möglichkeit gegeben ist, Einheiten für Länge, Masse, Zeit und Temperatur aufzustellen, welche, unabhängig von speciellen Körpern oder Substanzen, ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Culturen notwendig behalten und welche daher als »natürliche Maßeinheiten« bezeichnet werden können''.<br/><br/>
... می‌توان واحدهایی برای طول، جرم، زمان و دما تنظیم کرد که مستقل از اجسام یا مواد خاص هستند و لزوماً معنای خود را برای همه زمان‌ها و برای همه تمدن‌ها، اعم از فرازمینی و غیرانسانی حفظ می کنند، که می‌تواند "واحدهای اندازه گیری طبیعی" نامیده می‌شود.}}پلانک تنها یکاهای مبتنی بر ثابت‌های جهانی را در نظر گرفت <math>G</math> ، <math>h</math> ، <math>c</math> ، و <math>k_{\rm B}</math> برای رسیدن به یکاهای طبیعی برای [[طول]], [[زمان]], [[جرم (فیزیک)|جرم]] و [[دما]] .  تعاریف او با تعاریف امروزی در عامل <math>\sqrt{2 \pi}</math> تفاوت دارد، زیرا در تعاریف نوین از <math>\hbar</math> به جای <math>h</math> استفاده می‌کنند. <ref name="planck-1899">{{Cite journal|last=Planck|first=Max|author-link=Max Planck|year=1899|title=Über irreversible Strahlungsvorgänge|url=https://www.biodiversitylibrary.org/item/93034#page/498/mode/1up|journal=Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin|language=de|volume=5|pages=440–480|archive-url=https://web.archive.org/web/20201117200137/https://www.biodiversitylibrary.org/item/93034#page/498/mode/1up|archive-date=17 November 2020|access-date=23 May 2020}}</ref> <ref name="TOM" />

{| class="wikitable" style="margin:1em auto 1em auto; background:#fff;"
|+جدول ۱: مقادیر امروزی برای کمیت‌های انتخابی اولیه پلانک
!نام
!بعد
!تعریف
!مقدار (یکای [[دستگاه بین‌المللی یکاها|SI]] )
|- style="text-align:left;"
|طول پلانک
|[[طول]] (L)
|<math>l_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}</math>
|{{physconst|lP}}
|-
|جرم پلانک
|[[جرم (فیزیک)|جرم]] (M)
|<math>m_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}</math>
|{{physconst|mP}}
|-
|زمان پلانک
|[[زمان]] (T)
|<math>t_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}</math>
|{{physconst|tP}}
|-
|دمای پلانک
|[[دما]] (Θ)
|<math>T_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G k_\text{B}^2}}</math>
|{{physconst|TP}}
|}

برخلاف مورد [[دستگاه بین‌المللی یکاها]]، هیچ نهاد رسمی وجود ندارد که تعریفی از سامانۀ یکای پلانک ارائه دهد. برخی از نویسندگان یکاهای پایه پلانک را یکاهای جرم، طول و زمان تعریف می‌کنند، با توجه به اینکه یک یکا اضافی برای دما اضافی است. {{نکته‌نویسی|For example, both [[Frank Wilczek]] and [[Barton Zwiebach]] do so,<ref name=":2">{{cite journal
| last = Wilczek
| first = Frank
| author-link = Frank Wilczek
| date = 2005
| title = On Absolute Units, I: Choices
| journal = [[Physics Today]]
| volume = 58
| issue = 10
| pages = 12–13
| doi = 10.1063/1.2138392
| publisher = [[American Institute of Physics]]
| bibcode = 2005PhT....58j..12W
}}</ref><ref name=":0">{{cite book |last=Zwiebach |first=Barton |title=A First Course in String Theory |url=https://archive.org/details/firstcourseinstr0000zwie |publisher=Cambridge University Press |year=2004 |isbn=978-0-521-83143-7 |oclc=58568857 |author-link=Barton Zwiebach}}</ref>{{Rp|page=54}} as does the textbook ''[[Gravitation (book)|Gravitation]]''.<ref name="Gravitation"/>{{rp|1215}}}} جدول‌های دیگر، افزون بر یک یکای دما، یک یکا برای بار الکتریکی می‌افزایند، به طوری که ثابت کولن <math>k_e</math>  <ref name="physics_hypertextbook">{{Cite web|url=https://physics.info/planck/#mechanics|title=Blackbody Radiation|last=Elert|first=Glenn|website=The Physics Hypertextbook|accessdate=2021-02-22|archivedate=3 March 2021|archiveurl=https://web.archive.org/web/20210303061957/https://physics.info/planck/#mechanics}}</ref> یا [[ثابت گذردهی خلأ|گذردهی خلاء]] <math>\epsilon_0</math>  به ۱ ساده شده است. بنابراین، بسته به انتخاب نویسنده، این یکا بار الکتریکی به اشکال زیر انتخاب می‌شوند:

