نمایش مبدأ برای چندوجهی

{{short description|شکلی سه بعدی با وجوه چندضلعی، اضلاع صاف و رئوس تیز}}
{| class="wikitable" style="border:8px solid white" align=left
|+ برخی از چندوجهی‌ها
| align=center| [[File:Dodecahedron.gif|120px|Dodecaedro]]{{سخ}}[[دوازده‌وجهی]]{{سخ}}([[جسم افلاطونی]])
| align=center| [[File:SmallStellatedDodecahedron.gif|120px|Small stellated dodecahedron]]{{سخ}}[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک]]{{سخ}}([[چندوجهی کپلر–پوآنسو]])
|-
| align=center| [[File:Icosidodecahedron.gif|120px|بیست‌دوازده‌وجهی]]
{{سخ}}[[بیست‌دوازده‌وجهی]]{{سخ}}([[جسم ارشمیدسی]])
| align=center| [[File:Pentagonal cupola.png|120px|Pentagonal cupola]]{{سخ}}[[گنبد پنج‌ضلعی]]{{سخ}}([[گنبد (هندسه)|گنبد]])
|-
| align=center| [[File:Rhombictriacontahedron.gif|120px|Triacontaedro rombico]]{{سخ}}[[سی لوزوجهی]]{{سخ}}([[جسم کاتالان]])
| align=center| [[File:Pentagonal rotunda.png|120px|Pentagonal rotunda]]{{سخ}}[[گرد پنج‌ضلعی]]{{سخ}}([[اجسام جانسون|جسم جانسون]])
|}
'''چندوجهی'''{{یاد|به انگلیسی: Polyhedron که حالت جمع آن Polyhedra است. واژه انگلیسی polyhedron شامل دو بخش یونانی poly به معنی «زیاد» و هندواروپایی hedron به معنای «محل نشستن» یا «قاعده» است.}} یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.

چندوجهی‌هایی مثل [[هرم]] و [[منشور (هندسه)|منشور]] را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) [[چندضلعی]]‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل [[جسم افلاطونی|اجسام افلاطونی]] و [[جسم ارشمیدسی|اجسام ارشمیدسی]] می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.

به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار [[معماری]] مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.

چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.

== تعاریف ==
[[File:Great truncated icosahedron naming parts fa.jpg|بندانگشتی|300px|یک چندوجهی]]
چندوجهی‌های محدب به خوبی تعریف شده و خوش-تعریف‌اند به طوری که چندین تعریف معادل دارند. با این حال، تعریف صوری ریاضیاتی از چندوجهی‌هایی که لزوماً محدب نیستند مشکل‌ساز بوده‌است. بسیاری از تعاریف چندوجهی‌ها را در چهارچوب‌هایی خاص ارائه نموده‌اند،<ref name="lakatos">{{citation
 | last = Lakatos | first = Imre | editor2-first = Elie | editor2-last = Zahar | editor1-first = John | editor1-last = Worrall | author-link = Imre Lakatos
 | doi = 10.1017/CBO9781316286425
 | isbn = 978-1-107-53405-6
 | location = Cambridge
 | mr = 3469698
 | orig-year = 1976
 | page = 16
 | publisher = Cambridge University Press
 | quote = definitions are frequently proposed and argued about
 | series = Cambridge Philosophy Classics
 | title = Proofs and Refutations: The logic of mathematical discovery
 | year = 2015| title-link = Proofs and Refutations }}.</ref> به طوری که برخی از سایرین مستحکم بوده و توافقی جهانی بر سر این که کدام یک را انتخاب کنند وجود ندارد. برخی از این تعاریف، اشکالی را که اغلب دیگران به عنوان چندوجهی برشمرده‌اند را مستثنی می‌کنند (همچون چندوجهی‌های خود-متقاطع) یا شامل اشکالی‌اند که اغلب به عنوان چندوجهیِ معتبر در نظر گرفته نمی‌شوند (همچون جامداتی که مرزهایشان [[منیفلد (هندسه)|منیفلد]] نیستند). چنانچه [[برانکو گرونباوم]] نیز مشاهده نمود:

{{گفتاورد|«گناه اصلی{{efn|Original Sin، اشاره به دکترین مسیحیت و داستان خوردن میوه از درخت ممنوعه}} در نظریه چندوجهی‌ها به [[اقلیدس]] بر می‌گردد و از او به [[کپلر]]، [[لویی پوآنسو|پوآنسو]]، [[آگوستین لویی کوشی|کوشی]] و بسیاری دیگر تسری یافت … در هر مرحله … نویسندگان نتوانستند تعریف کنند که چندوجهی‌ها چه چیزهایی‌اند.»{{sfn |Grünbaum | 1994 |p=۴۳}}}}

با این وجود برسر این مسئله توافق نظر وجود دارد که «چندوجهی» شکلی در فضای سه‌بعدی است که شامل تعداد محدودی [[وجه (هندسه)|وجه]] تخت، [[ضلع]]ِ راست، و [[رأس (هندسه)|رأس]] است به‌گونه‌ای که در هر ضلع دقیقاً دو وجه به هم برسند و در هر رأس دستکم سه رأس و سه وجه با هم برخورد کنند.{{sfn | Pottmann | 2007 | p=۷۴}} هرگاه دو وجه در خطی که ضلع هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن خط «ضلع کاذب» و هرگاه سه ضلع در نقطه‌ای که گوشه هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن نقطه «رأس کاذب» گویند.<ref>Coxeter, ''Star polytopes and the Schläfli function f(&#x3B1;,&#x3B2;,&#x3B3;)'' p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra</ref> معمولاً فضای محصور شده در درون این وجه‌ها ([[حجم]]) نیز جزء چندوجهی به‌شمار می‌رود.

