نمایش مبدأ برای گرده‌گون

در [[هندسه]]، '''گُرده‌گون''' یا نفروئید ({{lang-en|Nephroid}}) یک [[منحنی مسطح]] خاص است. این نوعی از [[برون‌چرخ‌زاد]] است که در آن شعاع دایره کوچکتر با ضریب یک دوم با شعاع دایره بزرگتر متفاوت است.

== نام ==
گُرده در فارسی به معنای کلیه است و گرده‌گون یعنی «به شکل کلیه». نام نفروئید نیز از واژه یونانی νεφρός به معنی گرده و گلیه آمده است. اگرچه اصطلاح «نفروئید» برای توصیف منحنی‌های دیگر استفاده می‌شد، اما توسط [[ریچارد ا. پروکتور]] در سال ۱۸۷۸ برای منحنی این مقاله به کار رفت.<ref>{{MathWorld|title=Nephroid|urlname=Nephroid}}</ref><ref>{{Cite web |title=Nephroid |url=[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Nephroid/](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Nephroid/) |access-date=2022-08-12 |website=Maths History |language=en }}{{پیوند مرده}}</ref>

== تعریف دقیق ==
گرده‌گون عبارت است از:
* یک [[منحنی جبری]] از درجه ۶
* یک [[برون‌چرخ‌زاد]] با دو [[نقطه بازگشت]] (نقطه بازگشت)
* یک منحنی بسته ساده مسطح = یک [[منحنی ژوردان]]

=== معادلات ===
[[File:EpitrochoidOn2.gif|thumb|تولید گرده‌گون توسط یک دایره غلتان]]

==== پارامتری ====
اگر دایره کوچک شعاع a داشته باشد، دایره ثابت دارای نقطه میانی (۰٬۰) و شعاع ۲a باشد، زاویه غلتش دایره کوچک ۲φ و نقطه (۲a٬۰) نقطه شروع باشد (به نمودار مراجعه کنید)، سپس [[معادله پارامتری|نمایش پارامتری]] زیر به دست می‌آید:
:<math>x(\varphi) = 3a\cos\varphi- a\cos3\varphi=6a\cos\varphi-4a \cos^3\varphi \ ,</math>
:<math>y(\varphi) = 3a \sin\varphi - a\sin3\varphi =4a\sin^3\varphi\ , \qquad 0\le \varphi < 2\pi</math>

نگاشت مختلط <math>z \to z^3 + 3z</math>، [[دایره واحد]] را به یک گرده‌گون نگاشت می‌کند.<ref>[https://www.math.uni-bonn.de/people/karcher/ATO%20URL%20Collection.pdf](https://www.math.uni-bonn.de/people/karcher/ATO%20URL%20Collection.pdf){{پیوند مرده}} Mathematical Documentation of the objects realized in the visualization program 3D-XplorMath]</ref>

===== اثبات نمایش پارامتری =====
اثبات نمایش پارامتری به راحتی با استفاده از [[عدد مختلط|اعداد مختلط]] و نمایش آنها به عنوان [[صفحه مختلط]] انجام می‌شود. حرکت دایره کوچک را می‌توان به دو چرخش تقسیم کرد. در صفحه مختلط، چرخش یک نقطه z حول نقطه ۰ (مبدأ) با زاویه φ را می‌توان با ضرب نقطه z (عدد مختلط) در e^{i\varphi} انجام داد. از این رو

: چرخش <math>\Phi_3</math> حول نقطه <math>3a</math> با زاویه <math>2\varphi</math> برابر است با <math>: z \mapsto 3a+(z-3a)e^{i2\varphi}</math> ،
: چرخش <math>\Phi_0</math> حول نقطه <math>0</math> با زاویه <math>\varphi</math> برابر است با: <math>:\quad z \mapsto ze^{i\varphi}</math>.