: <math>q_\text{P} = \sqrt{4\pi\epsilon_0 \hbar c} \approx 1.875546 \times 10^{-18} \text{ C} \approx 11.7 \ e</math>

برای <math> k_\text{e} = 1</math> ، یا

: <math>q_\text{P} = \sqrt{\epsilon_0 \hbar c} \approx 5.290818 \times 10^{-19} \text{ C} \approx 3.3 \ e.</math>

برای <math> \varepsilon_0 = 1</math> . {{نکته‌نویسی|Choosing to normalize the [[Coulomb constant]] <math>k_e</math> to 1 establishes an exact correspondence between [[Coulomb's law|electric force]] and [[gravity]]: the electric attraction between two opposite Planck charges will match exactly the gravitational attraction between two Planck masses at any given distance.}} برخی از این جدول‌ها نیز هنگام انجام این کار، جرم را با انرژی جایگزین می‌کنند. 

بار پلانک و همچنین یکاهای الکترومغناطیسی دیگری که می‌توان آنها را مانند مقاومت و [[شار مغناطیسی]] تعریف کرد، نسبت به یکاهای اصلی پلانک دشوارتر است و کمتر مورد استفاده قرار می‌گیرد. <ref name="physics_hypertextbook">{{Cite web|url=https://physics.info/planck/#mechanics|title=Blackbody Radiation|last=Elert|first=Glenn|website=The Physics Hypertextbook|accessdate=2021-02-22|archivedate=3 March 2021|archiveurl=https://web.archive.org/web/20210303061957/https://physics.info/planck/#mechanics}}<cite class="citation web cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFElert">Elert, Glenn. </cite></ref>

در یکاهای SI، مقادیر ''c'' ، ''h'' ، ''e'' و ''kB'' دقیق هستند و مقادیر ''ε'' <sub>0</sub> و ''G'' در یکاهای SI به ترتیب دارای [[عدم قطعیت]] نسبی {{Physconst|eps0}}  و {{Physconst|G}} هستند. از این رو، عدم قطعیت در مقادیر SI یکاهای پلانک تقریباً به طور کامل از عدم قطعیت در مقدار ''G'' در دستگاه بین‌المللی یکاها ناشی می‌شود.

== یکاهای مشتق شده ==
در هر دستگاه اندازه‌گیری، یکاهای بسیاری از کمیت‌های فیزیکی را می‌توان از یکاهای پایه استخراج کرد. جدول ۲ نمونه‌ای از یکاهای پلانک مشتق شده را ارائه می‌دهد که برخی از آنها به ندرت استفاده می‌شوند. همانند یکاهای پایه، استفاده از آنها بیشتر به فیزیک نظری محدود می‌شود، زیرا اکثر آنها برای استفاده تجربی یا عملی بسیار بزرگ یا کوچک هستند و عدم قطعیت‌های زیادی در مقادیر آنها وجود دارد.

