نمایش مبدأ برای گسترنده

[[پرونده:Ellipse with evolute.png|200px|چپ|thumb|منحنی آبی‌رنگ یک بیضی است. نقاط قرمز نشان‌دهنده خط سیر مراکز مختلف انحنای محلی هستند. این نقاط قرمز در کنار هم گسترندهٔ بیضی را تشکیل می‌دهند.]]

در هندسه مسطح، '''گُستَرَندهٔ'''<ref>سید سراج حمیدی. “گسترنده منحنی — به زبان ساده. ” فرادرس - مجله. مجله فرادرس، گسترنده-منحنی</ref> یا اولوت ({{lang-en|Evolute}}) یک منحنی هموار، مکان هندسی (مجموعه) تمام مراکز انحنای محلی آن منحنی است.

اگر C یک منحنی هموار با شعاع انحنای غیر صفر و متناهی باشد و E گسترنده C باشد، آنگاه C یک گستران از E است. برعکس، گسترندهٔ یک [[گستران]]، منحنی اصلی است.

== مقادیر حدی ==
اگر شعاع انحنای C به یک حداقل یا حداکثر محلی معمولی برسد، گسترنده C یک [[نقطه تکین]] دارد که به شکل یک تیزه دیده می‌شود.

اگر C یک منحنی بسته محدب هموار با شعاع انحنای متناهی در همه جا باشد (به ویژه، بدون بخش‌های مستقیم)، و p نقطه‌ای از صفحه باشد که روی گسترنده C قرار ندارد، آنگاه فاصله C تا p دارای تعداد محدودی کمینه محلی است، و این تعداد برابر است با یک به اضافه (مقدار مطلق) عدد پیچش گسترنده C در اطراف p.

== مثال ==
در شکل بیضی بالا، شعاع انحنا به چهار [[بیشینه و کمینه|فرینه]] (اکسترمم) محلی می‌رسد، هر بار در نقاط تقاطع با محورها؛ بنابراین، چهار نقطه تکین روی گسترنده وجود دارد که در شکل به صورت برآمدگی‌های تیز قابل مشاهده است. نقاط صفحه که در داخل گسترنده قرار دارند، دارای دو کمینه محلی برای فاصله تا بیضی هستند. نقاطی که خارج از گسترنده قرار دارند، تنها یک چنین کمینه محلی دارند. گسترنده سهمی، سهمی نیمه‌مکعبی است.

== توضیحات بیشتر ==
[[Image:Evolute1.gif|چپ|thumb|گسترنده یک منحنی (در این مورد، یک بیضی) پوشش دهنده خطوط نرمال آن است.]]
[[File:Evolute-parab-1-e.svg|thumb|گسترنده یک [[منحنی]] (سهمی آبی رنگ) مکان هندسی تمام مراکز انحنای آن است (قرمز).]]

در [[هندسه دیفرانسیل منحنی‌ها]]، گسترنده یک [[منحنی]]، [[مکان هندسی]] همه [[مراکز انحنا]]ی آن است. به عبارت دیگر، هنگامی که مرکز انحنای هر نقطه روی منحنی رسم شود، شکل حاصل گسترنده آن منحنی خواهد بود؛ بنابراین، گسترنده یک دایره یک نقطه واحد در مرکز آن است.<ref>{{MathWorld|title=Circle Evolute|id=CircleEvolute}}</ref> به‌طور معادل، یک گسترنده [[منحنی محاطی]] [[عمود]]های یک منحنی است.

گسترنده یک منحنی، یک رویه، یا به‌طور کلی یک [[زیرخمینه]]، [[خط سیر (ریاضیات)|خط سیر]] (caustic) نگاشت نرمال است. فرض کنید M یک زیرخمینه هموار و منظم در {{ریاضی|'''R'''<sup>''n''</sup>}} باشد. برای هر نقطه p در M و هر بردار v که در p قرار دارد و بر M عمود است، نقطه p + v را به آن مرتبط می‌کنیم. این یک [[نگاشت لاگرانژی]] را تعریف می‌کند که نگاشت نرمال نامیده می‌شود. خط سیر نگاشت نرمال، گسترنده M است.<ref name="Arnold">{{Cite book|first=V. I.| last=Arnold | first2=A. N.| last2=Varchenko |first3=S. M. |last3=Gusein-Zade|title=The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1|url=https://archive.org/details/singularitiesofd0002arno|publisher=[[Birkhäuser]] |year=1985 |isbn=0-8176-3187-9}}</ref>

گسترنده‌ها ارتباط نزدیکی با [[گستران]]‌ها دارند: یک منحنی گسترنده هر یک از گستران‌های خود است.