یک نقطه <math> p(\varphi)</math> از گرده‌گون با چرخاندن نقطه <math>2a</math> توسط <math>\Phi_3</math> و سپس چرخش با <math>\Phi_0</math> تولید می‌شود:
:<math>p(\varphi)=\Phi_0(\Phi_3(2a))=\Phi_0(3a-ae^{i2\varphi})=(3a-ae^{i2\varphi})e^{i\varphi}=3ae^{i\varphi}-ae^{i3\varphi}</math>.
از اینجا به دست می‌آید:
:<math>
\begin{array}{cclcccc}
x(\varphi)&=&3a\cos\varphi-a\cos3\varphi &=& 6a\cos\varphi-4a \cos^3\varphi \ ,&& \\
y(\varphi)&=&3a\sin\varphi-a\sin3\varphi&=& 4a\sin^3\varphi &.&
\end{array} </math>
(فرمول‌های <math> e^{i\varphi}=\cos\varphi+ i\sin\varphi, \ \cos^2\varphi+ \sin^2\varphi=1, \ \cos3\varphi=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi,\;\sin 3\varphi=3\sin\varphi -4\sin^3\varphi</math> استفاده شدند. به [[توابع مثلثاتی]] مراجعه کنید)

==== ضمنی ====
قرار دادن <math>x(\varphi)</math> و <math>y(\varphi)</math> در معادله
*<math>(x^2+y^2-4a^2)^3=108a^4y^2</math>
نشان می‌دهد که این معادله یک [[نمایش ضمنی]] منحنی است.

===== اثبات نمایش ضمنی =====
با
:<math>x^2+y^2-4a^2=(3a\cos\varphi-a\cos3\varphi)^2+(3a\sin\varphi-a\sin3\varphi)^2 -4a^2=\cdots=6a^2(1-\cos2\varphi)=12a^2\sin^2\varphi</math>
به دست می‌آید:
:<math>(x^2+y^2-4a^2)^3=(12a^2)^3\sin^6\varphi=108a^4(4a\sin^3\varphi)^2=108a^4y^2\ .</math>

== جهت ==
اگر تیزه‌ها روی محور y باشند، نمایش پارامتری به صورت زیر است:
:<math>x=3a\cos \varphi+a\cos3\varphi,\quad y=3a\sin \varphi+a\sin3\varphi).</math>
و نمایش ضمنی آن:
:<math>(x^2+y^2-4a^2)^3=108a^4x^2.</math>

== ویژگی‌های متریکی ==
برای گرده‌گون بالا، موارد زیر برقرار است:
* [[طول کمان]] <math> L= 24 a, </math>
* [[مساحت]] <math> A= 12\pi a^2\ </math> و
* [[شعاع انحنا]] <math>\rho=|3a\sin \varphi|.</math>
اثبات این گزاره‌ها در هر دو مورد از فرمول‌های مناسب روی منحنی‌ها ([[curve#length of a curve|طول کمان]]، [[area#Areas of 2-dimensional figures|مساحت]] و [[radius of curvature|شعاع انحنا]]) و نمایش پارامتری بالا
:<math>x(\varphi)=6a\cos\varphi-4a \cos^3\varphi \ , </math>
:<math>y(\varphi)= 4a\sin^3\varphi </math>
و مشتقات آن‌ها
:<math>\dot x=-6a\sin\varphi(1 - 2\cos^2\varphi)\ ,\quad \ \ddot x= -6 a\cos \varphi(5-6\cos^2\varphi)\ ,</math>
:<math>\dot y=12a\sin^2\varphi\cos\varphi \quad , \quad \quad \quad \quad
\ddot y=12a\sin\varphi(3\cos^2\varphi-1)\ . </math>
استفاده می‌کند.
* اثبات طول کمان:
:<math>L=2\int_0^\pi{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}} \; d\varphi=\cdots =12a\int_0^\pi \sin\varphi\; d\varphi= 24a</math> .
* اثبات مساحت:
:<math> A=2\cdot \tfrac{1}{2}|\int_0^\pi[x \dot y-y \dot x]\; d\varphi|=\cdots= 24a^2\int_0^\pi\sin^2\varphi\; d\varphi= 12\pi a^2</math> .
* اثبات شعاع انحنا:
:<math>\rho = \left|\frac {\left({\dot{x}^2 + \dot{y}^2}\right)^\frac32}{\dot {x}\ddot{y} - \dot{y}\ddot{x}}\right|=\cdots= |3a\sin \varphi|.</math>

[[File:Nephroide-kreise.svg|thumb|گرده‌گون به عنوان پوشش یک دسته از دایره‌ها]]

== ساخت ==
* می‌توان آن را با غلتاندن دایره‌ای به شعاع <math>a</math> در خارج از دایره ثابت به شعاع <math>2a</math> ایجاد کرد. از این رو، یک گرده گون یک [[برون‌چرخ‌زاد]] است.

