نمایش مبدأ برای گروه (ریاضیات)

در [[ریاضیات]]، یک '''گروه'''، مجموعه ای است مجهز به [[عمل دوتایی]]، به گونه‌ای که این عمل دوتایی هر دو عنصر را که با هم ترکیب کند، عنصر سومی ایجاد کرده، به گونه ای که چهار شرط اصول موضوعه ای گروه ها را ارضاء کند. این اصول شامل بسته بودن، شرکت پذیری، همانی و معکوس پذیری می باشد. یکی از آشنا ترین مثال از گروه ها مجموعه اعداد صحیح با در نظر گرفتن عمل جمع می باشد. گروه ها در قلمروهای متنوعی در داخل و خارج از ریاضیات مشاهده می شوند و کمک کرده تا بر روی جنبه های ساختاری تمرکز شود.<ref>{{Harvard citations|last = Herstein|year = 1975|loc = §2, p. 26|nb = yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|last = Hall|year = 1967|loc = §1.1, p. 1|nb = yes}}: "The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied."</ref>

گروه‌ها ارتباط بنیادینی با مفهوم [[تقارن]] دارند. به عنوان مثال در یک گروه تقارنی، ویژگی های تقارن هندسی یک شیء کدگذاری شده است: گروه شامل مجموعه تبدیل هاییست که خود شئ را دستکاری نمی کنند، اعمال دو عدد از این گونه تبدیل ها به طور پیاپی در حقیقت همان عمل ضرب گروهی آن دو عمل بوده که معادل با یک عمل سوم دیگری می شود (ممکن است آن عمل با یکی از همان دو عمل یکی شود، که در حالتی پیش می آید که یکی از آن دو تبدیلات، تبدیل همانی باشد). گروه های لی، گروه های تقارنی هستند که در مدل استاندارد [[فیزیک ذرات|فیزیک ذرات بنیادی]] از آن ها استفاده شده است؛ گروه های پوانکاره نیز نوعی [[گروه لی]] هستند که می توانند تقارن های فیزیکی [[نسبیت خاص|نظریه نسبیت خاص]] را بیان کنند و از گروه های نقطه ای برای رسیدن به درک بهتری از پدیده تقارن ملکولی در شیمیایی کمک گرفته می شود. 

مفهوم گروه از مطالعه ی معادلات چند جمله ای [[اواریست گالوا|اواریسته گالوا]] در دهه ۱۸۳۰ سر برآورد. بعد از کمک هایی که شاخه های دیگر ریاضی چون [[نظریه اعداد]] و [[هندسه جبری]] کردند، مفهوم گروه تعمیم پیدا کرده و در حدود ۱۸۷۰ میلادی مستحکم گشت. نظریه گروه مدرن، که یک شاخه فعال ریاضیات است، خود گروه ها را به صورت محض مورد مطالعه قرار می دهند.{{cref|a}} ریاضیدانان برای کاوش بیشتر در گروه ها، مفاهیم مختلفی را ایجاد نمودند تا گروه ها را به قطعات کوچکتری مثل [[زیرگروه]] ها، گروه های خارج قسمتی و گروه های ساده بشکنند تا بهتر بتوان آن ها را مطالعه نمود. نظریه گروه دانان، علاوه بر مطالعه خواص مجرد گروه ها، گروه ها را از طرق ملموس دیگری نیز توصیف کرده اند، مثل توصیف گروه از دیدگاه [[نظریه نمایش]] (یعنی از طریق نمایش های دیگر گروه) و نظریه محاسباتی گروه ها. یک نظریه برای گروه های متناهی توسعه یافته است، که اوج آن دسته بندی گروه های ساده متناهی می باشد. این نظریه در سال ۲۰۰۴ میلادی تکمیل گشته است.{{cref|aa}} از اواسط دهه ۱۹۸۰، نظریه گروه های هندسی، که به مطالعه گروه های متناهیاً تولید شده می پردازد، تبدیل به شاخه فعالی در نظریه گروه ها شده است. 