== تاریخچه ==
[[آپولونیوس]] (حدود ۲۰۰ میلادی) در کتاب V از کتاب خود «[[مقطع مخروطی|مقاطع مخروطی]]» به گسترنده‌ها پرداخت. با این حال، گاهی اوقات [[کریستیان هویگنس]] (۱۶۷۳) به عنوان اولین کسی که آنها را مطالعه کرد، شناخته می‌شود. هویگنس نظریه خود را در مورد گسترنده‌ها در حدود سال ۱۶۵۹ تدوین کرد تا به حل مشکل یافتن [[خم هم‌زمانی]] کمک کند، که به نوبه خود به او در ساخت یک [[آونگ]] هم‌زمان کمک کرد. این به این دلیل بود که منحنی تاتوکرون یک [[چرخ‌زاد]] است و چرخ‌زاد دارای ویژگی منحصر به فردی است که گسترنده آن نیز یک چرخ‌زاد است. در واقع، نظریه گسترنده‌ها به هویگنس اجازه داد تا به نتایج زیادی دست یابد که بعداً با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال به دست آمد.<ref>{{cite book|last=Yoder|first=Joella G.|title=Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature|publisher=[[انتشارات دانشگاه کمبریج]]|date=2004}}</ref>

== گسترنده یک منحنی پارامتری ==
اگر <math>\vec x= \vec c(t),\; t\in [t_1, t_2]</math> نمایش پارامتری یک [[منحنی]] در صفحه باشد که انحنای آن هیچ جا صفر نیست و <math>\rho(t)</math> شعاع انحنای آن و <math>\vec n(t)</math> نرمال واحد به سمت مرکز انحنا باشد، آنگاه
<math display="block">\vec E(t) = \vec c(t) + \rho (t) \vec n(t)</math>
'''گسترنده''' منحنی داده شده را توصیف می‌کند.

برای <math>\vec c(t)=(x(t),y(t))^\mathsf{T}</math> and <math>\vec E=(X,Y)^\mathsf{T}</math> به دست می‌آید:
<math display="block"> X(t) = x(t) - \frac{y'(t) \Big(x'(t)^2+y'(t)^2\Big)}{x'(t) y''(t) - x''(t) y'(t)}</math> and
<math display="block"> Y(t) = y(t) + \frac{x'(t) \Big(x'(t)^2+y'(t)^2\Big)}{x'(t) y''(t) - x''(t) y'(t)}.</math>

== ویژگی‌های گسترنده ==
[[File:Evolute-parab-2-e.svg|thumb|خط نرمال در نقطه P مماس بر مرکز انحنا C است.]]
برای به دست آوردن خواص یک منحنی منظم، استفاده از [[طول قوس]] <math>s</math> منحنی داده شده به عنوان پارامتر آن، به دلیل <math display="inline">\left|\vec c'\right| = 1</math> و <math display="inline">\vec n' = -\vec c'/\rho</math> (به [[فرمول‌های فرنه-سره]] مراجعه کنید) مفید است. از این رو بردار مماس گسترنده <math display="inline">\vec E=\vec c +\rho \vec n </math> برابر است با:
<math display="block">\vec E' = \vec c' +\rho'\vec n + \rho\vec n' = \rho'\vec n\ .</math>
از این معادله می‌توان ویژگی‌های زیر را برای گسترنده به دست آورد:
* در نقاطی که <math>\rho' = 0</math> است، گسترنده *منظم نیست*. به این معنی که: در نقاطی که دارای انحنای حداکثر یا حداقل هستند ([[راس (منحنی)|رئوس]] منحنی داده شده)، گسترنده دارای *تیزه* است. (به نمودارهای گسترنده‌های سهمی، بیضی، دایره و گرده‌گون مراجعه کنید)
* برای هر کمانی از گسترنده که شامل تیزه‌ای نیست، طول کمان برابر است با تفاوت بین شعاع‌های انحنا در نقاط انتهایی آن. این واقعیت منجر به اثبات ساده‌ای از [[قضیه تیت-کنسر]] در مورد تو در تو بودن [[دایره‌های بوسان]] می‌شود.<ref>{{cite journal|last1=Ghys| first1=Étienne|author1-link=Étienne Ghys| last2=Tabachnikov|first2=Sergei|author2-link=Sergei Tabachnikov| last3=Timorin| first3=Vladlen| arxiv=1207.5662| doi=10.1007/s00283-012-9336-6| issue=1| journal=The Mathematical Intelligencer| mr=3041992|pages=61–66| title=Osculating curves: around the Tait-Kneser theorem|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_spring-2013_35_1/page/61| volume=35|year=2013}}</ref>
* خطوط نرمال منحنی داده شده در نقاط با انحنای غیر صفر، مماس بر گسترنده هستند، و نرمال‌های منحنی در نقاط با انحنای صفر، مجانب گسترنده هستند. از این رو: گسترنده «پوشش دهنده خطوط نرمال» منحنی داده شده است.
* در بخش‌هایی از منحنی که <math>\rho' > 0</math> یا <math>\rho' < 0</math> است، منحنی یک «گستران» از گسترنده خود است. (در نمودار: سهمی آبی یک گستران از سهمی نیمه‌مکعبی قرمز است که در واقع گسترنده سهمی آبی است)