=== گرده‌گون به عنوان پوشش یک دسته دایره ===
* فرض کنید <math>c_0</math> یک دایره و <math>D_1,D_2</math> نقاط یک قطر <math>d_{12}</math> باشند، در این صورت پوشش دسته دایره‌هایی که نقاط میانی آنها روی <math>c_0</math> هستند و <math>d_{12}</math> را لمس می‌کنند، یک ''گرده‌گون'' با نقاط بازگشتی <math>D_1,D_2</math> است.

==== اثبات ====
فرض کنید <math>c_0</math> دایره <math>(2a\cos\varphi,2a\sin\varphi)</math> با نقطه میانی <math>(0,0)</math> و شعاع <math>2a</math> باشد. قطر ممکن است روی محور x قرار گیرد (به نمودار مراجعه کنید). دسته دایره‌ها معادلات زیر را دارند:
:<math> f(x,y,\varphi)=(x-2a\cos\varphi)^2+(y-2a\sin\varphi)^2-(2a\sin\varphi)^2=0 \ . </math>
شرط پوشش به صورت زیر است:
:<math>f_\varphi(x,y,\varphi)=2a(x\sin\varphi -y\cos\varphi-2a\cos\varphi\sin\varphi)=0\ . </math>
به راحتی می‌توان بررسی کرد که نقطه گرده گون <math>p(\varphi)=(6a\cos\varphi-4a \cos^3\varphi\; ,\; 4a\sin^3\varphi)</math> یک راه حل از دستگاه <math>f(x,y,\varphi)=0, \; f_\varphi(x,y,\varphi)=0</math> است و بنابراین یک نقطه از پوشش دسته دایره‌ها است.

=== گرده گون به عنوان پوشش یک دسته خط ===
[[File:Nephroide-sek-tang-prinzip.svg|thumb|گرده گون: مماس‌ها به عنوان وترهای یک دایره، اصل]]
[[File:Nephroide-sek-tang.svg|thumb|گرده گون: مماس‌ها به عنوان وترهای یک دایره]]
مشابه تولید یک [[دل‌گون]] به عنوان پوشش یک دسته خط، روش زیر را داریم:
# یک دایره رسم کنید، محیط آن را به قسمت‌های با فاصله مساوی با <math>3N</math> نقطه تقسیم کنید (به نمودار مراجعه کنید) و آنها را به ترتیب شماره گذاری کنید.
# وترها را رسم کنید: <math>(1,3), (2,6), ...., (n,3n),...., (N,3N), (N+1,3), (N+2,6), ...., </math>. (یعنی نقطه دوم با سرعت سه برابر حرکت می‌کند)
# «پوشش» این وترها یک گرده گون است.

==== اثبات ====
بررسی زیر از [[فرمول‌های مثلثاتی]] برای
<math> \cos \alpha+\cos\beta,\ \sin \alpha+\sin\beta, \ \cos (\alpha+\beta), \ \cos2\alpha</math> استفاده می‌کند. برای اینکه محاسبات ساده بماند، اثبات برای گرده‌گونی با تیزه‌های روی محور y ارائه می‌شود.
''معادله مماس'': برای گرده‌گون با نمایش پارامتری
:<math>x=3\cos\varphi + \cos3\varphi,\; y=3\sin\varphi+\sin3\varphi</math>:
از اینجا ابتدا بردار نرمال <math>\vec n=(\dot y , -\dot x)^T </math> را تعیین می‌کنیم.
{{سخ}}
معادله مماس <math>\dot y(\varphi)\cdot (x -x(\varphi)) - \dot x(\varphi)\cdot (y-y(\varphi))= 0</math> برابر است با:
:<math>(\cos2\varphi\cdot x \ + \ \sin 2\varphi\cdot y)\cos \varphi = 4\cos^2 \varphi \ .</math>
برای <math> \varphi=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}</math> تیزه‌های گرده‌گون را به دست می‌آوریم، که در آن هیچ مماس وجود ندارد. برای <math> \varphi\ne\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}</math> می‌توان بر <math>\cos\varphi</math> تقسیم کرد تا به دست آید:
*<math>\cos2\varphi \cdot x + \sin2\varphi \cdot y = 4 \cos\varphi \ . </math>

