نمایش مبدأ برای کسر مسلسل

{{Image frame|width=220
|content=<math>a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_n} }}}</math>
|caption=نمایشی از یک کسر مسلسل متناهی که در آن <math>n</math> عدد صحیح مثبت، <math>a_0</math> عددی صحیح و <math>a_i</math> برای <math>i=1,\ldots,n</math>، عدد صحیح مثبتی می باشند.
|align=left
}}
در [[ریاضیات]]، '''کسر مسلسل''' {{انگلیسی|Continued Fraction}} عبارتی است که در فرایندی تکراری بدست می‌آید و نمایشی از یک عدد به صورت جمع جزء صحیح آن عدد و وارون عددی دیگر است؛ به گونه‌ای که آن عدد دیگر خود به صورت جمعی از یک [[عدد صحیح]] و معکوس عددی دیگر است و ... این فرآیند به همین ترتیب ممکن است تا [[بی‌نهایت|بی نهایت]] ادامه یابد.<ref>{{cite web|url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/135043/continued-fraction|title=Continued fraction – mathematics}}</ref> در  کسر مسلسل متناهی، تکرار/بازگشت بعد از تعداد مراحل متناهی متوقف می شود (برعکس کسر مسلسل نامتناهی). در نتیجه کسر مسلسل نامتناهی، اصطلاحاً "عبارتی نامتناهی" است. در هر صورت، تمام اعداد صحیح درون دنباله اعداد بکار رفته در عبارت کسر مسلسل، به غیر از اولین عدد، باید مثبت باشند. اعداد صحیح <math>a_i</math> را ضرایب یا جملات کسر مسلسل گویند.<ref name="Pettofrezzo 1970 150">{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=150}}</ref>

کسرهای مسلسل خواص قابل توجهی در ارتباط با [[الگوریتم اقلیدس|الگوریتم اقلیدسی]] [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] دارند. از روی هر [[عدد گویا]] چون <math>\frac{p}{q}</math>، دو عبارت مرتبط با کسرهای مسلسل بدست می آید. این دو عبارت ضرایبی چون <math>a_i</math> دارند که با اعمال الگوریتم اقلیدسی بر روی <math>(p, q)</math> تعیین می گردند. مقدار عددی کسر مسلسل نامتناهی همیشه عددی گنگ است؛ این مقدار عددی به صورت [[حد دنباله]] اعداد صحیح حاصل از مقادیر بدست آمده از کسرهای مسلسل متناهی آن، تعریف می گردد. هر کدام از این کسرهای مسلسل متناهی (که از روی کسر مسلسل نامتناهی مورد نظر بدست می آیند)، با استفاده از پیشوندهای متناهی از کسر مسلسل نامتناهی مورد نظر تعریف می شوند. به علاوه، هر [[عدد گنگ]] چون <math>\alpha</math>، برابر با یک کسر مسلسل نامتناهی ''منحصر به فرد''ی است که ضرایبش را می توان با استفاده از اعمال نسخه پایان-ناپذیری از الگوریتم اقلیدسی بر روی مقادیر مقایسه ناپذیر (یعنی هیچ یک ضریب گویایی از دیگری نیست) <math>\alpha</math> و 1 بدست آورد. بیان اعداد حقیقی (چه گویا و چه گنگ) با این روش را ''نمایش کسر مسلسل'' می‌نامند.

عموماً، صورت تمام کسرهای به کار رفته در کسر مسلسل 1 فرض می‌شوند. اگر مقادیر و/یا توابع دلخواهی در صورت و مخرج یک یا چندتا از کسرها به کار گرفته شود، کسر مسلسل حاصر را [[کسر مسلسل تعمیم یافته]] خواهند نامید. هرگاه نیاز باشد تا بین این دو نوع کسر مسلسل تمایز ایجاد شود، به کسر مسلسل اول، کسر مسلسل '''ساده'''، '''منظم''' یا '''کانونی''' گفته می‌شود.

ممکن است اصطلاح ''کسر مسلسل'' در نمایش‌های [[توابع گویا]] که در [[تابع تحلیلی|نظریه تحلیلی]]شان ظهور پیدا می‌کنند نیز مورد استفاده قرار گیرد. برای این اصطلاح به مقاله [[تقریب پد]] و توابع گویای چبیشف رجوع کنید.