== مثال ==

آشناترین مثال برای یک گروه [[اعداد صحیح]] همراه با عمل جمع معمولی است.
# مجموع هر دو عدد صحیح یک [[عدد صحیح]] است پس اعداد صحیح تحت جمع بسته است.
# فرض کنید a, b, c اعداد صحیح باشند. در این صورت جمع a+b با c برابر است با جمع a با b+c و بنابراین مجموعهٔ اعداد صحیح تحت جمع شرکت پذیر است.
# [[همانی جمع]] [[صفر]] است. حاصل جمع هر عدد صحیح با صفر،خودش می‌شود.
# [[وارون جمعی]] هر عدد صحیح، [[اعداد منفی|منفی]] آن است.

== مفاهیم پایه‌ای ==

=== زیرگروه ===

[[زیرگروه]] به زبان ساده، گروهی است که زیرمجموعهٔ یک گروه بزرگتر است. به زبان دقیق‌تر، فرض کنید G یک گروه و H زیرمجموعهٔ G باشد. H را زیرگروه G می‌گوییم هرگاه تحدید دامنهٔ عمل دوتایی G به H خود شرایط گروه را برآورده سازد.

=== همریختی گروه‌ها ===

[[هم‌ریختی]] گروه‌ها تابعی است که ساختار گروه را حفظ می‌کند. به زبان دقیق‌تر، تابع <math> \alpha: G \to H </math> یک همریختی بین دو گروه <math> (G,*) </math> و <math> (H,\star) </math> است هرگاه داشته باشیم:
<math> \forall a, b \in G \rightarrow  \alpha(a*b)=\alpha(a) \star \alpha(b)</math>

=== همدسته ===

گروه G و زیرگروه H را در نظر بگیرید. رابطه <math> \sim_H</math> را روی G به این صورت تعریف می‌کنیم:

{{عبارت چپ‌چین|<math> x\sim_Hy \leftrightarrow \ \exists h\in H \ ; \ x=yh</math>}}

این رابطه بر روی G یک [[رابطه هم‌ارزی|رابطهٔ هم‌ارزی]] است و G را به رده‌های هم‌ارزی افراز می‌کند. هر ردهٔ هم ارزی را '''یک همدستهٔ چپ''' H می‌گویند. کلاس هم‌ارزی شامل عنصر x به این صورت خواهد بود:

{{عبارت چپ‌چین|<math> \{ xh \ ; \ h\in H \} </math>}}

'''همدسته‌های راست''' نیز به طور مشابه با ضرب عنصری از H از طرف دیگر تعریف می‌شوند.

== تعمیم ها ==
{{ساختارهای شبیه گروه}}
در جبر مجرد، ساختار های عمومی تری تعریف شدند که هر کدام برخی از اصول موضوعه های گروه ها را بر می دارند (یعنی ضعیف تر هستند، بجز یکی از آن ها که شرط قوی تری دارد، یعنی گروه های آبلی)<ref name="MacLane">{{Harvard citations|nb = yes|last = Mac Lane|year = 1998}}</ref><ref>{{Harvard citations|nb = yes|last1 = Denecke|last2 = Wismath|year = 2002}}</ref><ref>{{Harvard citations|nb = yes|last1 = Romanowska|last2 = Smith|year=2002}}</ref>. به عنوان مثال، اگر شرط وجود عضو معکوس را برداریم به ساختار مونوید می رسیم. اعداد طبیعی <math>\mathbb{N}</math> (شامل صفر) تحت جمع یک [[مونوئید]] تشکیل می دهد، همینطور اعداد صحیح ناصفر تحت ضرب نیز یک مونوید تشکیل می دهند <math>(\mathbb{Z}\setminus{0})</math> به جدول نگاه کنید. روش کلی وجود دارد که به طور صوری عضو های معکوس را به هر مونوید آبلی اضافه می کند، دقیقا همانگونه که <math>(\mathbb{Q}\setminus{0})</math> از <math>(\mathbb{Z}\setminus{0})</math> ساخته می شود. این فرآیند ساخت گروه از مونوید آبلی را گروه گروتندیک می گویند. گروه واره ها مشابه گروه ها هستند با این تفاوت که ترکیب دو عنصر یعنی <math>a\bullet b</math> برای تمام <math>a</math> و <math>b</math> ها تعریف نشده است. این موجودات در مطالعه فرم های پیچیده ی تقارنی که در ساختار های [[توپولوژی]] و تحلیلی وجود دارند ظاهر می گردند، مثل گروه واره های بنیادی یا استک ها. در نهایت، امکان تعمیم هر کدام از مفاهیم با جایگزینی عمل دوتایی با یک عمل n-تایی وجود دارد (یعنی یک عمل که <math>n</math> تا ورودی داشته باشد). با تعمیمات مناسب اصول موضوعه های گروه، می توان گروه n-تایی ساخت <ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Dudek|year = 2001}}</ref> . جدول فوق لیستی است از چندین ساختار که هر کدام به نوعی گروه ها را تعمیم می دهند.

