نمایش مبدأ برای گستران

[[File:Evolvente-parabel.svg|thumb|دو گستران (قرمز) یک سهمی]]
در [[ریاضیات]]، '''گُستَران'''<ref>سید سراج حمیدی. “گسترنده منحنی — به زبان ساده. ” فرادرس - مجله. مجله فرادرس، گسترنده-منحنی</ref> یا اینولوت ({{lang-en|Involute}}) نوع خاصی از [[منحنی]] است که به شکل یا منحنی دیگری وابسته است. گستران یک منحنی، [[مکان هندسی]] یک نقطه روی یک قطعه نخ کشیده است که نخ یا از روی منحنی باز می‌شود یا دور آن پیچیده می‌شود.<ref>{{Cite book|title=Geometry of Curves|last=Rutter|first=J.W.|publisher=CRC Press|year=2000|isbn=978-1-58488-166-7|pages=[https://archive.org/details/geometryofcurves0000rutt/page/204](https://archive.org/details/geometryofcurves0000rutt/page/204) 204]|url=[https://archive.org/details/geometryofcurves0000rutt/page/204](https://archive.org/details/geometryofcurves0000rutt/page/204)}}</ref>

گسترندهٔ یک منحنی گستران، منحنی اصلی است.

این مفهوم توسط خانواده منحنی‌های [[غلتان]] تعمیم می‌یابد؛ یعنی گستران‌های یک منحنی، غلتان‌های (رولت‌های) منحنی هستند که توسط یک خط مستقیم ایجاد می‌شوند.

مفاهیم گستران و گسترندهٔ (evolute) یک منحنی توسط [[کریستیان هویگنس]] در اثر خود با عنوان ''[[ساعت آونگی (کتاب)|ساعت آونگی]]'' (۱۶۷۳) معرفی شد، جایی که او نشان داد که گستران یک [[چرخ‌زاد]] هنوز یک چرخ‌زاد است، بنابراین روشی برای ساخت [[چرخ‌زاد]] ارائه داد که دارای ویژگی مفید این است که دوره آن مستقل از دامنه نوسان است.<ref>{{Cite book|title=Geometry from a Differentiable Viewpoint|url=[https://archive.org/details/geometryfromdiff00mccl_866](https://archive.org/details/geometryfromdiff00mccl_866)|url-access=limited|last=McCleary|first=John|publisher=Cambridge University Press|year=2013|isbn=978-0-521-11607-7|pages=[https://archive.org/details/geometryfromdiff00mccl_866/page/n105](https://archive.org/details/geometryfromdiff00mccl_866/page/n105) 89]}}</ref>

== گستران یک منحنی پارامتری ==
فرض کنید  <math> \vec c(t),\; t\in [t_1,t_2] </math> یک [[منحنی]] در صفحه باشد که [[انحنا]] آن هیچ جا صفر نیست و <math>a\in (t_1,t_2)</math>، سپس منحنی با نمایش پارامتری

<math>\vec C_a(t)=\vec c(t) -\frac{\vec c'(t)}{|\vec c'(t)|}\; \int_a^t|\vec c'(w)|\; dw </math>

یک ''گستران'' از منحنی داده شده است.
{| class="wikitable" width=100%;
|+
|{{Show|اثبات|رشته به عنوان یک [[مماس]] به منحنی <math> \vec c(t) </math> عمل می‌کند. طول آن با مقداری برابر با [[طول قوس]] طی شده هنگام پیچیدن یا باز شدن تغییر می‌کند. طول قوس منحنی طی شده در بازه <math>[a,t]</math> توسط

<math> \int_a^t|\vec c'(w)|\; dw </math>

داده می‌شود، که <math> a </math> نقطه شروع است که از آنجا طول قوس اندازه‌گیری می‌شود. از آنجایی که بردار مماس نشان دهنده رشته کشیده در اینجا است، بردار رشته را به صورت