از این تعاریف می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:
* یک تعریف متداول و تا حدودی ساده از چند وجهی این است: شیء جامدی که سطوح بیرونی آن را می‌توان با تعداد زیادی وجه پوشش داد<ref>{{citation|title=Solid Geometry|first=Joseph P.|last=McCormack|publisher=D. Appleton-Century Company|year=1931|page=416}}.</ref><ref>{{citation|title=Computational Geometry: Algorithms and Applications|last1=de Berg|first1=M.|author1-link= Mark de Berg |last2=van Kreveld|first2=M.|author2-link= Marc van Kreveld |last3=Overmars|first3=M.|author3-link=Mark Overmars|last4=Schwarzkopf|first4=O.|author4-link=Otfried Cheong|edition=2nd|publisher=Springer|year=2000|page=64}}.</ref> یا اینکه یک جامد است که به صورت اتحاد چندوجهی‌های محدب شکل گرفته‌است.<ref>{{SpringerEOM|title=Polyhedron, abstract|id=Polyhedron,_abstract&oldid=25452|first=S.V.|last=Matveev}}</ref> ارتقاء طبیعی این تعریف مستلزم این است که جامد مورد بحث کراندار بوده، فضای داخلی آن و احتمالاً مرز آن نیز هم‌بند باشند. وجوه چنین چندوجهی ای را می‌توان به عنوان [[فضای همبند]] قسمت‌های مرز درون هر یک از صفحاتی که آن را پوشانده‌اند، و ضلع‌ها و رئوس آنها را به عنوان بخش‌های خط و نقاطی که وجوه در آنها به هم می‌رسند، تعریف کرد. با این حال، چندوجهی تعریف شده به این روش شامل چندوجهی‌های ستاره‌ای متقاطع نیست که ممکن است وجوه آن را [[چند ضلعی ساده|چندضلعی‌های ساده]] تشکیل ندهند و برخی از ضلع‌های آن متعلق به بیش از دو وجه باشد.<ref>{{citation|title=Adventures Among the Toroids: A study of orientable polyhedra with regular faces|title-link= Adventures Among the Toroids |first=B. M.|last=Stewart|author-link= Bonnie Stewart |edition=2nd|year=1980|page=6}}.</ref>
* تعاریف مبتنی بر ایده سطح محدود کننده و نه جامد نیز معمول است.<ref name="cromwell">Cromwell (1997), pp. &nbsp;206–209.</ref> به عنوان مثال، اورورک (۱۹۹۳) چندوجهی را به عنوان اجتماع چندضلعی‌های محدب (وجوه آن) تعریف می‌کند. این چند ضلعی‌ها به گونه‌ای در فضا آرایش یافته‌اند که تقاطع (یا اشتراک) هر دو چندضلعی یک راس یا ضلع مشترک یا [[مجموعه تهی]] است، به طوری که اجتماعشان یک [[منیفلد (هندسه)|منیفلد]] است.<ref>{{citation|title=Computational Geometry in C|journal=Computers in Physics|volume=9|issue=1|first=Joseph|last=O'Rourke|author-link=Joseph O'Rourke (professor)|year=1993|pages=113–116|bibcode=1995ComPh...9...55O|doi=10.1063/1.4823371}}.</ref> اگر یک قسمت مسطح از چنین رویه‌ای خود چندضلعی محدبی نباشد، اورورک این شرط را می‌گذارد که آن قسمت باید به قطعاتی تقسیم‌بندی شوند که هر کدام چندضلعی‌های محدب کوچکتری بوده به گونه‌ای که زوایای دووجهی بینشان تخت باشند. تا حدودی به‌طور کلی تر، برانکو گرونباوم یک چندوجهی را به عنوان مجموعه‌ای از چندضلعی‌های ساده تعریف می‌کند که یک منیفلد تعبیه شده را تشکیل می‌دهند، با هر راس که حداقل سه ضلع به آن می‌رسد و هر دو وجه فقط در راس‌ها و ضلع‌های مشترک هر یک از هم تلاقی می‌کنند.<ref>{{citation
 | last = Grünbaum
 | first = Branko
 | author-link = Branko Grünbaum
 | contribution = Acoptic polyhedra
 | doi = 10.1090/conm/223/03137
 | mr = 1661382
 | pages = 163–199
 | publisher = American Mathematical Society
 | location = Providence, Rhode Island
 | series = Contemporary Mathematics
 | title = Advances in discrete and computational geometry (South Hadley, MA, 1996)
 | url = https://sites.math.washington.edu/~grunbaum/BG225.Acoptic%20polyhedra.pdf
 | volume = 223
 | year = 1999
 | isbn = 978-0-8218-0674-6
 | accessdate = ۵ ژوئن ۲۰۲۱
 | archive-date = ۳۱ مارس ۲۰۲۱
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20210331174406/https://sites.math.washington.edu/~grunbaum/BG225.Acoptic%20polyhedra.pdf
 | dead-url = yes
 }}.</ref> کتاب چندوجهی‌های کرامول تعریف مشابهی ارائه می‌دهد اما بدون محدودیت حداقل سه ضلع در هر راس. باز هم، این نوع تعریف شامل چندوجهی‌های متقاطع نیست<ref>{{harvtxt|Cromwell|1997}}, p. &nbsp;209.</ref> مفاهیم مشابه اساس تعاریف توپولوژیک از چند وجهی را تشکیل می‌دهند، به عنوان زیرمجموعه‌های یک منیفلد توپولوژیکی به دیسک‌های توپولوژیک (وجه‌ها) که تقاطع‌های دوتایی آنها به صورت نقطه (رئوس)، قوس‌های توپولوژیکی (ضلع‌ها) یا مجموعه تهی است. با این حال، چندوجهی توپولوژیکی (حتی با مثلث‌های تمام وجه) وجود دارد که نمی‌توان آنها را به عنوان چند وجهی هندسی درک کرد.<ref>{{citation
 | last1 = Bokowski | first1 = J.
 | last2 = Guedes de Oliveira | first2 = A.
 | doi = 10.1007/s004540010027
 | issue = 2–3
 | journal = [[Discrete and Computational Geometry]]
 | mr = 1756651
 | pages = 197–208
 | title = On the generation of oriented matroids
 | volume = 24
 | year = 2000| doi-access = free
 }}.</ref>
* تعریف مدرن‌تری مبتنی بر نظریه چندوجهی‌های مجرد نیز رواج دارد. این چندوجهی‌ها را می‌توان به صورت مجموعه‌هایی با [[ترتیب جزئی]] تعریف نمود، به گونه ای که عناصر آنها راس‌ها، ضلع‌ها و وجه‌های یک چندوجهی هستند. هنگامی که راس یا ضلع کوچک‌تر از ضلع یا وجه باشد، یک عنصر راس یا ضلع کم‌تر از عنصر ضلع یا وجه است (به این ترتیب جزئی). علاوه بر این، ممکن است یکی از عناصر زیرین ویژه این ترتیب جزئی (نشان دهنده مجموعه تهی) و یک عنصر بالا نشان دهنده کل چندوجهی باشد. اگر بخشهای ترتیب جزئی بین عناصر سه وجه از هم فاصله داشته باشند (یعنی بین هر وجه و عنصر پایین و بین عنصر بالا و هر راس) ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک چند ضلعی را دارند، سپس این مجموعه‌هایی که مرتب شده‌اند دقیقاً همان اطلاعات را با چند وجهی توپولوژیکی حمل می‌کنند. با این حال، این الزامات اغلب سهل‌گیرانه هستند، در عوض فقط به این نیاز است که مقاطع بین عناصر دو وجه از یکدیگر دارای ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک بخش خط باشند.<ref name="bursta">{{citation
 | last1 = Burgiel | first1 = H.
 | last2 = Stanton | first2 = D.
 | doi = 10.1007/s004540010030
 | issue = 2–3
 | journal = [[Discrete and Computational Geometry]]
 | mr = 1758047
 | pages = 241–255
 | title = Realizations of regular abstract polyhedra of types {3,6} and {6,3}
 | volume = 24
 | year = 2000| doi-access = free
 }}.</ref> (این بدان معنی است که هر ضلع شامل دو رأس است و به دو وجه تعلق دارد و هر رأس در یک وجه به دو ضلع آن وجه تعلق دارد) چند وجهی هندسی، که به روش‌های دیگر تعریف شده‌است، می‌تواند به صورت انتزاعی از این طریق توصیف شود، اما همچنین می‌توان از چندوجهی انتزاعی به عنوان اساس تعریف چندوجهی هندسی استفاده کرد. تحقق یک چندوجهی انتزاعی به‌طور کلی به عنوان نگاشتی از رئوس چندوجهی انتزاعی به نقاط هندسی در نظر گرفته می‌شود، بدین ترتیب که نقاط هر وجه به صورت همسطح است. پس می‌توان یک چندوجهی هندسی را به عنوان تحقق چندوجهی انتزاعی تعریف کرد.<ref>{{harvtxt|Grünbaum|2003}}, pp. &nbsp;468–469.</ref> تحققاتی که الزام مسطح بودن را حذف می‌کنند، الزامات اضافی تقارن را تحمیل کرده یا رئوس را به فضاهای ابعاد بالاتر می‌نگارند نیز در نظر گرفته شده‌اند.<ref name="bursta"/> تعریف اخیر، برخلاف تعاریفی که بر مبنای جامدات و رویه‌ها ارائه شده‌اند، برای چندوجهی ستاره‌ای کاملاً مناسب می‌باشد. با این حال، بدون محدودیت‌های اضافی، این تعریف اجازه می‌دهد تا چندوجهی تبهگن یا بی‌وفا (به عنوان مثال، با نگاشت تمام رئوس در یک نقطه واحد) ساخت و این سؤال که: «چگونه تحقق بخشی از این‌ها را محدود کنیم تا از این تبهگنی‌ها جلوگیری شود؟» نیز لاینحل باقی مانده‌است.

در همه این تعاریف، یک چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از [[پلیتوپ]] کلی تر در هر تعداد ابعاد قابل درک است. به عنوان مثال، یک چندضلعی جسمی دو بعدی دارد و هیچ وجهی ندارد، در حالی که یک چهار پلیتوپ دارای یک بدنه چهار بعدی و یک مجموعه اضافی از «سلول» های سه بعدی است. با این حال، برخی از متون مربوط به هندسه ابعاد بالاتر از اصطلاح «چندوجهی» برای معنای دیگری استفاده می‌کنند: نه یک پلیتوپ سه بعدی، بلکه شکلی است که به نوعی با یک پلیتوپ متفاوت است. به عنوان مثال، برخی منابع [[چندضلعی‌های کوژ و کاو|چندضلعی محدب]] را به عنوان محل تلاقی بسیاری از نیم‌فضاها و یک پلیتوپ را به صورت چندوجهی کراندار تعریف می‌کنند.<ref name="polytope-bounded-1">{{citation
 | last = Grünbaum | first = Branko | author-link = Branko Grünbaum
 | doi = 10.1007/978-1-4613-0019-9
 | edition = 2nd
 | isbn = 978-0-387-00424-2
 | location = New York
 | mr = 1976856
 | page = 26
 | publisher = Springer-Verlag
 | ref = Grünbaum-Convex-Polytopes<!-- Don't interfere with harv links to the other Grünbaum 2003 reference -->
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | title = Convex Polytopes
 | title-link = Convex Polytopes
 | volume = 221
 | year = 2003}}.</ref><ref name="polytope-bounded-2">{{citation
 | last1 = Bruns | first1 = Winfried
 | last2 = Gubeladze | first2 = Joseph
 | contribution = Definition 1.1
 | contribution-url = https://books.google.com/books?id=pbgg1pFxW8YC&pg=PA5
 | doi = 10.1007/b105283
 | isbn = 978-0-387-76355-2
 | mr = 2508056
 | page = 5
 | publisher = Springer | location = Dordrecht
 | series = Springer Monographs in Mathematics
 | title = Polytopes, Rings, and ''K''-theory
 | year = 2009| citeseerx = 10.1.1.693.2630
 }}.</ref> در این مقاله تنها به چندوجهی ۳ بعدی پرداخته شده‌است.

=== زوایا ===
هر چندوجهی دارای سه نوع زاویه است که عبارتند از:
# '''زاویه مسطحه:''' به هر کدام از زوایای گوشه وجوه چندضلعی‌های چندوجهی زاویه مسطحه گویند.
# '''[[زاویه فضایی]]:'''به هر کدام از زوایایی که چندوجهی در فضای سه بعدی روی رأس می‌پوشاند زاویه فضایی گویند. هر کدام از این زوایا با سه یا بیشتر از ۳ زاویه زاویه صاف محصور شده‌اند.
# '''زاویه دووجهی:'''به هر کدام از زوایایی که بین دو وجه چندوجهی پدید آیند، زاویه دووجهی گویند.<ref>{{harvtxt|Cromwell|1997}}, p. &nbsp;13.</ref>

=== سطح چندوجهی ===
«سطح چندوجهی»{{یادچپ|polyhedral surface}} حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوماً فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.{{sfn | Pottmann | 2007 | p=۷۴}}

اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در [[معماری]] افزایش یافته‌است.{{sfn | Pottmann | 2007 | p=۷۲}}

== مفاهیم دیگر ==
=== محدب بودن ===
[[پرونده:Stella octangula.png|thumb|upright=۰٫۵|یک چندوجهی غیر محدب.]]
چندوجهی محدب چندوجهی‌ای است که جسمی محدب را مشخص می‌کند. این شرایط را می‌توان به روشهای مختلف معادل بیان کرد:
* برای هر جفت از نقاط جسم، خطی که آنها را به هم وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است (این تعریف معمول [[مجموعه محدب]] در فضا است).
* برای هر جفت رأس، خطی که آنها را به وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است.
* صفحه حاوی هر وجه، فضا را به دو نیمه تقسیم می‌کند و چند وجهی کاملاً در یکی از این دو نیمه قرار دارد.