''اثبات'' ویژگی آخر:
فرض کنید در بخش مورد نظر <math>\rho' > 0</math> باشد. یک [[گستران]] از گسترنده را می‌توان به صورت زیر توصیف کرد:
<math display="block">\vec C_0=\vec E -\frac{\vec E'}{\left|\vec E'\right|} \left(\int_0^s\left|\vec E'(w)\right| \mathrm dw + l_0 \right) ,</math>
که <math>l_0</math> یک گسترش ثابت نخ است (به [[گستران]] مراجعه کنید).{{سخ}}
با <math>\vec E=\vec c +\rho\vec n\; ,\; \vec E'=\rho'\vec n</math> و <math>\rho'>0</math> به دست می‌آید
<math display="block">\vec C_0 = \vec c +\rho\vec n-\vec n \left(\int_0^s \rho'(w) \; \mathrm dw \;+l_0\right)= \vec c + (\rho(0) - l_0)\; \vec n\, .</math>
این به این معنی است: برای گسترش نخ <math>l_0=\rho(0)</math>، منحنی داده شده بازتولید می‌شود.
* ''منحنی‌های موازی'' گسترنده یکسانی دارند.

''اثبات:'' یک منحنی موازی با فاصله <math>d</math> از منحنی داده شده دارای نمایش پارامتری <math>\vec c_d = \vec c + d\vec n</math> و شعاع انحنای <math>\rho_d=\rho -d</math> است (به [[منحنی موازی]] مراجعه کنید). از این رو گسترنده منحنی موازی برابر است با: <math display="block">\vec E_d = \vec c_d +\rho_d \vec n =\vec c +d\vec n +(\rho -d)\vec n=\vec c +\rho \vec n = \vec E\; .</math>

== مثال‌ها ==
=== گسترنده یک سهمی ===
برای سهمی با نمایش پارامتری <math>(t,t^2)</math> از فرمول‌های بالا معادلات زیر به دست می‌آیند:
<math display="block">X=\cdots=-4t^3</math>
<math display="block">Y=\cdots=\frac{1}{2} + 3t^2 \, ,</math>
که یک [[سهمی نیمه‌مکعبی]] را توصیف می‌کند.

[[File:Evolute-elli.svg|thumb|گسترنده (قرمز) یک بیضی]]

=== گسترنده یک بیضی ===
برای بیضی با نمایش پارامتری <math>(a\cos t, b\sin t)</math> به دست می‌آید:<ref>R.Courant: ''Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung.'' Band 1, Springer-Verlag, 1955, S. 268.</ref>
<math display="block">X= \cdots = \frac{a^2-b^2}{a}\cos ^3t</math>
<math display="block">Y= \cdots = \frac{b^2-a^2}{b}\sin ^3t \; .</math>
اینها معادلات یک [[ستاره‌گون]] نامتقارن هستند.
حذف پارامتر <math>t</math> منجر به نمایش ضمنی می‌شود
<math display="block">(aX)^{\tfrac{2}{3}} +(bY)^{\tfrac{2}{3}} = (a^2-b^2)^{\tfrac{2}{3}}\ .</math>

[[File:Cycloid osculating circle evolute 2.gif|upright=1.2|thumb|چرخ‌زاد (آبی)، دایره بوسان آن (قرمز) و گسترنده آن (سبز).]]