{| class="wikitable" style="margin:1em auto 1em auto; background:#fff;"
|+جدول ۲: واحدهای رایج مشتق شده از واحدهای پلانک
!یکا مشتق شده
!تعریف
!معادل [[دستگاه بین‌المللی یکاها|SI]] تقریبی
|- style="text-align:left;"
|[[مساحت]] (L<sup>2</sup>)
|<math> l_\text{P}^2 = \frac{\hbar G}{c^3}</math>
|{{val|2.6121|e=-70|ul=m2}}
|- style="text-align:left;"
|[[حجم]] (L<sup>3</sup>)
|<math> l_\text{P}^3 = \left( \frac{\hbar G}{c^3} \right)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{(\hbar G)^3}{c^9}}</math>
|{{val|4.2217|e=-105|ul=m3}}
|-
|[[تکانه]] (LMT <sup>-1</sup>)
|<math>m_\text{P} c = \frac{\hbar}{l_\text{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^3}{G}} </math>
|{{val|6.5249|u=[[Newton-second|kg⋅m/s]]}}
|-
|[[انرژی]] (L<sup>2</sup> MT <sup>-2</sup>)
|<math>E_\text{P} = m_\text{P} c^2 = \frac{\hbar}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}} </math>
|{{val|1.9561|e=9|ul=J}}
|-
|[[نیرو]] (LMT <sup>-2</sup>)
|<math>F_\text{P} = \frac{E_\text{P}}{l_\text{P}} = \frac{\hbar}{l_\text{P} t_\text{P}} = \frac{c^4}{G} </math>
|{{val|1.2103|e=44|ul=N}}
|-
|[[چگالی]] (L <sup>-3</sup> M)
|<math>\rho_\text{P} = \frac{m_\text{P}}{l_\text{P}^3} = \frac{\hbar t_\text{P}}{l_\text{P}^5} = \frac{c^5}{\hbar G^2} </math>
|{{val|5.1550|e=96|ul=kg/m3}}
|-
|[[شتاب]] (LT <sup>-2</sup>)
|<math> a_\text{P} = \frac{c}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{c^7}{\hbar G}}</math>
|{{val|5.5608|e=51|ul=m/s2}}
|}

برخی از یکاهای پلانک، مانند زمان و طول، از مرتبه‌های بسیار بزرگ یا بسیار کوچک هستند که نمی‌توانند کاربرد عملی داشته باشند، به طوری که یکاهای پلانک به عنوان یک دستگاه معمولاً فقط به فیزیک نظری مربوط می‌شوند. در برخی موارد، یکای پلانک ممکن است محدودیتی را برای دامنه کمیت فیزیکی که نظریه‌های کنونی فیزیک اعمال می‌شود، پیشنهاد کند.  برای نمونه، دریافت ما از [[مه‌بانگ]] به [[دوره پلنک|دوره پلانک]]، یعنی زمانی که جهان کمتر از یک زمان پلانک بود، گسترش نمی‌یابد. توصیف جهان در دوران پلانک نیازمند نظریه [[گرانش کوانتومی]] است که اثرات کوانتومی را در [[نسبیت عام]] وارد کند. چنین نظریه ای هنوز وجود ندارد.

چندین مقدار از نظر قدر «افراطی» نیستند، مانند جرم پلانک، که نزدیک ۲۲ میکروگرم است: در مقایسه با ذرات زیر اتمی، و در محدوده جرم موجودات زنده بسیار بزرگ است.  {{Rp|872}}به طور مشابه، یکاهای انرژی و تکانه مرتبط در محدوده برخی از پدیده‌های روزمره هستند.