== ارجاعات ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==

=== منابع عمومی ===
{{چپچین}}
{{آغاز پانویس|2}}
* {{Citation
  | last1=Artin
  | first1=Michael
  | authorlink1=Michael Artin
  | title=Algebra
  | publisher=[[Prentice Hall]]
  | isbn=978-0-89871-510-1
  | year=1991
 }}, Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
* {{Citation | last1=Devlin | first1=Keith | authorlink1=Keith Devlin | title=The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible | publisher=Owl Books | isbn=978-0-8050-7254-9 | year=2000}}, Chapter 5 provides a layman-accessible explanation of groups.
* {{Citation | authorlink=George G. Hall | last=Hall | first=G. G. | title=Applied group theory | publisher=American Elsevier Publishing Co., Inc., New York | mr=0219593 | year=1967}}, an elementary introduction.
* {{Citation | last1=Herstein | first1=Israel Nathan |authorlink1 = Israel Nathan Herstein | title=Abstract algebra | publisher=Prentice Hall Inc. | location=Upper Saddle River, NJ | edition=3rd | isbn=978-0-13-374562-7 | mr=1375019 | year=1996}}.
* {{Citation | last1=Herstein | first1=Israel Nathan | title=Topics in algebra | publisher=Xerox College Publishing | location=Lexington, Mass. | edition=2nd | mr=0356988 | year=1975}}.
* {{Lang Algebra}}<!-- Don't add a fullstop here: it breaks the layout! -->
* {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | title=Undergraduate Algebra | publisher= Springer-Verlag  | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-0-387-22025-3 | year=2005}}.
* {{Citation | last1=Ledermann | first1=Walter | title=Introduction to the theory of finite groups | publisher=Oliver and Boyd, Edinburgh and London | mr=0054593 | year=1953}}.
* {{Citation | last1=Ledermann | first1=Walter | title=Introduction to group theory | publisher=Barnes and Noble | location=New York | oclc=795613 | year=1973}}.
* {{Citation | last1=Robinson | first1=Derek John Scott | title=A course in the theory of groups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94461-6 | year=1996}}.
{{پایان پانویس}}
{{پایان چپچین}}