چند وجهی غیر محدب را گاهی مقعر می‌نامند.<ref name=zieg>{{Citation
| last=Ziegler
| first=Günter M.
| author-link=Günter M. Ziegler
| title=Lectures on Polytopes
| publisher=[[Springer-Verlag]]
| location=Berlin, New York
| series=Graduate Texts in Mathematics
| year=1995
| volume=152}}.</ref>

=== اسکلت ===
[[File:Tetraedro regolare.png|thumb|right|upright=۰٫۶|اسکلت چهاروجهی که روی صفحه نمایش داده شده.]]
رئوس و ضلع‌های چندوجهی گرافی را تشکیل می‌دهند که اسکلت چند وجهی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، اسکلت چهار وجهی یک [[گراف کامل]] با ۴ راس است.

اسکلت چند وجهی محدب یک [[گراف مسطح]] است و به همین دلیل قضیه چندوجهی اویلر (که در ادامه توضیح داده خواهد شد) در آن صدق می‌کند: در واقع می‌توان گراف را از یک نقطه داخلی چندوجهی بر روی هر کره ای که در آن نقطه قرار دارد نمایش داد و سپس با استفاده از [[تصویر کردن استریوگرافیک]] به روی صفحه نمایش داد. گراف یک چندوجهی پیچیده‌تر ممکن است مسطح نباشد.<ref name=Eppstein2013>{{cite web|last=Eppstein|first=David|title=Twenty Proofs of Euler's Formula: V-E+F=2|url=http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/|access-date=3 June 2013}}</ref><ref>[[Imre Lakatos]]: [[Proofs and Refutations]], Cambridge Technology Press, 1976</ref>
{{-}}

=== تور ===
[[File:Dodecahedron flat.svg|thumb|right|240px|یکی از تورهای دوازده وجهی منتظم.]]
{{حل نشده|ریاضیات|آیا هر چندوجهی محدب، توری ساده است؟}}
تورِ (Net) یک چند وجهی، شکل مسطحی است که از تعدادی چندضلعی در امتداد برخی طرف‌ها تشکیل شده‌است، که می‌تواند در فضا خم شود تا بسته شود و یک چندوجهی تشکیل دهد. تور ابزاری کاربردی برای ساخت چندوجهی کاغذی است.<ref>{{citation|first=Magnus J.|last=Wenninger|author-link=Magnus Wenninger|title=Polyhedron Models|publisher=Cambridge University Press|year=1971}}</ref>

در سال ۱۹۷۵، جی.سی. شپارد پرسید که آیا هر چندوجهی محدب حداقل دارای یک تور ساده است؟<ref>{{citation| last = Shephard | first = G. C. | author-link = Geoffrey Colin Shephard| issue = 3| journal = Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society| mr = 0390915| pages = 389–403| title = Convex polytopes with convex nets| volume = 78| year = 1975 |doi=10.1017/s0305004100051860| bibcode = 1975MPCPS..78..389S}}</ref> این سؤال که به عنوان حدس دورر یا مسئله تور دورر یا حدس شپارد نیز شناخته می‌شود، بی پاسخ مانده‌است.<ref>{{Mathworld|urlname=ShephardsConjecture|title=Shephard's Conjecture|mode=cs2}}</ref><ref>{{citation|url=http://www.openproblemgarden.org/op/d_urers_conjecture|title=Dürer's conjecture|work=Open Problem Garden|first=D. |last=Moskovich|date=June 4, 2012}}</ref><ref>{{citation|last=Ghomi|first=Mohammad|date=2018-01-01|title=Dürer's Unfolding Problem for Convex Polyhedra|journal=Notices of the American Mathematical Society|volume=65|issue=1|pages=25–27|doi=10.1090/noti1609|doi-access=free}}</ref>
{{-}}

== خواص توپولوژیکی ==
خصوصیات توپولوژیکی چندوجهی آن ویژگی‌هایی است که فقط شکل جهانی آن را توصیف می‌کند. به عنوان مثال چندوجهی‌های محدب همه دارای فرم توپولوژیکی یکسان هستند: آنها «از نظر توپولوژیکی» برابر با یک کره هستند. این چندوجهی‌ها ساده نامیده می‌شوند. برای چندوجهی‌های ساده فرمول مهمی به نام قضیه چندوجهی اویلر وجود دارد که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.

=== توپولوژی رویه ===
{{تصویر چندگانه|align=left|total_width=400|image1=Great icosahedron.png|image2=Toroidal polyhedron.gif|footer=تصویر راست: بیست وجهی بزرگ دارای ۲۰ وجه مثلثی است که با یکدیگر تلاقی می‌کنند.{{سخ}}
تصویر چپ: چندوجهی چنبرواری که از نظر [[توپولوژی|توپولوژیکی]] یک چنبره است.}}
[[رویه (توپولوژی)|رویه]] یک چندوجهی اتحاد وجوه آن است. در برخی موارد، مانند بیست وجهی بزرگ نشان داده شده در شکل، این وجوه‌ها می‌توانند تلاقی کنند و در نتیجه شکل پیچیده‌ای را تشکیل می‌دهند. وقتی این اتفاق می‌افتد، ممکن است مشخص نباشد که کدام قسمت جسم از فضا در واقع توسط وجه‌ها «در نظر گرفته شده» است. این پدیده مشابه پدیده‌ای است که در فضای ۲بعدی برای چندضلعی‌های ستاره ای رخ می‌دهد.

در بیشتر موارد مورد مطالعه، وجه‌ها با هم تلاقی ندارند و در واقع رویه‌ای را تشکیل می‌دهند که از نقطه نظر توپولوژیک قابل مطالعه است: یعنی شکل جهانی آن توصیف می‌شود، با نادیده گرفتن زوایای تشکیل شده به صورت محلی توسط ضلع‌ها و رئوس مختلف. یک رویه همیشه بخشی از فضا را مشخص می‌کند.{{یاد|این حقیقت گرچه شهودی است، ولی بدیهی نیست: رویه شبیه حالت سه بعدی [[قضیه خم ژوردن]] است. در هر صورت این حقیقت که رویه، اجتماعی از چندضلعی‌ها است اثبات را آسان‌تر می‌کند: بدون این فرض، می‌توان رویه‌هایی چون کره شاخ‌دار اسکندر را ایجاد نمود که رفتار عجیب تری دارد.}}

از نظر توپولوژیک، یک سطح در فضا بیش از هر چیز با «تعداد قطعات جدا شده» و «تعداد سوراخ» مشخص می‌شود. وقتی این قطعه از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ روزنه‌ای نداشته باشد، معادل کره است. قطعات جداگانه و تعداد حفره‌ها در ریاضیات به ترتیب با مفهوم فضای متصل و جنسیت متصل شده رسمی می‌شوند. چندوجهی دارای سوراخ دارای رویه‌ای به شکل [[چنبره]] است.<ref>{{یادکرد کتاب| last=Dedò| first=Maria| year=1999|title=Forme, simmetria e topologia città=Bologna | isbn=88-08-09615-7}}</ref>

=== طبقه‌بندی توپولوژیکی ===
برخی از چندوجهی‌ها دارای دو طرف مشخص در سطح خود هستند. به عنوان مثال، می‌توان به داخل و خارج یک مدل کاغذی چندوجهی محدب رنگ متفاوتی داد (اگرچه رنگ داخلی از دید پنهان خواهد شد). این چندوجهی‌ها جهت‌دار هستند. همین امر در مورد چندوجهی‌های غیر محدب و غیر خود-متقاطع نیز صدق می‌کند. برخی از چندوجهی‌های غیر محدب خود-متقاطع می‌توانند به همان شیوه رنگی شوند اما مناطق آنها زیر و رو می‌شود به طوری که هر دو رنگ زده شده در خارج در مکان‌های مختلفی ظاهر می‌شوند. اینها هنوز هم جهت دار در نظر گرفته می‌شوند. با این حال، برای برخی دیگر از چندوجهی‌های خود-متقاطع با وجه‌های چندضلعی‌های ساده، رنگ آمیزی دو طرف هر وجه با دو رنگ متفاوت به طوری که وجه‌های مجاور دارای رنگ‌های ثابت باشند امکان‌پذیر نیست. در این حالت گفته می‌شود که چندوجهی جهت‌ناپذیر است. برای چندوجهی با وجه‌هایی که از هم عبور می‌کنند، ممکن است مشخص نباشد که وجه‌های مجاور به‌طور یکسان رنگ‌آمیزی می‌شوند، اما برای این چند وجهی‌ها هنوز هم می‌توان با در نظر گرفتن یک مجموعه سلول توپولوژیکی با همان اتفاقات بین رئوس، ضلع‌ها و وجه‌های آن جهت دار بودن یا نبودن چندوجهی را مشخص کرد.<ref>{{harvtxt|Richeson|2008}}, p. &nbsp;157.</ref>

=== مشخصه اویلر و قضیهٔ چندوجهی اویلر ===
{{اصلی|مشخصه اویلر}}
[[مشخصه اویلر]] مشخصه‌ای است که با حرف یونانی خی (<math>\chi\,</math>) نشان داده شده و در ابتدا برای چندوجهی‌ها و به شکل زیر تعریف شد:
{{چپ‌چین}}
:<math>\chi=V-E+F \,\!</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که ''V'', ''E'' و ''F'' به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند.