''معادله وتر'': برای دایره با نقطه میانی <math>(0,0)</math> و شعاع <math>4</math>: معادله وتر حاوی دو نقطه <math>(4\cos\theta, 4\sin\theta), \ (4\cos{\color{red}3}\theta, 4\sin{\color{red}3}\theta)) </math> برابر است با:
:<math>(\cos2\theta \cdot x + \sin2\theta \cdot y)\sin\theta = 4 \cos\theta\sin\theta \ . </math>
برای <math>\theta =0, \pi</math>، وتر به یک نقطه تبدیل می‌شود. برای <math>\theta \ne 0,\pi</math> می‌توان بر <math>\sin\theta</math> تقسیم کرد و معادله وتر را به دست آورد:
*<math>\cos2\theta \cdot x + \sin2\theta \cdot y = 4 \cos\theta \ . </math>
دو زاویه <math>\varphi , \theta</math> به‌طور متفاوتی تعریف می‌شوند (<math>\varphi</math> نصف زاویه غلتش است، <math>\theta</math> پارامتر دایره‌ای است که وترهای آن تعیین می‌شوند)، برای <math>\varphi=\theta</math> به خط یکسانی می‌رسیم. از این رو هر وتر از دایره بالا مماس بر گرده گون است و
* ''گرده گون پوشش وترهای دایره است.''

=== گرده‌گون به عنوان کاستیک نیمی از یک دایره ===
[[File:Nephroide-kaustik-prinzip.svg|thumb|گرده‌گون به عنوان کاستیک یک دایره: اصل]]
[[File:Nephroide-kaustik.svg|thumb|گرده‌گون به عنوان کاستیک نیمی از یک دایره]]

ملاحظات انجام شده در بخش قبل، اثباتی برای این واقعیت ارائه می‌دهد که [[کاستیک (ریاضی)|کاستیک]] نیمی از یک دایره، یک گرده‌گون است.
* اگر در صفحه پرتوهای نور موازی به نیم دایره بازتابنده برخورد کنند (به نمودار مراجعه کنید)، پرتوهای بازتاب شده مماس بر یک گرده‌گون هستند.

==== اثبات ====
دایره ممکن است دارای مبدأ به عنوان نقطه میانی باشد (مانند بخش قبل) و شعاع آن <math>4</math> باشد. دایره دارای نمایش پارامتری زیر است:
:<math>k(\varphi)=4(\cos\varphi,\sin\varphi) \ . </math>
مماس بر نقطه دایره <math>K:\ k(\varphi)</math> دارای بردار نرمال <math>\vec n_t=(\cos\varphi,\sin\varphi)^T</math> است. پرتو بازتاب شده دارای بردار نرمال (به نمودار مراجعه کنید) <math>\vec n_r=(\cos{\color{red}2}\varphi,\sin{\color{red}2}\varphi)^T</math> است و شامل نقطه دایره <math>K: \ 4(\cos\varphi,\sin\varphi) </math> است. از این رو پرتو بازتاب شده بخشی از خط با معادله زیر است:
:<math>\cos{\color{red}2}\varphi\cdot x \ + \ \sin {\color{red}2}\varphi\cdot y = 4\cos\varphi \ , </math>
که مماس بر گرده گون بخش قبلی در نقطه
:<math>P:\ (3\cos\varphi + \cos3\varphi,3\sin\varphi+\sin3\varphi)</math> (به بالا مراجعه کنید) است.

