نمایش مبدأ برای کمان (هندسه)

[[پرونده:Circle arc.svg|بندانگشتی|300px|ناحیهٔ سبزرنگ در نگاره، [[قطاع دایره]] نام دارد و لبهٔ خمیده شکل آن که طولی برابر با L دارد کمان دایره نامیده می‌شود.]]
در [[هندسه]]، یک '''کمان''' بخشی از یک [[خم]] مشتق‌پذیر در صفحهٔ دو بعدی است. برای نمونه یک '''کمان دایره‌ای''' (کمان مستدیر)، بخشی از پیرامون یک دایره است. اگر کمان بخشی از یک [[دایره بزرگ|دایرهٔ بزرگ]] (دایره عظیمه) یا بیضی بزرگ (بیضی عظیمه) باشد آن را '''کمان بزرگ (کمان عظیمه)''' می‌نامیم.

== طول کمان ==
کمانی از دایره به شعاع <math>r</math> که [[زاویه مرکزی|زاویه‌ای مرکزی]] به نام <math>\theta\,\!</math> را دربر می‌گیرد (به [[رادیان]]) به این معنی که اضلاع [[زاویه]] شعاع‌هایی از دایره‌اند، در این صورت [[طول]] آن کمان برابر با <math>\theta r\,\!</math> خواهد بود. دلیل این مطلب عبارت است از:
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac{L}{\mathrm{circumference}}=\frac{\theta}{2\pi}.\,\!</math>
{{پایان چپ‌چین}}
پس از جایگذاری مقدار [[محیط دایره]] خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac{L}{2\pi r}=\frac{\theta}{2\pi},\,\!</math>
{{پایان چپ‌چین}}
مقدار <math>L</math> نسبت به <math>\theta\,\!</math> این گونه به دست می‌آید:
{{چپ‌چین}}
:<math>L=\theta r.\,\!</math>
{{پایان چپ‌چین}}
اگر زاویه‌ای <math>\alpha</math> درجه باشد مقدار آن به رادیان خواهد بود:
{{چپ‌چین}}
:<math>\theta=\frac{\alpha}{180}\pi,\,\!</math>
{{پایان چپ‌چین}}
پس طول کمان می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>L=\frac{\alpha\pi r}{180}.\,\!</math>
{{پایان چپ‌چین}}
راه دیگر بدست آوردن طول یک کمان دایره ای این است که دو سر آن کمان را به مرکز دایره وصل کنیم و زاویهٔ تولید شده در مرکز دایره را اندازه بگیریم، نسبت زاویهٔ تولید شده به °۳۶۰ برابر است با نسبت طول کمان به پیرامون دایره. برای نمونه اگر زاویهٔ تولید شده ۶۰ درجه باشد و محیط دایره ۲۴ سانتی‌متر، طول کمان خواهد شد:
{{چپ‌چین}}
:60/360=L/24
:360L=1440
:L=4cm
{{پایان چپ‌چین}}

== سطح کمان ==
سطح میان یک کمان و مرکز دایره عبارت است از:
{{چپ‌چین}}
:<math>A=\frac{1}{2} r^2 \theta.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
نسبت سطح:<math>A</math> به سطح کل دایره برابر است با نسبت زاویهٔ <math>\theta</math> به زاویهٔ کل دایره:
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac{A}{\pi r^2}=\frac{\theta}{2\pi}.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
<math>\pi</math> از دو طرف تساوی ساده می‌شود آنگاه:
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac{A}{r^2}=\frac{\theta}{2}.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
دو طرف تساوی را در <math>\ r^2</math> ضرب می‌کنیم:
{{چپ‌چین}}
:<math>A=\frac{1}{2} r^2 \theta.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
اگر زاویه بجای رادیان به درجه داده شده بود، سطح کمان آن می‌شد:
{{چپ‌چین}}
:<math>A=\frac{\alpha}{360} \pi r^2.</math>
{{پایان چپ‌چین}}

== مساحت قطاع منحنی کمان ==
:''برای آگاهی بیشتر مقالهٔ [[قطاع دایره]] را نگاه کنید.''
سطح میان کمان دایره و [[پاره‌خط|پاره خط]] رسانندهٔ دو سر کمان به یکدیگر عبارت است از:
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac{1}{2} r^2 (\theta - \sin{\theta}).</math>
{{پایان چپ‌چین}}
برای بدست آوردن سطح قطاع دایره باید مساحت مثلث تولید شده در مرکز دایره (با ضلع‌های شعاع دایره) را از مساحت کمان که در بالا توضیح داده شد کم کنیم.

== شعاع کمان ==
با استفاده از نظریهٔ سکانت - [[تانژانت]] یا [[توان یک نقطه]] می‌توان شعاع <math>r</math> یک دایره را با استفاده از درازای <math>H</math> و پهنای <math>W</math> یکی از کمان‌های آن به صورت زیر بدست آورد:
{{چپ‌چین}}
:<math>r=\frac{W^2}{8H}+\frac{H}{2}</math>
{{پایان چپ‌چین}}

== منابع ==
{{پانویس}}
* {{یادکرد-ویکی
|پیوند = http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Arc_(geometry)&oldid=440331990
|عنوان = Arc (geometry)
|زبان = انگلیسی
|بازیابی = ۱۹ ژوئیه ۲۰۱۱
}}

== پیوند به بیرون ==
* [http://www.mathopenref.com/arc.html مفهوم و ویژگی‌های یک کمان] همراه با پویانمایی
* [http://www.mathopenref.com/tocs/circlestoc.html مجموعه صفحه‌های بیان کنندهٔ کمان‌ها و ویژگی‌های آن‌ها همراه با برنامه‌های پویا نمایی]
* {{MathWorld | urlname=Arc | title=Arc}}
* [http://www.mathopenref.com/arcradius.html شعاع یک کمان و قطاع دایره] همراه با پویانمایی

{{دایره}}

[[رده:منحنی‌ها]]
[[رده:هندسه متریک]]