قضیه چندوجهی اویلر بیان می‌کند همواره مشخصه اویلر چندوجهی‌های محدب برابر ۲ است.<ref>{{یادکرد وب|عنوان=Euler Characteristic|نشانی=http://mathworld.wolfram.com/EulerCharacteristic.html|ناشر=MathWorld|تاریخ بازبینی=۱۲ آوریل ۲۰۱۴}}</ref> جدول زیر قضیه چندوجهی اویلر را روی برخی چندوجهی‌های محدب بررسی می‌کند:
{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|-
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=center
|چهاروجهی منتظم
|[[پرونده:tetrahedron.gif|100px]]
|اجسام افلاطونی
|۴
|۶
|۴
|'''۲'''
|- align=center
|چهاروجهی بریده شده
|[[پرونده:Truncatedtetrahedron.gif|100px]]
|اجسام ارشمیدسی
|۱۲
|۱۸
|۸
|'''۲'''
|- align=center
|دوازده‌مثلث وجهی
|[[پرونده:Triakistetrahedron.gif|100px]]
|اجسام کاتالان
|۸
|۱۸
|۱۲
|'''۲'''
|}
برای اشکال پیچیده‌تر، مشخصه اولر مربوط به تعداد سوراخ‌ها و عوامل دیگر است و کمتر از ۲ خواهد بود.<ref>{{harvtxt|Richeson|2008}}, p. &nbsp;180.</ref>

مشخصه اویلر چندوجهی‌های ستاره‌ای متغیر است.
جدول زیر مشخصه اویلر برخی چندوجهی‌های ستاره‌ای را بیان می‌کند:
{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|-
!نام
!تصویر
!خانواده
!رأس‌ها{{سخ}}''V''
!اضلاع{{سخ}}''E''
!وجه‌ها{{سخ}}''F''
!مشخصهٔ اویلر:{{سخ}}''V'' − ''E'' + ''F''
|- align=center
|دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:GreatDodecahedron.gif|100px]]
|ستاره‌ای منتظم (کپلر-پوآنسو)
|۱۲
|۳۰
|۱۲
|'''۶-'''
|- align=center
|بیست دوازده وجهی بزرگ
|[[پرونده:Great icosidodecahedron.png|100px]]
|ستاره‌ای شبه منتظم
|۳۰
|۶۰
|۳۲
|'''۲'''
|- align=center
|بیست دوازده دوازده وجهی اسناب
|[[پرونده:Snub icosidodecadodecahedron.png|100px]]
|ستاره‌ای نیمه منتظم
|۶۰
|۱۸۰
|۱۰۴
|'''۱۶-'''
|}

=== چندوجهی چنبرواری ===
[[پرونده:Hexagonal torus.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی چنبرواری]]
چندوجهی چنبرواری نوعی چندوجهی است که علاوه بر چندوجهی بودن یک [[چنبروار]] نیز هست و دارای ۱ یا بیش از یک سوراخ است. چندوجهی چنبرواری به عنوان مجموعه‌هایی از چندضلعی‌ها تعریف می‌شود که در ضلع‌ها و رئوس آن به هم می‌رسند و یک [[منیفولد]] را تشکیل می‌دهند؛ یعنی هر ضلع باید دقیقاً توسط دو چندضلعی احاطه شود و پیوند اجزا در هر راس باید یک چرخه منفرد باشد که بین ضلع‌ها و چندضلعی‌هایی که در آن راس قرار دارند متناوب باشد.<ref>{{harvtxt|Whiteley|1979}}; {{harvtxt|Stewart|1980}}, p. &nbsp;15.</ref> برخی از نویسندگان عبارت «چندوجهی چنبرواری» را به معنای دقیق تر نوعی چندوجهی که از نظر توپولوژیکی معادل [[چنبره]] (با یک سوراخ) است محدود می‌کنند.<ref>{{citation
| last=Webber | first=William T.
| doi=10.1023/A:1004997029852
| issue=1
| journal=[[Geometriae Dedicata]]
| mr=1468859
| pages=31–44
| title=Monohedral idemvalent polyhedra that are toroids
| volume=67
| year=1997| s2cid=117884274
}}.</ref>
در یک چندوجهی چنبرواری با N سوراخ مشخصه اویلر نامثبت بوده و برابر با ''V'' − ''E'' + ''F'' = ۲ − ۲''N'' می‌باشد.<ref>{{citation
| last=Whiteley | first=Walter | authorlink=Walter Whiteley
| issue=1
| journal=Structural Topology
| mr=621628
| pages=46–58, 73
| title=Realizability of polyhedra
| url=http://www.iri.upc.edu/people/ros/StructuralTopology/ST1/st1-07-a4.pdf
| year=1979}}.</ref>

== ویژگی‌ها و مشخصه‌های دیگر ==
=== تعداد وجوه ===
چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نام‌گذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron ([[چهاروجهی]]) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron ([[پنج‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron ([[شش‌وجهی]]) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نام‌گذاری می‌گردند.

=== شکل گوشه‌ها ===
برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید.<ref>Cromwell (1997), pp. 206–209.</ref> اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.

==== نماد رأس ====
نماد رأس<ref>Resources for Teaching Discrete Mathematics: Classroom Projects, History, modules, and articles, edited by Brian Hopkins</ref><ref>[http://polyhedra.mathmos.net/entry/vertexsymbol.html Vertex Symbol] Robert Whittaker</ref> یا پیکربندی رأس علامتی اختصاری برای نشان دادن شکل گوشه یک چندوجهی یا کاشی‌کاری به عنوان دنباله‌ای از وجه‌ها در اطراف یک راس است. برای چندوجهی‌های یکنواخت فقط یک نوع شکل گوشه وجود دارد و بنابراین پیکربندی راس کاملاً چند وجهی را تعریف می‌کند.

نماد راس به عنوان دنباله‌ای از اعداد ارائه شده‌است که تعداد اضلاع وجه‌های اطراف راس را نشان می‌دهد. علامت گذاری «a.b.c» یک راس را توصیف می‌کند که دارای ۳ وجه در اطراف آن است که a و b و c ضلع دارند.

{| class=wikitable align=right
|- valign=top align=center
|[[File:Icosidodecahedron.png|200px]]{{سخ}}بیست دوازده وجهی
|[[Image:Icosidodecahedron vertfig labeled.png|150px]]{{سخ}}شکل گوشه اش که با نماد رأس به شکل{{سخ}}۳٫۵٫۳٫۵ یا <sup>۲</sup>(۳٫۵) نمایش داده می‌شود.
|}

برخلاف محل شروع، ترتیب مهم است؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ با ۵٫۳٫۵٫۳ برابر امّا با ۳٫۳٫۵٫۵ متفاوت است. عناصر تکرار شده را می‌توان برای نشان دادن جمع کرد؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ را می‌توان به شکل <sup>۲</sup>(۳٫۵) نمایش داد.<ref>[https://www.math.technion.ac.il/S/rl/docs/uniform.pdf Uniform Solution for Uniform Polyhedra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151127053535/http://www.math.technion.ac.il/S/rl/docs/uniform.pdf |date=2015-11-27}} (1993)</ref><ref name=Steurer>[https://books.google.com/books?id=nVx-tu596twC&pg=PA18 Crystallography of Quasicrystals: Concepts, Methods and Structures] by Walter Steurer, Sofia Deloudi, (2009) pp. 18–20 and 51–53</ref>

==== پیکربندی وجه ====
[[Image:Rhombic dodecahedron v3434.png|thumb|150px|پیکربندی وجه دوازده لوزوجهی.]]
دوگان‌های یکنواخت که وجه متقارنند، می‌توانند با علامات اختصاری مشابهی با پیکربندی رأس که پیکربندی وجه نامیده می‌شود نشان داده شوند.<ref name=Steurer/> این نمادها با یک V برای اختلاف نشان داده می‌شوند. این نماد به شکل شمارش متوالی تعداد وجوهی که در رئوس اطراف وجه قرار دارند مشخص می‌شوند.<ref>Cundy and Rollett (1952)</ref> مثلاً پیکربندی وجه دوازده لوز وجهی V۳٫۴٫۳٫۴ یا <sup>۲</sup>(۳٫۴)V است.

=== زاویه داخلی چندوجهی ===
چندوجهی‌ها از چندضلعی‌های منتظم درست شده اند. چندوجهی‌ها مثل چندضلعی‌ها زاویه داخلی و خارجی دارند.

زاویه داخلی چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوه و اضلاع راس بدست می‌آید.