=== منابع تخصصی ===
{{چپچین}}
{{آغاز پانویس|2}}
* {{Citation | last1=Artin | first1=Emil | author1-link=Emil Artin | title=Galois Theory | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-62342-9 | year=1998}}.
* {{Citation | last1=Aschbacher | first1=Michael | author1-link = Michael Aschbacher | title=The Status of the Classification of the Finite Simple Groups | url=http://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf |format=PDF| year=2004 | journal=[[Notices of the American Mathematical Society]]   | volume=51 | issue=7 | pages=736–740}}.
* {{Citation| last = Becchi| first = C.|arxiv=hep-ph/9705211|title=Introduction to Gauge Theories|year = 1997|bibcode = 1997hep.ph....5211B| page = 5211 }}.
* {{Citation | last1=Besche | first1=Hans Ulrich | last2=Eick | first2=Bettina | last3=O'Brien | first3=E. A. | title=The groups of order at most 2000 | url=http://www.ams.org/era/2001-07-01/S1079-6762-01-00087-7/home.html | mr=1826989 | year=2001 | journal=Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society | volume=7 | pages=1–4 | doi=10.1090/S1079-6762-01-00087-7}}.
* {{Citation | last1=Bishop | first1=David H. L. | title=Group theory and chemistry | publisher=Dover Publications | location=New York | isbn=978-0-486-67355-4 | year=1993}}.
* {{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | title=Linear algebraic groups | publisher= Springer-Verlag  | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-97370-8 | mr=1102012 | year=1991 | volume=126}}.
* {{Citation | last1=Carter | first1=Roger W. | author1-link=Roger Carter (mathematician) | title=Simple groups of Lie type | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-471-50683-6 | year=1989}}.
* {{Citation | last1=Conway | first1=John Horton | author1-link=John Horton Conway | last2=Delgado Friedrichs | first2=Olaf | last3=Huson | first3=Daniel H. | last4=Thurston | first4=William P. | author4-link=William Thurston | title=On three-dimensional space groups | arxiv=math.MG/9911185 | mr=1865535 | year=2001 | journal=Beiträge zur Algebra und Geometrie   | volume=42 | issue=2 | pages=475–507}}.
* {{Citation | last1=Coornaert | first1=M. | last2=Delzant | first2=T. | last3=Papadopoulos | first3=A. | title=Géométrie et théorie des groupes [Geometry and Group Theory]| publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-52977-4 | mr=1075994 | year=1990 | volume=1441|language=fr}}.
* {{Citation | last1=Denecke | first1=Klaus | last2=Wismath | first2=Shelly L. | title=Universal algebra and applications in theoretical computer science | publisher=[[CRC Press]] | location=London | isbn=978-1-58488-254-1 | year=2002}}.
* {{Citation| last=Dudek |first=W.A. |title=On some old problems in n-ary groups |journal=Quasigroups and Related Systems |year=2001 |volume=8 |pages= 15–36}}.
* {{Citation | authorlink=R. Frucht | last1=Frucht | first1=R. | title=Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [Construction of Graphs with Prescribed Group] | url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 | year=1939 | journal=Compositio Mathematica | volume=6 | pages=239–50 | language=de | deadurl=yes | archiveurl=https://web.archive.org/web/20081201083831/http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 | archivedate=2008-12-01 | df= }}.
* {{Citation| last1 = Fulton| first1 = William| author1-link = William Fulton (mathematician)| last2 = Harris| first2 = Joe| author2-link = Joe Harris (mathematician)| year         = 1991| title = Representation theory. A first course| publisher = Springer-Verlag| location = New York| series = [[Graduate Texts in Mathematics]], Readings in Mathematics| volume = 129| isbn  = 978-0-387-97495-8| mr =  1153249}}
* {{Citation| last = Goldstein | first = Herbert | author-link = Herbert Goldstein | year = 1980 | title = [[Classical Mechanics (textbook)|Classical Mechanics]] | edition = 2nd | publisher = Addison-Wesley Publishing | location = Reading, MA | isbn = 0-201-02918-9 | pages = 588–596}}.
* {{Citation | last1=Hatcher | first1=Allen | author-link=Allen Hatcher | title=Algebraic topology | url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-79540-1 | year=2002}}.
* {{Citation | last1=Husain | first1=Taqdir | title=Introduction to Topological Groups | publisher=W.B. Saunders Company | location=Philadelphia | isbn=978-0-89874-193-3 | year=1966}}
* {{Citation | last1 = Jahn | first1=H.| author1-link=Hermann Arthur Jahn|last2=Teller|first2=E.|author2-link=Edward Teller| title = Stability of Polyatomic Molecules in Degenerate Electronic States. I. Orbital Degeneracy | year = 1937 | journal = [[Proceedings of the Royal Society A]] | volume = 161 | issue = 905 | pages = 220–235 | doi = 10.1098/rspa.1937.0142 | bibcode=1937RSPSA.161..220J}}.