== انگیزش و نمادگذاری ==
به عنوان مثال، عدد گویای {{sfrac|415|93}} را که تقریباً برابر ۴٫۴۶۲۴ است را در نظر بگیرید. به عنوان قدم اول در تقریب زدن این کسر، با جزء صحیح این عدد که ۴ است شروع می‌کنیم؛ {{nowrap|1={{sfrac|415|93}} = 4 + {{sfrac|43|93}}}}. جزء کسری آن، وارون {{sfrac|93|43}} است که حدود ۲٫۱۶۲۸ می‌باشد. با استفاده از جزء صحیح آن که ۲ است، تقریب دوم بدست آمده که تا بدین جای کار، کسل مسلسل ما بدین شکل در می‌آید: {{nowrap|4 + {{sfrac|1|2}}}} اکنون برای بدست آوردن ادامه کسر مسلسل عدد مذکور، دوباره کسر باقیمانده یعنی {{sfrac|7|43}} را معکوس کرده {{sfrac|43|7}} که حدوداً برابر ۶٫۱۴۲۹ می‌شود. از ۶ به عنوان تخمین سوم استفاده کرده و تا بدین جا کسر مسلسل ما به صورت <math>4+\tfrac{1}{2+\tfrac{1}{6}}</math> در می‌آید. در نهایت از آنجا که در مرحله قبل به {{nowrap|1={{sfrac|43|7}} = 6 + {{sfrac|1|7}}}} رسیدیم، معکوس بخش اعشاری آن ۷ بوده، از آنجا که ۷ عدد صحیح و روندی است در این مرحله ساخت کسر مسلسل برای عدد مورد نظر خاتمه یافته و کسر مسلسل <math>4+\tfrac{1}{2+\tfrac{1}{6+\frac{1}{7}}}</math> برای {{sfrac|415|93}} بدست می‌آید.

عبارت <math>4+\tfrac{1}{2+\tfrac{1}{6+\frac{1}{7}}}</math> را نمایش کسر مسلسل {{sfrac|415|93}} می‌نامند. این نمایش را می‌توان به صورت <math>\tfrac{415}{93}=[4; 2, 6, 7]</math> به صورت مختصر نمایش داد (عادت بر این است که تنها اولین کاما به صورت سمیکولون ";" نوشته شود). در برخی از کتب درسی قدیمی، در نمایش تاپل (n+1) تایی مذکور از سمیکولون استفاده نکرده و تمامشان را به صورت کاما نمایش می‌دهند: <math>[4, 2, 6, 7]</math>.<ref name="Long 1972 173">{{harvtxt|Long|1972|p=173}}</ref><ref name="Pettofrezzo 1970 152">{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=152}}</ref>