مثلا چهاروجهی چهار تا [[مثلث متساوی‌الاضلاع|مثلث متساوی الاضلاع]] دارد و اندازه زاویه داخلی وجه آن 60 درجه است و مجموع زاویه داخلی آن برابر با180درجه است.ولی چهاروجهی مجموع زاویه داخلی فضایی‌اش برابر با720 درجه است.

پس مجموع زاویه داخلی و اندازه زاویه داخلی به ترتیب بر این اساس نوشته می‌گردد.<ref name=":1">{{یادکرد وب|عنوان=ریاضیات پیشرفته/چندوجهی - ویکی‌کتاب|نشانی=https://fa.wikibooks.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA_%D9%BE%DB%8C%D8%B4%D8%B1%D9%81%D8%AA%D9%87/%DA%86%D9%86%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%87%DB%8C|وبگاه=fa.wikibooks.org|بازبینی=2022-09-03|کد زبان=fa|archive-date=۳ سپتامبر ۲۰۲۲|archive-url=https://web.archive.org/web/20220903095325/https://fa.wikibooks.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA_%D9%BE%DB%8C%D8%B4%D8%B1%D9%81%D8%AA%D9%87/%DA%86%D9%86%D8%AF%D9%88%D8%AC%D9%87%DB%8C|dead-url=yes}}</ref>

<math block="display">
180n[(n'-2)]
</math>

<math block="display">
\frac{180}{n'}n[(n'-2)]
</math>

=== حجم ===
جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده‌ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی‌السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.

حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده‌ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچک‌تر، حجم این چندوجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چندوجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چندوجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.

به‌طور کلی، می‌توان از [[قضیه دیورژانس]] استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود:<math block=display>
\frac{1}{3} \left| \sum_F (Q_F \cdot N_F) \operatorname{area}(F) \right|,
</math>
که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است، <math>Q_F</math> نقطه‌ای دلخواه روی وجه F بوده، <math>N_F</math> [[بردار واحد]] عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب [[ضرب داخلی]] است.<ref>{{citation |last=Goldman |first=Ronald N.|author-link=Ron Goldman (mathematician) |editor-last=Arvo |editor-first=James |title=Graphic Gems Package: Graphics Gems II |publisher=Academic Press |year=1991 |pages=170–171 |chapter=Chapter IV.1: Area of planar polygons and volume of polyhedra}}</ref>

=== مساحت ===
جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام مساحت هم هستند که میزان سطح رویه وجه های چندوجهی را محاسبه و اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای مساحت خود داشته باشند. به عنوان مثال،مساحت اهرام، منشورها و متوازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.اما چندوجهی ها به دلیل انواع زیادشان ممکن است مساحت پیچیده داشته باشند.(مثل مساحت چندضلعی ها)

مساحت چندوجهی های منتظم دارای مساحت رویه هستند.وجه‌های چندوجهی منتظم،چندضلعی منتظم است.چندوجهی های ثابت مثل منشور٬هرم٬متوازی‌السطوح مساحت های ثابتی دارند.هرم ها و منشورهای چندوپهلو نیز بر اساس مساحت منشور بدست می‌آید اما چون قاعده منشور٬چندضلعی منتظم می‌باشد٬براساس مجموع مساحت چندضلعی و مساحت جانبی منشور(محیط چندضلعی×ارتفاع)بدست می‌آید.

مساحت چندوجهی:<math block="display">
n[\frac{1}{4}n'a^2 cot(\frac{\pi}{n'})]
</math>.

nدر اینجا تعداد وجه و'nتعداد ضلع چندضلعی است عددπدر اینجا برحسب رادیان است<ref name=":1" />

=== نماد اشلفلی ===
{{اصلی|نماد اشلفلی}}
[[نماد اشلفلی]] نوعی نشانه گذاری برای پلیتوپهای منتظم، از جمله چندوجهی‌های منتظم است.

چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.

نماد اشلفلی [[چندضلعی منتظم]] محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.

چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.<ref name=":0">{{Cite book|title=Regular Polytopes|last=Coxeter|first=H.S.M.|publisher=Dover|year=1973|edition=3rd|location=New York}}</ref>

==== نماد اشلفلی چندوجهی‌های شبه منتظم نیمه منتظم ====
کاکستر با افزودن یک بعد عمودی به نماد اشلفلی، استفاده از نماد اشلفلی را به چندوجهی شبه منتظم گسترش داد.<ref name=":0"/> در اینجا نماد اشلفلی بعضی چندوجهی‌های نیمه منتظم و شبه منتظم دیده می‌شود:{{sfn|Sherk|McMullen|Thompson|Weiss|1995|loc=papers 22,23 and 24}}
{| class=wikitable
!شکل
!colspan=3|نمادهای اشلفلی
!تقارن
!colspan=2|[[نمودار کاکسیتر-دینکین]]
!colspan=3|مثال، {۴٬۳}
|- align=center
!منتظم
|<math>\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math>
||{p,q}
||{t<sub>0</sub>{p,q
|rowspan=7|[p,q]{{سخ}}یا{{سخ}}[(p,q,2)]
|colspan=2|{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[File:Hexahedron.png|40px]]||مکعب||{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|- align=center
!بریده شده
| <math>t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math>
||{t{p,q
||{t<sub>0,1</sub>{p,q
|colspan=2|{{چپ‌چین}}
{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
{{پایان چپ‌چین}}
|[[File:Truncated hexahedron.png|40px]]||مکعب بریده شده||{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=center
!دوبریده{{سخ}}(بریده دوگان)
| <math>t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}</math>
||{2t{p,q
||{t<sub>1,2</sub>{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node_1|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}||{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[File:Truncated octahedron.png|40px]]||هشت وجهی بریده شده||{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=center
!اصلاح شده {{یاد|به انگلیسی Rectificated}}{{سخ}}(بریده شده تا وسط یال‌ها)
| <math>\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>
||{r{p,q
||{t<sub>1</sub>{p,q
||{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes}}{{پایان چپ‌چین}}|| {{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node_1|q|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[File:Cuboctahedron.png|40px]]||مکعب هشت وجهی||{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node_1|3|node}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=center
!دو بریده کامل{{سخ}}(دوگان منتظم)
|<math>\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}</math>
||{2r{p,q
||{t<sub>2</sub>{p,q
|{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|q|node|p|node}}{{پایان چپ‌چین}}||{{چپ‌چین}}{{CDD|node|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[File:Octahedron.png|40px]]||هشت وجهی||{{چپ‌چین}}{{CDD|node|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=center
!گسترش داده شده{{سخ}}(اصلاح شده اصلاح شده)
| <math>r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>
||{rr{p,q
||{t<sub>0,2</sub>{p,q
||{{چپ‌چین}}{{CDD|node|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}|| {{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[File:Small rhombicuboctahedron.png|40px]]||لوز مکعب هشت وجهی||{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=center
!همه بریده{{سخ}}(بریده اصلاح شده)
| <math>t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>
||{tr{p,q
||{t<sub>0,1,2</sub>{p,q
||{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|split1-pq|nodes_11}}{{پایان چپ‌چین}}|| {{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[File:Great rhombicuboctahedron.png|40px]]||مکعب هشت وجهی بریده شده||{{چپ‌چین}}{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}{{پایان چپ‌چین}}
|- align=center
! اسناب شده
| <math>s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>
||{sr{p,q
||{ht<sub>0,1,2</sub>{p,q
||[p,q]<sup>+</sup>
||{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|split1-pq|nodes_hh}}{{پایان چپ‌چین}}||{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|[[File:Snub hexahedron.png|40px]]||مکعب اسناب||{{چپ‌چین}}{{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}{{پایان چپ‌چین}}
|}

=== ناوردای دن ===
[[پرونده:Triangledissection.svg|thumb|تبدیل [[مربع]] به [[مثلث]] (در فضای ۲بعدی) با استفاده از قضیه بولیای - گروین.]]
[[پرونده:Cube and prism from two bricks.svg|thumb|تبدیل دو چندوجهی با حجم و ناوردای دن برابر صفر (در فضای ۳بعدی) به هم.]]
در دو بعد، قضیه بولیای - گروین می‌گوید که می‌توان هر چندضلعی را با برش دادن آن به قطعات چندضلعی‌های کوچکتر و مرتب‌سازی مجدد آنها، به چندضلعی ای دیگر با همان مساحت تبدیل کرد. سؤالی مشابه برای چندوجهی موضوع سومین [[مسائل هیلبرت|مسئله هیلبرت]] بود. [[ماکس دن]] با نشان دادن اینکه برخلاف مورد ۲بعدی، چندوجهی‌هایی با حجم برابر وجود دارند که نمی‌توان آنها را به چندوجهی‌های کوچکتر تقسیم کرد و دوباره به هم چسباند و به هم تبدیل کرد، این مسئله را حل کرد. برای اثبات این دن مقدار دیگری را که با چندوجهی مرتبط است، به نام [[ناوردا|ناوردای]] دن (Dehn invariant)، کشف کرد، به این ترتیب که دو چندوجهی تنها زمانی قابل تجزیه و تبدیل به هم هستند که دارای حجم یکسان و ناوردای دن ثابت باشند. بعداً توسط سیدلر ثابت شد که تنها مانع تشریح این است: «هر دو چندوجهی ''[[هندسه اقلیدسی|اقلیدسی]]'' با همان حجم و ناوردای دن را می‌توان برش داد و دوباره به یکدیگر مونتاژ کرد.»<ref>{{citation |last=Sydler |first=J. -P. | author-link = Jean-Pierre Sydler |title=Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidien à trois dimensions |journal=[[Commentarii Mathematici Helvetici|Comment. Math. Helv.]]|language=fr |volume=40 |year=1965 |pages=43–80 |doi= 10.1007/bf02564364| mr = 0192407|s2cid=123317371 | url = https://eudml.org/doc/139296}}</ref> ناوردای دن یک عدد نیست، بلکه یک بردار در یک [[فضای برداری]] بی‌نهایت [[بعد|بعدی]] است.<ref>{{SpringerEOM|first=M.|last=Hazewinkel|title=Dehn invariant|id=Dehn_invariant&oldid=35803}}</ref>