* {{Citation | last1=Kuipers | first1=Jack B. | title=Quaternions and rotation sequences—A primer with applications to orbits, aerospace, and virtual reality | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-05872-6 | mr=1670862 | year=1999}}.
* {{Citation | last1=Kuga | first1=Michio | author-link=Michio Kuga | title=Galois' dream: group theory and differential equations | publisher=Birkhäuser Boston | location=Boston, MA | isbn=978-0-8176-3688-3 | mr=1199112 | year=1993}}.
* {{Citation | last1=Kurzweil | first1=Hans | last2=Stellmacher | first2=Bernd | title=The theory of finite groups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Universitext | isbn=978-0-387-40510-0 | mr=2014408 | year=2004}}.
* {{Citation | last1=Lay | first1=David | title=Linear Algebra and Its Applications | publisher=[[Addison-Wesley]] | isbn=978-0-201-70970-4 | year=2003}}.
* {{Citation | last1=Mac Lane | first1=Saunders | author1-link=Saunders Mac Lane | title=[[Categories for the Working Mathematician]] | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | edition=2nd | isbn=978-0-387-98403-2 | year=1998}}.
* {{Citation | last1=Michler | first1=Gerhard | title=Theory of finite simple groups | publisher=Cambridge University Press | isbn=978-0-521-86625-5 | year=2006}}.
* {{Citation | last1=Milne | first1=James S. | title=Étale cohomology | publisher=Princeton University Press | isbn=978-0-691-08238-7 | year=1980 | url=https://archive.org/details/etalecohomology00miln }}
* {{Citation | last1=Mumford | first1=David | author1-link=David Mumford | last2=Fogarty | first2=J. | last3=Kirwan | first3=F. | title=Geometric invariant theory | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-3-540-56963-3 | mr=1304906 | year=1994 | volume=34}}.
* {{Citation | last1=Naber | first1=Gregory L. | title=The geometry of Minkowski spacetime | publisher=Dover Publications | location=New York | isbn=978-0-486-43235-9 | mr=2044239 | year=2003}}.
* {{Citation | last = Neukirch| first = Jürgen| author-link = Jürgen Neukirch| title = Algebraic Number Theory| publisher = Springer-Verlag| location = Berlin| series = {{lang|de|Grundlehren der mathematischen Wissenschaften}}| isbn = 978-3-540-65399-8| mr = 1697859| zbl = 0956.11021 | year = 1999| volume = 322}}
* {{Citation | last1=Romanowska | first1=A.B. | last2=Smith | first2=J.D.H. | title=Modes | publisher=[[World Scientific]] | isbn=978-981-02-4942-7 | year=2002}}.
* {{Citation | last1=Ronan | first1=Mark | author1-link= Mark Ronan|title=Symmetry and the Monster: The Story of One of the Greatest Quests of Mathematics | publisher=[[Oxford University Press]] | isbn=978-0-19-280723-6 | year=2007}}.
* {{Citation | last1=Rosen | first1=Kenneth H. | title=Elementary number theory and its applications | publisher=Addison-Wesley | edition=4th | isbn=978-0-201-87073-2 | mr=1739433 | year=2000}}.
* {{Citation| last = Rudin | first = Walter | author-link = Walter Rudin | title = Fourier Analysis on Groups|publisher=Wiley-Blackwell|series=Wiley Classics|year=1990|isbn=0-471-52364-X}}.
* {{Citation | last1=Seress | first1=Ákos | title=An introduction to computational group theory | url=http://www.ams.org/notices/199706/seress.pdf | mr=1452069 | year=1997 | journal=Notices of the American Mathematical Society   | volume=44 | issue=6 | pages=671–679}}.
* {{Citation | last1=Serre | first1=Jean-Pierre | author1-link=Jean-Pierre Serre | title=Linear representations of finite groups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90190-9 | mr=0450380 | year=1977}}.
* {{Citation | last1=Shatz | first1=Stephen S. | title=Profinite groups, arithmetic, and geometry | publisher=Princeton University Press | isbn=978-0-691-08017-8 | mr=0347778 | year=1972}}
* {{Citation|last = Suzuki|first= Michio|author-link = Michio Suzuki|title = On the lattice of subgroups of finite groups|journal = [[Transactions of the American Mathematical Society]]| volume = 70| issue = 2| year = 1951| pages = 345–371| doi = 10.2307/1990375|jstor = 1990375}}.
* {{Citation | last1=Warner | first1=Frank | title=Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90894-6 | year=1983}}.
* {{Citation | last1=Weinberg | first1=Steven | author1-link=Steven Weinberg | title=Gravitation and Cosmology | publisher=John Wiley & Sons | location=New York | year=1972 | isbn=0-471-92567-5 | url=https://archive.org/details/gravitationcosmo00stev_0 }}.
* {{Citation | last1=Welsh | first1=Dominic | title=Codes and cryptography | publisher=Clarendon Press | location=Oxford | isbn=978-0-19-853287-3 | year=1989}}.
* {{Citation | last1=Weyl | first1=Hermann | author1-link=Hermann Weyl | title=Symmetry | publisher=Princeton University Press | isbn=978-0-691-02374-8 | year=1952}}.
{{پایان پانویس}}
{{پایان چپچین}}