<math>\frac{\vec c'(t)}{|\vec c'(t)|}\; \int_a^t|\vec c'(w)|\; dw </math>

به دست می‌آوریم. بردار مربوط به نقطه انتهایی رشته (<math>\vec C_a(t) </math>) را می‌توان به راحتی با استفاده از [[Vector notation#Operations|جمع بردار]] محاسبه کرد و به دست می‌آید

<math>\vec C_a(t)=\vec c(t) -\frac{\vec c'(t)}{|\vec c'(t)|}\; \int_a^t|\vec c'(w)|\; dw </math>
}}
|}

با اضافه کردن یک عدد دلخواه اما ثابت <math>l_0</math> به انتگرال  <math> \Bigl(\int_a^t|\vec c'(w)|\; dw\Bigr) </math>، یک گستران متناظر با یک نخ که به اندازه <math>l_0</math> افزایش یافته است (مانند یک توپ [[نخ]] که قبل از باز شدن مقداری نخ از آن آویزان است) به دست می‌آید. از این رو، گستران را می‌توان با ثابت <math>a</math> و/یا اضافه کردن یک عدد به انتگرال تغییر داد (به [[#Involutes of a semicubic parabola|گستران‌های یک سهمی نیمه‌مکعبی]] مراجعه کنید).

اگر <math>\vec c(t)=(x(t),y(t))^T</math> باشد، به دست می‌آید:

:<math>\begin{align}
X(t) &= x(t) - \frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(w)^2 + y'(w)^2} \,dw \\
Y(t) &= y(t) - \frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(w)^2 + y'(w)^2} \,dw \; .
\end{align}</math>

== ویژگی‌های گستران‌ها ==
[[File:Involute(in red) of parabola(dark blue).png|alt=|thumb|گستران: ویژگی‌ها. زوایای نشان داده شده ۹۰ درجه هستند.]]
برای به دست آوردن ویژگی‌های یک منحنی منظم، بهتر است فرض کنیم [[طول قوس]] <math>s</math> پارامتر منحنی داده شده باشد، که منجر به ساده‌سازی‌های زیر می‌شود: <math>\;|\vec c'(s)|=1\;</math> and <math>\;\vec c''(s)=\kappa(s)\vec n(s)\;</math>، که <math>\kappa</math> [[انحنا]] و <math>\vec n</math> بردار نرمال واحد است. برای گستران به دست می‌آید:

:<math>\vec C_a(s)=\vec c(s) -\vec c'(s)(s-a)\ </math> and
:<math>\vec C_a'(s)=-\vec c''(s)(s-a)=-\kappa(s)\vec n(s)(s-a)\; </math>
و عبارت:
* در نقطه <math> \vec C_a(a)</math> گستران ''منظم نیست'' (زیرا <math>| \vec C_a'(a)|=0</math>)،
و از <math>\; \vec C_a'(s)\cdot\vec c'(s)=0 \;</math> نتیجه می‌شود:
* نرمال گستران در نقطه <math>\vec C_a(s)</math>، مماس منحنی داده شده در نقطه <math>\vec c(s)</math> است.
* گستران‌ها [[منحنی موازی]] هستند، به دلیل <math>\vec C_a(s)=\vec C_0(s)+a\vec c'(s)</math> و این واقعیت که <math>\vec c'(s)</math> نرمال واحد در <math>\vec C_0(s)</math> است.

خانواده گستران‌ها و خانواده مماس‌های منحنی اصلی یک [[دستگاه مختصات متعامد]] را تشکیل می‌دهند. در نتیجه، می‌توان گستران‌ها را به صورت گرافیکی ساخت. ابتدا، خانواده خطوط مماس را رسم کنید. سپس، یک گستران را می‌توان با همیشه عمود ماندن بر خط مماس عبوری از نقطه ساخت.