یکی دیگر از مسائل هیلبرت - هجدهمین مسئله هیلبرت - مربوط به چندوجهی‌هایی است که فضا را [[مفروش‌سازی|مفروش]] می‌کنند. هر چندوجهی از این دست باید دارای ناوردای دن صفر باشد.<ref>{{citation
 | last = Debrunner | first = Hans E.
 | doi = 10.1007/BF01235384
 | issue = 6
 | journal = [[Archiv der Mathematik]]
 | language = de
 | mr = 604258
 | pages = 583–587
 | title = Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln
 | volume = 35
 | year = 1980| s2cid = 121301319
 }}.</ref>

== تقارن ==
[[File:Revolução de poliedros 03.webm|thumb|280px|بعضی چندوجهی‌ها در حال چرخش اطراف یک محور تقارنی]]
بسیاری از چندوجهی‌های مورد مطالعه بسیار متقارن هستند، یعنی با انعکاس یا چرخش فضا، شکل ظاهری آنها تغییر نمی‌کند. هر یک از این تقارن‌ها ممکن است محل یک راس، وجه یا ضلع معین را تغییر دهد، اما مجموعه تمام رئوس (به همین ترتیب وجوه، اضلاع) بدون تغییر است. مجموعه تقارن‌های چندوجهی را گروه تقارن آن می‌نامند.

گفته می‌شود که تمام اجزایی که توسط تقارن‌ها بر روی یکدیگر قرار می‌گیرند، یک مدار تقارن را تشکیل می‌دهند. به عنوان مثال، تمام وجه‌های مکعب در یک مدار قرار دارند، در حالی که تمام ضلع‌ها در مدار دیگر قرار دارند. اگر تمام اجزا یک بعد معین، مثلاً تمام وجه‌ها، در یک مدار قرار بگیرند، گفته می‌شود که شکل در آن مدار متقارن است. به عنوان مثال، یک مکعب وجه -متقارن است، در حالی که یک مکعب بریده شده دارای دو مدار تقارن وجه است.

=== گروه‌های تقارنی ===
بسیاری از تقارن‌ها یا [[گروه نقطه‌ای در سه بعد|گروه‌های نقطه‌ای در سه بعد]] با نام تقارن مرتبط با چند وجهی نامگذاری شده‌اند. این گروه‌های تقارنی شامل:
* '''T''' – تقارن چهاروجهی دست‌سان:گروه چرخشی برای چهاروجهی منتظم
* '''T<sub>d</sub>''' – تقارن چهاروجهی کامل:[[گروه تقارنی]] چهاروجهی منتظم
* '''T<sub>h</sub>''' – تقارن پیریتووجهی:تقارن یک پیریتووجهی (دوازده وجهی با وجوه پنج ضلعی غیر منتظم)
* '''O''' – تقارن هشت وجهی دست‌سان:گروه چرخشی مکعب و هشت وجهی
* '''O<sub>h</sub>''' – تقارن هشت وجهی کامل:گروه تقارنی مکعب و هشت وجهی
* '''I''' – تقارن بیست وجهی دست‌سان:گروه چرخشی بیست وجهی و دوازده وجهی
* '''I<sub>h</sub>''' – تقارن بیست وجهی کامل:گروه تقارنی بیست وجهی و دوازده وجهی
* '''C<sub>nv</sub>''' – تقارن هرم n-پهلو
* '''D<sub>nh</sub>''' – تقارن منشور n-پهلو
* '''D<sub>nv</sub>''' – تقارن پادمنشور n-پهلو
تقارن‌های [[دست‌سانی (هندسه)|دست‌سان]] تقارن انعکاسی ندارند از این رو دارای دو شکل متقارن هستند که بازتابی از یکدیگر هستند.{{sfn|Cromwell|1997|pp=285 to 314}}

== دوگانگی ==
<!--{{اصلی|چندوجهی دوگان}}-->
برای هر چندوجهی محدب، دوگانی وجود دارد که:
* وجوهش به جای رئوس چندوجهی اولیه است و برعکس.
* دارای همان تعداد ضلع است.<ref>{{citation
 | last1 = Cundy | first1 = H. Martyn | author1-link = Martyn Cundy
 | last2 = Rollett | first2 = A.P.
 | edition = 2nd
 | location = Oxford
 | mr = 0124167
 | publisher = Clarendon Press
 | title = Mathematical models
 | title-link = Mathematical Models (Cundy and Rollett)
 | year = 1961
 | contribution = 3.2 Duality
 | pages = 78–79}}.<!-- Describes only duality by polar reciprocation through the midsphere --></ref>
چندوجهی‌های دوگان با هم جفت هستند، به این معنی که دوگان دوگانشان خودشان است. بعضی چندوجهی‌ها خود دوگانند، یعنی اینکه دوگانشان متجانس با خودشان است.<ref>{{citation
 | last1 = Grünbaum
 | first1 = B.
 | author1-link = Branko Grünbaum
 | last2 = Shephard
 | first2 = G.C.
 | author2-link = Geoffrey Colin Shephard
 | doi = 10.1112/blms/1.3.257
 | journal = [[Bulletin of the London Mathematical Society]]
 | mr = 0250188
 | pages = 257–300
 | title = Convex polytopes
 | url = http://www.wias-berlin.de/people/si/course/files/convex_polytopes-survey-Gruenbaum.pdf
 | volume = 1
 | issue = 3
 | year = 1969
 | access-date = 2017-02-21
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20170222114014/http://www.wias-berlin.de/people/si/course/files/convex_polytopes-survey-Gruenbaum.pdf
 | archive-date = 2017-02-22
 | dead-url = yes
 }}. See in particular the bottom of page 260.</ref>

:{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|[[File:ДуалТетра.jpg|120px]]{{سخ}}<div align="center">چهاروجهی دوگان خودش است</div>
|[[File:Дуалност хексаедра.jpg|120px]]{{سخ}}<div align="center">هشت وجهی دوگان مکعب است</div>
|[[File:Дуалност октаедра.jpg|120px]]{{سخ}}<div align="center">مکعب دوگان هشت وجهی است</div>
|[[File:Дуалност додекаедра.jpg|120px]]{{سخ}}<div align="center">بیست وجهی دوگان دوازده وجهی است</div>
|[[File:Дуалност икосаедра.jpg|120px]]{{سخ}}<div align="center">دوازده وجهی دوگان بیست وجهی است</div>
|}
چندوجهی‌های انتزاعی هم دوگان دارند که دارای مشخصه اویلر و جهت‌گیری مشابه با چندوجهی اولیه هستند. با این حال شکل حاصل از دوگانگیشان یک چندوجهی دوگان را توصیف نمی‌کند، بلکه فقط ساختار ترکیبی آن را مشخص می‌کند. برای بعضی تعریف‌ها از چندوجهی‌های انتزاعی هندسی، چندوجهی‌های انتزاعی وجود دارند که دوگانشان یک چندوجهی هندسی نیست.

== خانواده‌های مشهور چندوجهی‌ها ==
=== منشوروار === 
{{اصلی|منشوروار}}
چندوجهی‌ای است که همه رئوس آن روی دو صفحه موازی قرار گیرند. وجوه جانبی آن می‌توانند ذوزنقه یا مثلث باشد. خانواده‌های منشوروارها عبارتند از:<ref>William F. Kern, James R Bland, ''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p.75</ref>
{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
![[هرم (هندسه)|هرم]]
![[گوه (هندسه)|گوه]]
![[متوازی‌السطوح]]
!colspan=1|[[منشور (هندسه)|منشور]]
!colspan=3|[[پاد منشور]]
![[گنبد (هندسه)|گنبد]]
![[هرم ناقص]]
|-
|[[پرونده:Pentagonal pyramid.png|80px]]
|[[پرونده:Geometric wedge.png|100px]]
|[[پرونده:Parallelepiped 2013-11-29.svg|100px]]
|[[پرونده:Pentagonal prism.png|80px]]
|[[پرونده:Square antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal_antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagrammic crossed antiprism.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal cupola.png|80px]]
|[[پرونده:Pentagonal frustum.svg|80px]]
|}
حجم منشوروار از رابطه <math>V = \frac{h(A_1 + 4A_2 + A_3)}{6}</math> حاصل می‌شود که در آن V حجم، A<sub>1</sub> و A<sub>3</sub> مساحت دو وجه موازی، A<sub>2</sub> مقطعی از تقاطع منشوروار با وسط صفحه بین دو وجه موازی و h ارتفاع است.<ref>B. E. Meserve, R. E. Pingry: ''Some Notes on the Prismoidal Formula''. The Mathematics Teacher, Vol. 45, No. 4 (April 1952), pp. 257-263</ref>