=== منابع تاریخی ===
{{چپچین}}
{{آغاز پانویس|2}}
{{See also|List of publications in mathematics#Group theory|l1=Historically important publications in group theory}}
* {{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | title=Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-0288-5 | year=2001}}
* {{Citation | last1=Cayley | first1=Arthur | author1-link=Arthur Cayley | title=The collected mathematical papers of Arthur Cayley | url=http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000140 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1889 | volume=II (1851–1860)}}.
* {{MacTutor | id=Development_group_theory | class=HistTopics | title = The development of group theory}}
* {{Citation | last1=Curtis | first1=Charles W. | authorlink = Charles W. Curtis | title=Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | series=History of Mathematics | isbn=978-0-8218-2677-5 | year=2003}}.
* {{Citation | last1=von Dyck | year=1882 | first1=Walther | author1-link=Walther von Dyck | title=Gruppentheoretische Studien (Group-theoretical Studies) | doi=10.1007/BF01443322 | journal=[[Mathematische Annalen]] | volume=20 | issue=1 | pages=1–44 | url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0020&DMDID=DMDLOG_0007&L=1 | language=de | deadurl=yes | archiveurl=https://web.archive.org/web/20140222213905/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0020&DMDID=DMDLOG_0007&L=1 | archivedate=2014-02-22 | df= }}.
* {{Citation | last1=Galois | first1=Évariste | author1-link=Évariste Galois | editor1-last=Tannery | editor1-first=Jules | title=Manuscrits de Évariste Galois [Évariste Galois' Manuscripts] | url=http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAN9280 | publisher=Gauthier-Villars | location=Paris | year=1908|language=fr}} (Galois work was first published by [[Joseph Liouville]] in 1843).
* {{Citation | last1=Jordan | first1=Camille | author-link=Camille Jordan | title=Traité des substitutions et des équations algébriques [Study of Substitutions and Algebraic Equations] | url=https://archive.org/details/traitdessubstit00jordgoog | publisher=Gauthier-Villars | location=Paris | year=1870 |language=fr}}.
* {{Citation | doi=10.2307/2690312 | last1=Kleiner | first1=Israel | authorlink=Israel Kleiner (mathematician) | title=The Evolution of Group Theory: A Brief Survey | mr=863090 | year=1986 | journal=[[Mathematics Magazine]]   | volume=59 | issue=4 | pages=195–215 | jstor=2690312 }}.
* {{Citation | last1=Lie | first1=Sophus | author1-link=Sophus Lie | title=Gesammelte Abhandlungen. Band 1 [Collected papers. Volume 1] | publisher=Johnson Reprint Corp. | location=New York | mr=0392459 | year=1973|language=de}}.
* {{Citation | last1=Mackey | first1=George Whitelaw | author1-link=George Mackey | title=The theory of unitary group representations | publisher=[[University of Chicago Press]] | mr=0396826 | year=1976}}
* {{Citation | last1=Smith | first1=David Eugene | author1-link=David Eugene Smith | title=History of Modern Mathematics | url=http://www.gutenberg.org/etext/8746 | series=Mathematical Monographs, No. 1 | year=1906}}.
* {{Citation | last1=Wussing | first1=Hans | authorlink=Hans Wussing | title=The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-45868-7 | year=2007}}.
{{پایان پانویس}}
{{پایان چپچین}}

{{جبر}}

[[رده:ساختارهای جبری]]
[[رده:نظریه گروه‌ها]]
[[رده:تقارن]]