== مراجع ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

==منابع==
{{چپ‌چین}}
{{آغاز پانویس|2}}
* {{cite news|first1=H. | last1=Siebeck | year=1846 | title= Ueber periodische Kettenbrüche
 |journal= J. Reine Angew. Math. | volume=33 | pages=68–70 | url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=PPN243919689_0033}}
* {{cite news|first1=J. B. H. | last1=Heilermann | title=Ueber die Verwandlung von Reihen in Kettenbrüche
 |journal =J. Reine Angew. Math. | volume=33 | pages=174–188 | url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=PPN243919689_0033| year=1846}}
* {{cite news| first1=Arne | last1=Magnus | title=Continued fractions associated with the Padé Table
 |journal=Math. Z. | volume=78 | pages=361–374 | year=1962}}
* {{cite news | first1=Chen-Fan | last1=Chen |first2=Leang-San | last2=Shieh
 |title=Continued fraction inversion by Routh's Algorithm | journal = IEEE Trans. Circuit Theory
 | volume=16 | number=2 | pages=197–202 | doi=10.1109/TCT.1969.1082925 | year=1969}}
* {{cite news|first1=William B. | last1=Gragg | title=Matrix interpretations and applications of the continued fraction algorithm
 |journal= Rocky Mountain J. Math. | volume=4 | number=2 | doi=10.1216/RJM-1974-4-2-213 | page=213 |year=1974}}
*{{Cite book | last = Jones | first = William B. | last2 = Thron | first2 = W. J. | title = Continued Fractions: Analytic Theory and Applications. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. | publisher = Addison-Wesley Publishing Company | year = 1980 | location = Reading. Massachusetts | volume = 11 | isbn = 0-201-13510-8 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/continuedfractio0000jone }}
*{{cite book |title = Continued Fractions |url = https://archive.org/details/continuedfractio00khin_0 |url-access = registration | year = 1964 | last1 = Khinchin | first1 = A. Ya. | author-link = Aleksandr Khinchin | orig-year = Originally published in Russian, 1935 | publisher = [[University of Chicago Press]] | ISBN= 0-486-69630-8 }}
* {{citation | first1 = Calvin T. | last1 = Long | year = 1972 | title = Elementary Introduction to Number Theory | edition = 2nd | publisher = [[D. C. Heath and Company]] | location = Lexington | lccn = 77-171950 }}
* {{cite book | first=Oskar | last= Perron | author-link=Oskar Perron | title =Die Lehre von den Kettenbrüchen | publisher=Chelsea Publishing Company | place=New York, NY | year= 1950}}
* {{citation | first1 = Anthony J. | last1 = Pettofrezzo | first2 = Donald R. | last2 = Byrkit | year = 1970 | title = Elements of Number Theory | publisher = [[Prentice Hall]] | location = Englewood Cliffs | lccn = 77-81766 }}
*{{cite book | title = Continued Fractions | url = https://archive.org/details/continuedfractio0000rock | url-access = registration | last1 = Rockett | first1 = Andrew M. | last2 = Szüsz | first2 = Peter| year = 1992 | publisher = World Scientific Press | ISBN = 981-02-1047-7 }}
*H. S. Wall, ''Analytic Theory of Continued Fractions'', D. Van Nostrand Company, Inc., 1948 {{isbn|0-8284-0207-8}}
*{{cite book|first1=A. |last1= Cuyt |first2= V. | last2= Brevik Petersen |first3= B. |last3= Verdonk
 |first4= H. |last4= Waadeland |first5 = W. B. |last5=Jones |title =Handbook of Continued fractions for Special functions
 |publisher= Springer Verlag |year=2008 |isbn=978-1-4020-6948-2}}
* {{cite news | last1=Rieger |first1=G. J. | title =A new approach to the real numbers (motivated by continued fractions)
 |journal= Abh. Braunschweig.Wiss. Ges. | volume= 33 |year=1982 |pages=205–217}}
{{پایان پانویس}}
{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
{{چپ‌چین}}
* {{springer|title=Continued fraction|id=p/c025540}}
* [http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/cfINTRO.html An Introduction to the Continued Fraction]
* Linas Vepstas [http://www.linas.org/math/chap-gap/chap-gap.html Continued Fractions and Gaps] (2004) reviews chaotic structures in continued fractions.
* [http://www.cut-the-knot.org/blue/ContinuedFractions.shtml Continued Fractions on the Stern-Brocot Tree] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.math.sunysb.edu/~tony/whatsnew/column/antikytheraI-0400/kyth3.html The Antikythera Mechanism I: Gear ratios and continued fractions]
* [http://wims.unice.fr/~wims/en_tool~number~contfrac.en.html Continued fraction calculator], WIMS.
* [https://web.archive.org/web/20030202011209/http://www.tweedledum.com/rwg/cfup.htm Continued Fraction Arithmetic] Gosper's first continued fractions paper, unpublished. Cached on the [[Internet Archive]]'s [[Internet Archive#Wayback Machine|Wayback Machine]]
* {{MathWorld |title=Continued Fraction |urlname=ContinuedFraction}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/ContinuedFractions/ Continued Fractions] by [[Stephen Wolfram]] and [http://demonstrations.wolfram.com/ContinuedFractionApproximationsOfTheTangentFunction/ Continued Fraction Approximations of the Tangent Function] by Michael Trott, [[Wolfram Demonstrations Project]].
* {{OEIS el|1=A133593|2="Exact" continued fraction for Pi}}
* [http://go.helms-net.de/math/tetdocs/FracIterAltGeom.htm A view into "fractional interpolation" of a continued fraction {{math|{1; 1, 1, 1, ...}}}]
* [http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-irrational3 Best rational approximation through continued fractions]
{{پایان چپ‌چین}}
{{نظریه اعداد}}
{{Fractions and ratios}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}
[[رده:آنالیز ریاضی]]
[[رده:ریاضیات مقدماتی]]
[[رده:کسرهای مسلسل]]