در زیر انواع منشوروارها شرح داده شده.
* [[هرم (هندسه)|هرم]]:
[[پرونده:Pyramid fa.jpg|بندانگشتی|با اتصال رئوس چند ضلعی B (قاعده) در صفحهٔ P به نقطهٔ v «هرم» تشکیل می‌شود. با برش هرم توسط صفحهٔ E موازی P «بریدهٔ هرمی» ساخته می‌شود. با قرار دادن یک هرم بر روی یک بریدهٔ هرمی، می‌توان [[ابلیسک]] ساخت.]]
«هرم» از گونه‌های شناخته‌شدهٔ چندوجهی است. هرم به‌طور کلی از یک قاعدهٔ چندضلعی B واقع در صفحهٔ P تشکیل می‌شود که رئوس آن به‌وسیلهٔ وجه‌های مثلثی‌شکل به نقطهٔ v که روی صفحهٔ P نیست متصل شده‌اند. با این حساب یال M هر هرم، سطحی چندوجهی با وجوه مثلثی خواهد بود.{{sfn | Pottmann | 2007 | p=۷۵}}
برای ساختن یک هرم می‌توان از [[اکستروژن]] مرکزی بهره برد. در اکستروژن مرکزی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی همگرا به سوی یک نقطه (v) کشیده می‌شوند و شکل نهایی هرم به شکل چندضلعی B و جای نقطهٔ v وابسته است.{{sfn | Pottmann | 2007 | p=۷۶}}

:روابط: در هرمی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V همواره رابطه <math>V={1 \over 3}Sh</math> برقرار است.<ref>{{MathWorld |urlname=Pyramid |title=Pyramid}}</ref>
* [[گوه (هندسه)|گوه]]:
[[پرونده:Geometric_wedge.png|بندانگشتی|گوه]]
گُوِه نوعی چندوجهی است که وجوه آن شامل دو [[مثلث]] و سه [[ذوزنقه]] است. گوه دارای ۵ وجه، ۹ ضلع و ۶ رأس است.
:روابط: در گوه مقابل با حجم V همواره رابطه <math>V = bh\left(\frac{a}{3}+\frac{c}{6}\right)</math> برقرار است.<ref>Harris, J. W. , & Stocker, H. "Wedge". §4.5.2 in ''Handbook of Mathematics and Computational Science''. New York: Springer, p. 102, 1998. {{isbn|978-0-387-94746-4}}</ref>
* [[متوازی‌السطوح]]:
[[پرونده:Parallelepiped-v.svg|250px|بندانگشتی|متوازی‌السطوح]]
از انواع منشور است که از شش وجه [[متوازی‌الاضلاع]] ساخته شده. دارای ۱۲ رأس و ۸ ضلع است. حجم متوازی‌السطوح مقابل با حجم V به وسیله بردارهای <math>\vec a</math> و <math>\vec b</math> و <math>\vec c</math> شکل زیر محاسبه می‌گردد:

:روابط: از آنجا که متوازی‌السطوح منشوری ناقائم با قاعده متوازی‌الاضلاع است، بنابرین حجم برابر با [[حاصل‌ضرب|حاصل ضرب]] مساحت قاعده S در ارتفاع h است.

می‌دانیم:<math>S = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin \gamma = |\vec a \times \vec b|~</math> و:<math>h = |\vec c| \cdot |\cos \theta~|~</math> که در اثر یکی شدن:<ref>Coxeter, H. S. M. ''[[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]'', 3rd ed. New York: Dover, p. &nbsp;122, 1973.</ref>
{{وسط‌چین}}
:<math>V = B\cdot h = (|\vec a| |\vec b| \sin \gamma) \cdot |\vec c||\cos \theta~| = |\vec a  \times \vec b|~|\vec c|~|\cos \theta~| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|~.</math>
{{پایان وسط‌چین}}
* [[منشور (هندسه)|منشور]]
[[پرونده:Extrusion fa.jpg|بندانگشتی|با اکستروژن (بیرون کشیدن) مرکزی، موازی، و موازی راست می‌توان هرم، منشور، و منشور راست ساخت.]]
منشور چندوجهی‌ای است که وجه‌های بالا و پایینش چندضلعی‌های همنهشت (مساوی) باشند که در صفحه‌هایی موازی هم قرار دارند. رئوس وجه‌های بالا و پایین یک منشور با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌شوند. بااین‌حساب هر یک از وجه‌های جانبی منشور یک [[متوازی‌الاضلاع]] است و یال ایجادشده یک سطح چندوجهی است.{{sfn | Pottmann | 2007 | p=۷۶}}
اگر وجه‌های بالای منشور با خط‌های عمود بر صفحهٔ شامل وجه پایینی آن به وجه پایینی وصل شده باشد، حاصل حالت خاصی از منشور موسوم به «منشور راست» است که در آن همهٔ وجه‌های جانبی [[مستطیل]] هستند.
اگر وجوه بالا و پایین یک منشور هم مستطیل باشند منشور راست خاصی به نام [[مکعب مستطیل]] تشکیل می‌شود.{{sfn | Pottmann | 2007 | p=۷۶}}

برای ساختن یک منشور می‌توان از اکستروژن موازی بهره برد. در اکستروژن موازی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی موازی کشیده می‌شوند.{{sfn | Pottmann | 2007 | p=۷۶}}منشور یکی از خانوادهای منشوروار است.

:روابط: در منشور راستی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:
{{وسط‌چین}}
:<math>V = Sh</math>
:<math>A = 2S + Ph</math>
{{پایان وسط‌چین}}
همچنین در منشوری راست با قاعده n-ضلعی منتظم با طول ضلع s و ارتفاع h نیز همواره روابط زیر برقرارند:<ref>William F. Kern, James R. Bland, ''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p.81</ref><ref>{{MathWorld |urlname=Prism |title=Prism}}</ref>
{{وسط‌چین}}
:<math>V = \frac{n}{4}hs^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)</math>
:<math>A = \frac{n}{2} s^2 \cot{\left(\frac{\pi}{n}\right)} + n s h</math>
{{پایان وسط‌چین}}
* [[پادمنشور]]:
[[پرونده:Hexagonal antiprism.png|150px|بندانگشتی|پادمنشور شش ضلعی]]
پادمنشور نوعی چندوجهی است که دارای دو قاعده همنهشت و موازی، اما پیچ خورده بوده که توسط تعدادی مثلث به هم وصل شده‌اند.
:روابط: در پاد منشوری با وجوه چندضلعی منتظم و قاعده n-ضلعی و طول ضلع a و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:<ref>{{cite book | author= Anthony Pugh | year= 1976 | title= Polyhedra: A visual approach | publisher= University of California Press Berkeley | location= California | isbn= 0-520-03056-7}} Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms</ref>
{{وسط‌چین}}
:<math>V = \frac{n \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}}~a^3,</math>
:<math>A = \frac{n}{2} \left( \cot{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}\right) a^2.</math>
{{پایان وسط‌چین}}
* [[گنبد (هندسه)|گنبد]]:
[[پرونده:Triangular cupola.png|150px|بندانگشتی|گنبد مثلثی]]
گنبد نوعی چندوجهی است که از اتصال دو چندضلعی که یکی از آنها دو برابر دیگری ضلع دارد که وسیله زنجیره ای از مثلث‌ها و مستطیل‌ها حاصل می‌شود. یک گنبد را می‌توان منشوری دید که در آن تعداد اضلاع یکی از قاعده‌ها با ادغام رأس‌های مجاور نصف شده‌است.<ref>{{cite web|url=http://www.orchidpalms.com/polyhedra/cupolas/cupola1.html|title=cupolas|website=www.orchidpalms.com|access-date=21 April 2018}}</ref>
* [[هرم ناقص]]:
[[پرونده:Pentagonal frustum.png|150px|بندانگشتی|هرم ناقص پنج‌ضلعی]]
یک هرم ناقص {{یادچپ|pyramidal frustums}} یا بریده هرمی به‌طور معمول بخشی از یک مخروط یا هرم است که بین یک یا دو صفحه موازی برش داده می‌شود و از انواع منشوروار است. هرم ناقص قائم، برش موازی هرم قائم یا مخروط قائم است. یک هرم ناقص n-پهلو متشکل از n وجه ذوزنقه و ۲تا وجه n-ضلعی است.<ref>William F. Kern, James R. Bland, ''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p. &nbsp;67</ref> پایهٔ [[ابلیسک]] نمونهٔ یک بریدهٔ هرمی است.{{sfn | Pottmann | 2007 | p=۷۵}}

:روابط: در هرم ناقصی با مساحت قاعده هرم اولیه B1 و ارتفاع هرم اولیه h1 و مساحت قاعده هرم بریده شده B2 و ارتفاع هرم بریده شده h2 و حجم V همواره رابطه <math>V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}</math> برقرار است. همچنین در مخروط ناقص راستی با شعاع دو قاعده r1 و r2 و سهم h مساحت کل از رابطه زیر به دست می‌آید:
{{وسط‌چین}}
<math>\begin{align}\text{Total surface area}&=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)s+r_1^2+r_2^2\right)\\
&=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}+r_1^2+r_2^2\right)\end{align}</math>
{{پایان وسط‌چین}}
مساحت کل A هرم ناقصی که قواعدش n-ضلعی‌های منتظم اند از رابطه زیر به دست می‌آید:<ref>{{MathWorld |urlname=PyramidalFrustum |title=Pyramidal Frustum}}</ref><ref>{{cite journal|doi=10.1080/10407782.2017.1372670 |first1=Ahmed T. |last1=Al-Sammarraie |first2=Kambiz |last2=Vafai |date=2017 |title=Heat transfer augmentation through convergence angles in a pipe |journal=Numerical Heat Transfer, Part A: Applications |volume=72 |issue=3 |page=197−214|s2cid=125509773}}</ref>
{{وسط‌چین}}
:<math>A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]</math>
{{پایان وسط‌چین}}