=== تیزه‌ها ===
این بخش بر اساس این منبع است.<ref>{{Cite book |last=Arnolʹd |first=V. I. |url=[https://www.worldcat.org/oclc/21873606](https://www.worldcat.org/oclc/21873606) |title=Huygens and Barrow, Newton and Hooke: pioneers in mathematical analysis and catastrophe theory from evolvents to quasicrystals |date=1990 |publisher=Birkhaüser Verlag |isbn=0-8176-2383-3 |location=Basel |oclc=21873606}}</ref>

به‌طور کلی دو نوع تیزه<ref>https://farhangestan.toolforge.org/results?word=cusp&wordstart=&wordend=&hozeh=&daftar=همهٔ+دفترها</ref> (کاسپ) در گستران‌ها وجود دارد. نوع اول در نقطه‌ای است که گستران منحنی را لمس می‌کند. این یک تیزه از مرتبه ۳/۲ است. نوع دوم در نقطه‌ای است که منحنی دارای نقطه عطف است. این یک تیزه از مرتبه ۵/۲ است.

این را می‌توان با ساختن یک نگاشت <math>f: \R^2 \to \R^3</math> که توسط <math display="block">(s, t) \mapsto (x(s) + t\cos(\theta), y(s) + t\sin(\theta), t)</math> تعریف می‌شود، به صورت بصری مشاهده کرد، که در آن <math>(x(s), y(s))</math> پارامتری طول قوس منحنی است و <math>\theta</math> زاویه شیب منحنی در نقطه <math>(x(s), y(s))</math> است. این صفحه ۲ بعدی را به یک سطح در فضای ۳ بعدی نگاشت می‌کند. به عنوان مثال، این دایره را به [[هذلولی‌گون]] نگاشت می‌کند.

با این نگاشت، گستران‌ها در یک فرایند سه مرحله‌ای به دست می‌آیند: نگاشت <math>\R</math> به <math>\R^2</math>، سپس به سطح در <math>\R^3</math>، سپس با حذف محور z آن را به <math>\R^2</math> تصویر کنید: <math display="block">s \mapsto (s, l- s) \mapsto f(s, l-s) \mapsto (f(s, l-s)_x, f(s, l-s)_y)</math> که در آن <math>l</math> هر ثابت حقیقی است.

از آنجایی که نگاشت <math>s \mapsto f(s, l-s)</math> در همه <math>s\in \R</math> دارای مشتق غیرصفر است، تیزه‌های گستران فقط در جایی می‌توانند رخ دهند که مشتق <math>s \mapsto f(s, l-s)</math> عمودی باشد (موازی با محور z)، که فقط در جایی می‌تواند رخ دهد که سطح در <math>\R^3</math> دارای یک صفحه مماس عمودی باشد.

به‌طور کلی، سطح در دو حالت دارای صفحات مماس عمودی است: جایی که سطح منحنی را لمس می‌کند و جایی که منحنی دارای یک نقطه عطف است.

==== تیزه از مرتبه ۳/۲ ====
برای نوع اول، می‌توان با گستران یک دایره، با معادله زیر شروع کرد:
<math display="block">\begin{align}

X(t) &= r(\cos t + (t - a)\sin t)\\

Y(t) &= r(\sin t - (t - a)\cos t)

\end{align}</math> سپس <math>a = 0</math> را قرار داده و برای <math>t</math> کوچک بسط دهید تا به دست آید:
<math display="block">\begin{align}

X(t) &= r + r t^2/2 + O(t^4)\\

Y(t) &= rt^3/3 + O(t^5)

\end{align}</math> بنابراین منحنی مرتبه ۳/۲ <math>Y^2 - \frac{8}{9r} (X-r)^{3} + O(Y^{8/3}) = 0 </math>، یک [[سهمی نیمه‌مکعبی]]، به دست می‌آید.

==== تیزه از مرتبه ۵/۲ ====
[[File:Involutes of a cubic curve.svg|thumb|مماس‌ها و گستران‌های منحنی مکعبی <math>y = x^3</math>. تیزه‌های مرتبه ۳/۲ روی منحنی مکعبی هستند، در حالی که تیزه‌های مرتبه ۵/۲ روی محور x (خط مماس در نقطه عطف) هستند.]]

