نمایش مبدأ برای چهارگان

'''چهارگان‌ها''' یا کواترنیون‌ها {{به انگلیسی|Quaternion}} یک سیستم عددنویسی هستند که به بسط [[عدد مختلط|اعداد مختلط]] می‌انجامند. چهارگان‌ها اولین بار توسط [[ویلیام همیلتون|ویلیام روآن همیلتون]] در اکتبر سال ۱۸۴۳ ابداع و ارائه گردید و از آن پس این مفهوم در مکانیک و در [[فضای سه‌بعدی]] مورد استفاده قرار گرفته‌است.

از خواص چهارگان‌ها اینکه ضرب آن‌ها [[خاصیت جابه‌جایی|خاصیت جابجایی]] ندارند.

چهارگان‌ها معمولاً به صورت زیر مطرح می‌شوند: (که c ،b ،a و d [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] و j ،i و k نیز واحدهای اصلی چهارگان را تشکیل می‌دهند و H ابتدای نام همیلتون است)

<math>H = a.1 + b.i + c.j + d.k</math>
[[پرونده:Quaternion-multiplication-table.png|جایگزین=جدول ضرب چهارگان (خاصیت جابجایی ندارد)|بندانگشتی|جدول ضرب چهارگان (خاصیت جابجایی ندارد)]]

همیلتون در ۱۶ اکتبر ۱۸۴۳ زمانی که در طول کانال سلطنتی به سمت آکادمی ایرلند در حرکت بود، ایده چهارگان‌ها به ذهنش رسید. او به قدری از یافتهٰ خود خوشحال شد که فرمول ابتدایی آن را همان‌جا روی دیوار پل بروم (Broome Bridge) حک کرد به‌طوری‌که بعدها به این پل یک جنبه تاریخی خاص و در عین حال ارزشمند بخشید:<ref>{{یادکرد وب|نشانی=http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node24.html|عنوان=Brougham Bridge|بازبینی=2017-08-05}}</ref><center>
:<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\,</math>
[[پرونده:Ihoosh-Broom bridge plaque.jpg|بندانگشتی|پلاک یادبود ویلیام همیلتون بر روی دیوار پل بروم در دوبلین]]

</center>
از فرمول ابتدایی همیلتون، عبارتهای زیر به دست می‌آیند که معادل با [[ضرب برداری]] در فضای ۳ بعدی هستند. (قوانین همیلتون)
<center>
:<math>\begin{matrix}
ij & = & k, & & & & ji & = & -k, \\
jk & = & i, & & & & kj & = & -i, \\
ki & = & j, & & & & ik & = & -j.
\end{matrix}</math>

</center>

== برخی از کاربردها ==
[[پرونده:WilliamRowanHamilton.jpeg|بندانگشتی|ویلیام روآن همیلتون]]
- بسیاری از [[فراکتال]]ها در فضای چهارگان (کواترنیون)ها، توضیح داده می‌شوند.<ref>{{یادکرد وب|نام خانوادگی=W.|نام=Weisstein, Eric|کد زبان=en|نشانی=http://mathworld.wolfram.com/Quaternion.html|عنوان=Quaternion|بازبینی=2017-08-05}}</ref>

- کواترنیون‌ها عملاً در اثبات تئوری مجموع چهار [[مربع کامل|مجذور]] [[ژوزف-لویی لاگرانژ|لاگرانژ]] نیز بکار برده شده‌است. این تئوری بیان می‌کند هر [[عدد صحیح]] غیر منفی را می‌توان به صورت مجموع حداکثر چهار مجذور کامل نوشت:<ref>{{یادکرد وب|نام خانوادگی=W.|نام=Weisstein, Eric|کد زبان=en|نشانی=http://mathworld.wolfram.com/LagrangesFour-SquareTheorem.html|عنوان=Lagrange's Four-Square Theorem|بازبینی=2017-08-05}}</ref>

<math>3 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2</math>

<math>31 = 5^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2</math>

و در انتها جمله‌ای از [[ویلیام همیلتون|سر ویلیام همیلتون]]:

گفته می‌شود زمان تنها یک بُعد دارد و فضا هم سه بُعد، کواترنیون [[ریاضیات]] هر دو عنصر را داراست: به زبان دقیق‌تر، گفته می‌شود «زمان به اضافه مکان» یا «مکان به اضافه زمان» و به این ترتیب به چهار بُعد ارجاع داده می‌شود.<ref>{{یادکرد وب|نویسنده=آی هوش|کد زبان=fa|تاریخ=|وبگاه=ihoosh.ir|نشانی=http://www.ihoosh.ir/article/112659|عنوان=چهارگان|accessdate=5 اوت 2017|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170805220541/http://www.ihoosh.ir/article/112659|archivedate=5 اوت 2017|dead-url=yes}}</ref>

== منابع ==
{{پانویس}}

* [http://mathworld.wolfram.com/Quaternion.html دانش نامه ریاضی ولفرام]
* [https://web.archive.org/web/20170805220541/http://www.ihoosh.ir/article/112659 آی هوش]

== پیوند به بیرون ==
* [http://scienceworld.wolfram.com/biography/HamiltonWilliamRowan.html زندگینامهٔ همیلتون].
* [https://web.archive.org/web/20170805220541/http://www.ihoosh.ir/article/112659 چهارگان چیست؟]

{{دستگاه اعداد}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}
{{ریاضی-خرد}}

[[رده:جبرهای ترکیبی]]
[[رده:چهارگان‌ها]]