=== گسترنده یک چرخ‌زاد ===
برای [[چرخ‌زاد]] با نمایش پارامتری <math>(r(t - \sin t), r(1 - \cos t))</math>، گسترنده به صورت زیر خواهد بود:<ref>{{MathWorld|title=Cycloid Evolute |id=CycloidEvolute}}</ref>
<math display="block">X=\cdots=r(t + \sin t)</math>
<math display="block">Y=\cdots=r(\cos t - 1)</math>
که یک کپی جابجا شده از خودش را توصیف می‌کند.
[[File:Nephroide-evolute-e.svg|upright=1.2|thumb|گسترنده گُرده‌گون (نفروئید) بزرگ (آبی)، گرده‌گون کوچک (قرمز) است.]]

=== گسترنده منحنی‌های لگاریتمی-زیبایی‌شناختی ===
گسترنده یک [[Cesàro equation | منحنی لگاریتمی-زیبایی‌شناختی]]، یک منحنی لگاریتمی-زیبایی‌شناختی دیگر است.<ref>{{cite journal | author=Yoshida, N. , & Saito, T. | year=2012 | title=The Evolutes of Log-Aesthetic Planar Curves and the Drawable Boundaries of the Curve Segments | journal=Computer-Aided Design and Applications |volume=9 | issue=5 |pages=721–731 | doi=10.3722/cadaps.2012.721-731}}</ref> یک نمونه از این رابطه این است که گسترنده یک [[مارپیچ اویلر]] یک مارپیچ با [[Cesàro equation]] <math>\kappa(s) = -s^{-3}</math> است.<ref>{{cite web| url=[https://linebender.org/wiki/curves/euler-spiral-evolute/](https://linebender.org/wiki/curves/euler-spiral-evolute/)| title=Evolute of the Euler spiral| website=Linebender wiki| date=2024-03-11}}{{پیوند مرده}}</ref>

== گسترنده‌های برخی از منحنی‌ها ==
گسترندهٔ
* یک [[سهمی]] یک سهمی نیمه‌مکعبی است (به بالا مراجعه کنید)،
* یک [[بیضی]] یک ستاره‌گون نامتقارن است (به بالا مراجعه کنید)،
* یک [[خط (هندسه)|خط]] یک [[نقطه در بی‌نهایت]] است،
* یک [[گرده‌گون|گُرده‌گون]]، یک نفروئید (نصف اندازه، به نمودار مراجعه کنید) است،
* یک [[ستاره‌گون]] یک ستاره‌گون (دو برابر بزرگتر) است،
* یک [[دل‌گون]] یک دل‌گون (کاردیوئید) (یک سوم کوچکتر) است،
* یک [[دایره]] مرکز آن است،
* یک [[دلتاگون]] (دلتوئید) (سه برابر بزرگتر) است،
* یک [[چرخ‌زاد]] یک چرخ‌زاد همنهشت است،
* یک [[مارپیچ لگاریتمی]] همان مارپیچ لگاریتمی است،
* یک [[کشانده]] (تراکتریکس) یک زنجیره‌وار است.

== منحنی شعاعی ==
منحنی با تعریف مشابه، '''شعاعی''' یک منحنی داده شده است. برای هر نقطه روی منحنی، بردار از نقطه به مرکز انحنا را در نظر بگیرید و آن را طوری انتقال دهید که از مبدأ شروع شود. سپس به مکان هندسی نقاط انتهایی چنین بردارهایی، شعاعی منحنی گفته می‌شود. معادله شعاعی با حذف عبارات x و y از معادله گسترنده به دست می‌آید. این به صورت زیر است:
<math display="block">(X, Y)= \left(-y'\frac{{x'}^2+{y'}^2}{x'y''-x''y'}\; ,\; x'\frac{{x'}^2+{y'}^2}{x'y''-x''y'}\right) .</math>

== منابع ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}
* {{یادکرد-ویکی|پیوند =//en.wikipedia.org/w/index.php?title=Evolute&oldid=1225494191|عنوان = Evolute|زبان =انگلیسی|بازیابی =۱۹ ژوئیه ۲۰۲۴}}

[[رده:منحنی‌ها]]
[[رده:هندسه دیفرانسیل]]