برای نوع دوم، منحنی <math>y = x^3</math> را در نظر بگیرید. قوس از <math>x= 0</math> تا <math>x = s</math> طول <math>\int_0^s \sqrt{1 + (3t^2)^2}dt = s + \frac{9}{10} s^5 - \frac 98 s^9 + O(s^{13})</math> دارد و مماس در <math>x = s</math> زاویه <math>\theta = \arctan(3s^2)</math> دارد؛ بنابراین، گستران شروع شده از <math>x= 0</math> در فاصله <math>L</math> دارای فرمول پارامتری زیر است:
<math display="block">\begin{cases}

 x(s) = s + (L-s-\frac{9}{10}s^5 + \cdots)\cos\theta \\

 y(s) = s^3 + (L-s-\frac{9}{10}s^5 + \cdots)\sin\theta

\end{cases}</math> آن را تا مرتبه <math>s^5</math> بسط دهید، به دست می‌آید:
<math display="block">\begin{cases}

 x(s) = L - \frac 92 L s^4 + (\frac 92 L - \frac{9}{10}) s^5 + O(s^6)\\

 y(s) = 3Ls^2 - 2 s^3 + O(s^6)

\end{cases}</math> که یک تیزه از مرتبه ۵/۲ است. به صراحت، می‌توان برای بسط چند جمله‌ای ارضا شده توسط <math>x, y</math> حل کرد:
<math display="block">\left(x - L + \frac{y^2}{2L} \right)^2 - \left(\frac 92 L + \frac{51}{10} \right)^2 \left(\frac{y}{3L} \right)^5 + O(s^{11}) = 0</math> یا <math display="block">x = L - \frac{y^2}{2L} \pm \left(\frac 92 L + \frac{51}{10} \right) \left(\frac{y}{3L} \right)^{2.5} + O(y^{2.75}),\quad \quad y \geq 0 </math> که به وضوح شکل تیزه را نشان می‌دهد.

با قرار دادن <math>L=0</math>، گستران عبوری از مبدأ را به دست می‌آوریم. این مورد خاص است زیرا شامل هیچ تیزه‌ای نیست. با بسط سری، معادله پارامتری آن به صورت زیر است:
<math display="block">\begin{cases}

 x(s) = \frac{18}{5} s^5 - \frac{126}{5} s^9 + O(s^{13}) \\

 y(s) = -2s^3 + \frac{54}{5} s^7 - \frac{318}{5} s^{11} + O(s^{15})

\end{cases}</math> یا <math>x = -\frac{18}{5 \cdot 2^{1/3}}y^{5/3} + O(y^3)</math>

== مثال‌ها ==
=== گستران‌های یک دایره ===
[[File:Evolvente-kreis.svg|thumb|گستران‌های یک دایره]]

برای یک دایره با نمایش پارامتری <math>(r\cos(t), r\sin(t))</math>، داریم:

<math>\vec c'(t) = (-r\sin t, r\cos t)</math>.

بنابراین <math>|\vec c'(t)| = r</math>، و طول مسیر <math>r(t - a)</math> است.

با ارزیابی معادله گستران داده شده در بالا، به دست می‌آید:

:<math>\begin{align}

X(t) &= r(\cos (t+a) + t\sin (t+a))\\

Y(t) &= r(\sin (t+a) - t\cos (t+a))

\end{align}</math>

برای [[معادله پارامتری]] گستران دایره.

جمله <math>a</math> اختیاری است؛ این برای تنظیم مکان شروع منحنی روی دایره استفاده می‌شود. شکل گستران‌ها را برای <math>a = -0.5</math> (سبز)، <math>a = 0</math> (قرمز)، <math>a = 0.5</math> (بنفش) و <math>a = 1</math> (آبی روشن) نشان می‌دهد. گستران‌ها شبیه [[مارپیچ ارشمیدس]] هستند، اما در واقع اینطور نیستند.