[[File:Caustic00.jpg|thumb|چپ|کاستیک گرده‌گون در پایین فنجان چای]]

== گسترنده و گستران یک گرده‌گون ==
[[File:Nephroide-evol.svg|300px|thumb|گرده‌گون و گسترنده آن{{سخ}}
ارغوانی: نقطه با [[دایره بوسان]] و مرکز انحنا]]

=== گسترنده ===
[[گسترنده]] یک منحنی، [[مکان هندسی]] مراکز انحنا است. به‌طور خاص: برای یک منحنی <math>\vec x=\vec c(s)</math> با شعاع انحنای <math>\rho(s)</math>، گسترنده دارای نمایش زیر است:
:<math>\vec x=\vec c(s) + \rho(s)\vec n(s).</math>
با <math>\vec n(s)</math> به عنوان نرمال واحد به‌طور مناسب جهت‌دهی شده.

برای یک گرده‌گون به دست می‌آید:
* «گسترنده» یک گرده گون، یک گرده‌گون دیگر است که نصف اندازه آن است و ۹۰ درجه چرخیده است (به نمودار مراجعه کنید).

==== اثبات ====
گرده‌گونی که در تصویر نشان داده شده است، نمایش پارامتری زیر را دارد:
:<math>x=3\cos\varphi + \cos3\varphi,\quad y=3\sin\varphi+\sin3\varphi \ ,</math>
بردار نرمال واحد که به سمت مرکز انحنا اشاره می‌کند، به صورت زیر است:
:<math>\vec n(\varphi)=(-\cos 2\varphi,-\sin 2\varphi)^T</math> (به بخش بالا مراجعه کنید)
و شعاع انحنا <math>3\cos \varphi</math> است (به بخش مربوط به ویژگی‌های متریکی مراجعه کنید).
از این رو گسترنده دارای نمایش زیر است:
:<math>x=3\cos\varphi + \cos3\varphi -3\cos\varphi\cdot\cos2\varphi=\cdots=3\cos\varphi-2\cos^3\varphi,</math>
:<math>y=3\sin\varphi+\sin3\varphi -3\cos\varphi\cdot\sin2\varphi\ =\cdots=2\sin^3\varphi \ ,</math>
که یک گرده گون با نصف اندازه و چرخش ۹۰ درجه است (به نمودار و بخش {{Section link||معادلات}} بالا مراجعه کنید).

=== گستران ===
از آنجایی که گسترنده یک گرده‌گون، یک گرده‌گون دیگر است، [[گستران]] گرده گون نیز یک گرده‌گون دیگر است. گرده‌گون اصلی در تصویر، گستران گرده‌گون کوچکتر است.

[[File:Nephroide-inv.svg|thumb|وارون (سبز) یک گرده‌گون (قرمز) در دایره آبی]]

== وارون یک گرده‌گون ==
[[وارونگی]]
:<math> x \mapsto \frac{4a^2x}{x^2+y^2}, \quad y\mapsto \frac{4a^2y}{x^2+y^2} </math>
در دایره با نقطه میانی <math>(0,0)</math> و شعاع <math>2a</math>، گرده گون را با معادله
:<math>(x^2+y^2-4a^2)^3=108a^4y^2</math>
به منحنی درجه ۶ با معادله
: <math>(4a^2-(x^2+y^2))^3=27a^2(x^2+y^2)y^2</math> (به نمودار مراجعه کنید) نگاشت می‌کند.

[[File:Brennlinie.GIF|framed|گرده‌گون در زندگی روزمره: یک [[کاستیک (نورشناسی)|کاستیک]] از بازتاب نور از داخل یک استوانه.]]

== منابع ==
{{پانویس}}
* Arganbright, D. , ''Practical Handbook of Spreadsheet Curves and Geometric Constructions'', CRC Press, 1939, ISBN 0-8493-8938-0, p.&nbsp;54.
* Borceux, F. , ''A Differential Approach to Geometry: Geometric Trilogy III'', Springer, 2014, ISBN 978-3-319-01735-8, p.&nbsp;148.
* Lockwood, E. H. , ''A Book of Curves,'' Cambridge University Press, 1961, ISBN 978-0-521-05585-7, p.&nbsp;7.
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}
* {{یادکرد-ویکی|پیوند =//en.wikipedia.org/w/index.php?title=Nephroid&oldid=1164903595|عنوان = Nephroid|زبان =انگلیسی|بازیابی =۱۹ ژوئیه ۲۰۲۴}}

{{-}}

== پیوند به بیرون ==
{{رده انبار}}

[[رده:غلتان‌ها]]