== اهمیت ==
یکاهای پلانک دلبخواهی [[انسان‌محوری|انسان محوری]] کمی دارند، اما همچنان شامل برخی از انتخاب های دلخواه از نظر مزیت‌های تعیین‌کننده هستند. برخلاف [[متر]] و [[ثانیه]] که به دلایل تاریخی به عنوان [[یکای اصلی اس‌آی|یکاهای پایه]] در دستگاه [[دستگاه بین‌المللی یکاها|SI]] وجود دارند، [[یکاهای پلانک|طول پلانک]] و زمان پلانک از نظر مفهومی در یک سطح فیزیکی اساسی به هم مرتبط هستند. در نتیجه، یکاهای طبیعی به فیزیکدانان کمک می‌کنند تا پرسش‌ها را دوباره مطرح کنند. [[فرانک ویلچک]] آن را به اختصار بیان می کند:{{گفتاورد|We see that the question [posed] is not, "Why is gravity so feeble?" but rather, "Why is the proton's mass so small?" For in natural (Planck) units, the strength of gravity simply is what it is, a primary quantity, while the proton's mass is the tiny number [1/(13&nbsp;[[Names of large numbers&#124;quintillion]])].<ref>{{cite journal|title=Scaling Mount Planck I: A View from the Bottom|journal=[[Physics Today]]|volume=54|issue=6|pages=12–13|year=2001|last=Wilczek|first=Frank|author-link=Frank Wilczek |doi=10.1063/1.1387576|bibcode=2001PhT....54f..12W|doi-access=free}}</ref>}}
<references />
در حالی که درست است که نیروی رانش(دافعه) الکترواستاتیکی میان دو پروتون (به تنهایی در فضای آزاد) بسیار بیشتر از نیروی گرانشی میان همان دو پروتون است، اما این در مورد قدرت نسبی دو نیروی اساسی نیست. از دیدگاه یکاهای پلانک، این مقایسه سیب با پرتقال است، زیرا [[جرم (فیزیک)|جرم]] و [[بار الکتریکی]] مقادیر [[تحلیل ابعادی|غیر قابل قیاس]] هستند. در عوض، نابرابری نسبت نیرو نشان‌دهنده این واقعیت است که [[بار الکترون|بار پروتون‌ها]] تقریباً هم‌اندازه بار پلانک است اما جرم [[پروتون|پروتون‌ها]] به مراتب کمتر از یکای جرم پلانک است.
== معادلات بدون بعد کردن ==
کمیت‌های فیزیکی که ابعاد متفاوتی دارند (مانند زمان و طول) را نمی‌توان حتی اگر از نظر عددی برابر باشند (مثلاً ۱ ثانیه با ۱ متر یکی نیست) معادل سازی کرد. با این حال، در فیزیک نظری، این مشکل ممکن است با فرایندی به نام بدون بعد کردن حل شود. نتیجه مؤثر این است که بسیاری از معادلات بنیادی فیزیک، که بیشتر شامل برخی از ثابت‌های مورد استفاده برای تعریف یکاهای پلانک می‌شوند، به معادلاتی تبدیل می‌شوند که در آن این ثابت‌ها با عدد یک جایگزین می‌شوند.

برای نمونه می توان به رابطه انرژی–تکانه اشاره کرد <math>\ E^2 = (m c^2)^2 + (p c)^2 </math> ، که می شود <math> E^2 = m^2 + p^2 </math> و [[معادله دیراک]] <math>\ ( i\hbar \gamma^\mu \partial_\mu - mc) \psi = 0</math> ، که می شود <math>\ ( i\gamma^\mu \partial_\mu - m) \psi = 0</math> .

== جستارهای وابسته ==
* [[تحلیل ابعادی]]
* [[نسبیت خاص دوگانه]]
* [[ذره پلانک]]
* [[انرژی نقطه صفر]]

== یادداشت‌ها ==
{{یادداشت‌ها}}

== منابع ==
{{پانویس}}

== پیوند به بیرون ==
{{درگاه|فیزیک}}

{{گاه‌شمار بیگ بنگ}}

[[رده:یکاهای پلانک| ]]
[[رده:گرانش کوانتومی]]
[[رده:ماکس پلانک]]
[[رده:یکاهای طبیعی]]