طول قوس برای <math>a=0</math> و <math>0 \le t \le t_2</math> از گستران برابر است با:

: <math>L = \frac{r}{2} t_2^2.</math>

[[File:Evolvente-np.svg|300px|thumb|گستران‌های یک سهمی نیمه‌مکعبی (آبی). فقط منحنی قرمز یک سهمی است. توجه کنید که چگونه گستران‌ها و مماس‌ها یک دستگاه مختصات متعامد را تشکیل می‌دهند. این یک واقعیت کلی است.]]

=== گستران‌های یک سهمی نیمه‌مکعبی ===
[[معادله پارامتری]] <math>\vec c(t) = (\tfrac{t^3}{3}, \tfrac{t^2}{2})</math> یک [[سهمی نیمه‌مکعبی]] را توصیف می‌کند. از <math>\vec c'(t) = (t^2, t)</math> به دست می‌آید <math>|\vec c'(t)| = t\sqrt{t^2 + 1}</math> و <math>\int_0^t w\sqrt{w^2 + 1}\,dw = \frac{1}{3}\sqrt{t^2 + 1}^3 - \frac13</math>. گسترش نخ به اندازه <math>l_0={1\over3}</math> محاسبات بعدی را بسیار ساده می‌کند و به دست می‌آید:
: <math>\begin{align} X(t)&= -\frac{t}{3}\\
Y(t) &= \frac{t^2}{6} - \frac{1}{3}.\end{align}</math>

حذف {{Mvar|t}} منجر به <math>Y = \frac{3}{2}X^2 - \frac{1}{3},</math> می‌شود که نشان می‌دهد این گستران یک [[سهمی]] است.

سایر گستران‌ها بنابراین [[منحنی‌های موازی]] یک سهمی هستند و سهمی نیستند، زیرا منحنی‌هایی از درجه شش هستند.
[[File:Involute.gif|thumb|گستران قرمز یک زنجیره‌وار (آبی) یک [[کشانده]] است.]]

=== گستران‌های یک زنجیره‌وار ===
برای [[زنجیره‌وار]] <math>(t, \cosh t)</math>، بردار مماس <math>\vec c'(t) = (1, \sinh t)</math> است و، به عنوان <math> 1 + \sinh^2 t =\cosh^2 t,</math> طول آن <math>|\vec c'(t)| = \cosh t</math> است؛ بنابراین طول قوس از نقطه (۰, ۱) برابر است با <math>\textstyle\int_0^t \cosh w\,dw = \sinh t.</math>

از این رو گستران شروع شده از (۰, ۱) توسط
: <math>(t - \tanh t, 1/\cosh t),</math>
پارامتری می‌شود و بنابراین یک [[کشانده]] (تراکتریکس) است.

سایر گستران‌ها کشانده نیستند، زیرا منحنی‌های موازی یک کشانده هستند.

=== گستران‌های یک چرخ‌زاد ===
[[File:Evolvente-zy.svg|250px|thumb|گستران‌های یک چرخ‌زاد (آبی): فقط منحنی قرمز یک چرخ‌زاد دیگر است]]
نمایش پارامتری <math>\vec c(t) = (t - \sin t, 1 - \cos t)</math> یک [[چرخ‌زاد]] را توصیف می‌کند. از <math>\vec c'(t) = (1 - \cos t, \sin t)</math>، (پس از استفاده از برخی فرمول‌های مثلثاتی) به دست می‌آید:
:<math>|\vec c'(t)| = 2\sin\frac{t}{2},</math>
و
:<math>\int_\pi^t 2\sin\frac{w}{2}\,dw = -4\cos\frac{t}{2}.</math>

از این رو معادلات گستران متناظر عبارتند از:
: <math>X(t) = t + \sin t,</math>
: <math>Y(t) = 3 + \cos t,</math>
که چرخ‌زاد قرمز منتقل شده در نمودار را توصیف می‌کنند. از این رو
* گستران‌های چرخ‌زاد <math>(t - \sin t, 1 - \cos t)</math> منحنی‌های موازی چرخ‌زاد زیر هستند:
: <math>(t + \sin t, 3 + \cos t).</math>
(منحنی‌های موازی یک چرخ‌زاد، چرخ‌زاد نیستند)

== گستران و گسترنده ==
[[گسترنده]] یک منحنی داده شده <math>c_0</math> شامل مراکز انحنای <math>c_0</math> است. بین گستران‌ها و گسترنده‌ها عبارت زیر برقرار است:<ref>K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: ''Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und ...'', Springer-Verlag, 2012,{{شابک|3834883468}}, S. 30.</ref><ref>R. Courant:''Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 1. Band'', Springer-Verlag, 1955, S. 267.</ref>
:''یک منحنی، گسترندهٔ هر یک از گستران‌های آن است.''
{{نگارخانه
|title= گستران و گسترنده
|width=160 | height=170
|align=center
|File:Involute.gif
 |alt2=گستران یک زنجیره‌وار
 |کشانده (قرمز) به عنوان گستران یک زنجیره‌وار
|File:Evolute2.gif
 |alt3=گسترنده یک کشانده
 |گسترنده یک کشانده یک زنجیره‌وار است
}}

== کاربرد ==
رایج‌ترین پروفیل‌های دندانه‌های [[چرخ‌دنده]] مدرن، گستران‌های یک دایره هستند. در یک دستگاه [[چرخ‌دنده گستران]]، دندانه‌های دو چرخ‌دنده درگیر در یک نقطه لحظه‌ای واحد که در امتداد یک خط مستقیم حرکت می‌کند، تماس پیدا می‌کنند. نیروهایی که دندانه‌های در تماس بر یکدیگر وارد می‌کنند نیز از این خط پیروی می‌کنند و بر دندانه‌ها عمود هستند. سامانه چرخ‌دنده گستران که این شرایط را حفظ می‌کند، از [[قانون اساسی چرخ‌دنده‌ها]] پیروی می‌کند: نسبت سرعت‌های زاویه‌ای بین دو چرخ‌دنده باید در طول حرکت ثابت بماند.

با دندانه‌هایی با شکل‌های دیگر، سرعت‌ها و نیروها با درگیر شدن دندانه‌های متوالی بالا و پایین می‌روند و منجر به لرزش، سر و صدا و سایش بیش از حد می‌شوند. به همین دلیل، تقریباً تمام سامانه‌های چرخ‌دنده مسطح مدرن یا گستران یا سیستم مرتبط [[چرخ‌دنده چرخ‌زاد]] هستند.<ref>V. G. A. Goss (2013) "Application of analytical geometry to the shape of gear teeth", [[Resonance (journal)|Resonance]] 18(9): 817 to 31 [https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs12045-013-0106-3](https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs12045-013-0106-3) Springerlink] (subscription required).</ref>

[[Image:Two moving spirals scroll pump.gif|frame|سازوکار یک کمپرسور غلتشی]]
گستران یک دایره همچنین یک شکل مهم در [[کمپرسور]] است، زیرا یک [[کمپرسور غلتشی]] می‌تواند بر اساس این شکل ساخته شود. کمپرسورهای اسکرال صدای کمتری نسبت به کمپرسورهای معمولی تولید می‌کنند و ثابت شده است که [[بازده مکانیکی]] بالایی دارند.

[[راکتور ایزوتوپی با شار بالا]] از عناصر سوختی به شکل گستران استفاده می‌کند، زیرا این عناصر اجازه می‌دهند یک کانال با عرض ثابت بین آنها برای خنک‌کننده وجود داشته باشد.

== جستارهای وابسته ==
* [[منحنی محاطی]]
* [[چرخ‌دنده گستران]]

== منابع ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}
* {{یادکرد-ویکی|پیوند =//en.wikipedia.org/w/index.php?title=Involute&oldid=1173757491|عنوان = Involute|زبان =انگلیسی|بازیابی =۱۹ ژوئیه ۲۰۲۴}}

{{-}}

== پیوند به بیرون ==
{{رده انبار}}

[[رده:غلتان‌ها]]
[[رده:هندسه دیفرانسیل]]