* [[کره (هندسه)|کره]]

[[پرونده:Sphere_wireframe_10deg_6r.svg|چپ|بندانگشتی|نگارهٔ یک کره به صورت توپولوژی]]
کره ازنوع احجام‌هندسی است.کره مجموعه‌نقاطی از فضا است که فاصله مرکز کره تا نقاط‌کره را شعاع آن‌گویند.شکل‌فیزیکی یا اسکلتی کره به‌صورت دایره‌ای است که‌درون آن یک‌بیضی قرار دارد.کره از نوع چندوجهی‌ها است ولی‌از نوع منتظم یاد‌ نشده‌است،چون وجه های کره از چندضلعی منتظم نیست و دارای‌انحنا است.کره می‌تواند چندوجهی هارا محاط کند وبر اساس همین محاط‌کردن می‌توانیم حجم چندوجهی ‌هارا محاسبه کرد.اگرچندوجهی در کره محاط شود قطر‌ [[چندوجهی منتظم]] با قطر کره برابر می‌شود.

حجم‌کره و مساحت‌کره به این‌صورت است:{{وسط‌چین}}<math>\!V = \frac{4}{3}\pi r^3</math>{{پایان وسط‌چین}}{{وسط‌چین}}<math>\!A ={4}\pi r^2</math>{{پایان وسط‌چین}}رابطه مساحت‌کره و حجم‌کره به این‌صورت است که با مشتق حجم‌کره،مساحت‌کره بدست‌می‌آید ولی با انتگرال‌گیری مساحت‌کره،حجم کره بدست‌می‌آید.<ref>مقاله اصلی:[[کره (هندسه)|کره(هندسه)]]</ref>

=== چندوجهی منتظم ===
{{اصلی|چندوجهی منتظم}}
چندوجهی که همه وجوه آن چندضلعی‌های منتظم همنهشت بوده و به‌طور یکسان دور هر وجه قرار گرفته‌اند.<ref>{{harvtxt|Cromwell|1997}}, p. &nbsp;77.</ref> در کل ۹ چندوجهی منتظم وجود دارد که شامل ۵ چندوجهی منتظم محدب (اجسام افلاطونی) و ۴ چندوجهی مقعر منتظم (چندوجهی‌های کپلر پوآنسو) هستند.<ref>{{یادکرد وب|عنوان=Regular Polyhedron|نشانی=http://mathworld.wolfram.com/RegularPolyhedron.html|ناشر=MathWorld|تاریخ بازبینی=۱۰ آوریل ۲۰۱۴}}</ref>

==== اجسام افلاطونی ====
{{اصلی|جسم افلاطونی}}
چندوجهی‌های منتظم محدب را اجسام افلاطونی گویند.

تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Encyclopedia Britannica}}</ref>
{| class="wikitable sortable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+مشخصات اجسام افلاطونی
!{{Mvar|n}}||جسم افلاطونی||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[چهاروجهی]] منتظم||[[پرونده:tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳||[[پرونده: Tetrahedron vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳||۴||۶||۴||چهاروجهی منتظم||{۳٬۳}
|-
!۲
||[[شش‌وجهی]] منتظم ([[مکعب]])||[[پرونده:hexahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU05 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Cube vertfig.png|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴||۶||۱۲||۸||هشت‌وجهی منتظم||{۴٬۳}
|-
!۳
||[[هشت‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:octahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴||[[پرونده: Octahedron vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳||۸||۱۲||۶||مکعب||{۳٬۴}
|-
!۴
||[[دوازده‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU22 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: Dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی منتظم||{۵٬۳}
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی]] منتظم||[[پرونده:icosahedron.png|100px]]||[[پرونده: light blue triangle.jpg|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵||[[پرونده: Icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی منتظم||{۳٬۵}
|}
اجسام افلاطونی ویژگی‌های زیر را دارا می‌باشند:<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=81}}</ref>
* همهٔ وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند.
* که هیچ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
* تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از رأس‌ها به هم برسند.

==== چندوجهی کپلر-پوآنسو ====
{{اصلی|چندوجهی کپلر-پوآنسو}}
هر چندوجهی منتظم مقعر را چندوجهی کپلر-پوآنسو گویند.

چهار چندوجهی کپلر-پوآنسو وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.<ref>Coxeter, ''Star polytopes and the Schläfli function f(&alpha;,&beta;,&gamma;)'' p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra</ref>
{| class="wikitable sortable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+مشخصات چندوجهی‌های کپلر-پوآنسو
!{{Mvar|n}}||چندوجهی کپلر-پوآنسو||تصویر||شکل وجه و{{سخ}}پیکربندی آن||شکل گوشه و{{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش||نماد اشلفلی
|-
!۱
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک]]||[[پرونده:small stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU35 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵٬۵٬۵٬۵٬۵||[[پرونده: small stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۵}
|-
!۲
||[[دوازده‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU34 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵٬۵٬۵٬۵٬۵||۱۲||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک||{۵٬۵/۲}
|-
!۳
||[[دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ]]||[[پرونده:great stellated dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU53 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۳٬۳٬۳٬۳||[[پرونده: great stellated dodecahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||۱۲||۳۰||۲۰||بیست‌وجهی بزرگ||{۵/۲٬۳}
|-
!۴
||[[بیست‌وجهی بزرگ]]||[[پرونده:great icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU52 facets.png|100px]]{{سخ}}V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲||[[پرونده: great icosahedron vertfig.png|100px]]{{سخ}}۳٬۳٬۳٬۳٬۳||۲۰||۳۰||۱۲||دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ||{۳٬۵/۲}
|}

=== اجسام ارشمیدسی ===
{{اصلی|اجسام ارشمیدسی}}
گروهی از چندوجهی‌های محدبی هستند که وجوه آنها چندضلعی‌های منتظم باشند، هرچند لزوماً از یک نوع نباشند، در رأس به‌طور یکسان به هم برسند و جزء اجسام افلاطونی و منشورها و پادمنشورها نباشند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.<ref name="g09">{{harvtxt|Grünbaum|2009}}.</ref>
{| class="wikitable sortable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+مشخصات اجسام ارشمیدسی
!{{Mvar|n}}||جسم ارشمیدسی||تصویر||شکل گوشه و {{سخ}}نماد آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم کاتالان)
|-
!۱
||[[چهاروجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 4a vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۳٬۶||۸||۱۸||۱۲||دوازده‌مثلث وجهی
|-
!۲
||[[مکعب بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 6 max.png|100px]]||[[پرونده: Polyhedron truncated 6 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۸٬۳٬۸||۱۴||۳۶||۲۴||بیست‌وچهار مثلث وجهی
|-
!۳
||[[مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۸٬۴||۲۶||۷۲||۴۸||چهل وهشت مثلث وجهی
|-
!۴
||[[هشت‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۴٬۶||۱۴||۳۶||۲۴||شش‌وجهی تتراکیس
|-
!۵
||[[دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 12 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۱۰٬۳٬۱۰||۳۲||۹۰||۶۰||بیست‌وجهی تریاکیس
|-
!۶
||[[بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron great rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۱۰٬۴||۶۲||۱۸۰||۱۲۰||صد و بیست‌مثلث وجهی
|-
!۷
||[[بیست‌وجهی بریده‌شده]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron truncated 20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۶٬۵٬۶||۳۲||۹۰||۶۰||شصت‌مثلث وجهی
|-
!۸
||[[مکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۴||۱۴||۲۴||۱۲||دوازده‌لوزوجهی
|-
!۹
||[[بیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۵||۳۲||۶۰||۳۰||سی لوزوجهی
|-
!۱۰
||[[لوزمکعب‌هشت‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 6-8 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۴٬۴٬۳||۲۶||۴۸||۲۴||بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۱
||[[لوزبیست‌دوازده‌وجهی]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron small rhombi 12-20 vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۴٬۵٬۴٬۳||۶۲||۱۲۰||۶۰||شصت‌چهار ضلعی وجهی
|-
!۱۲
||[[مکعب اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 6-8 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۳۸||۶۰||۲۴||بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی
|-
!۱۳
||[[دوازده‌وجهی اسناب]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left max.png|100px]]||[[پرونده:Polyhedron snub 12-20 left vertfig.svg|100px]]{{سخ}}۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۹۲||۱۵۰||۶۰||شصت‌پنج ضلعی وجهی
|}

=== اجسام کاتالان ===
{{اصلی|جسم کاتالان}}
اجسام کاتالان یا دوگان‌های ارشمیدسی اجسامی هستند که از دوگان کردن (وصل کردن وسط وجوه مجاور) اجسام ارشمیدسی به دست می‌آیند. به ازای هر جسم ارشمیدسی یک جسم کاتالان وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.<ref>[[Eugène Catalan]] ''Mémoire sur la Théorie des Polyèdres.'' J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.</ref>
{| class="wikitable sortable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+ مشخصات اجسام کاتالان
!{{Mvar|n}}||جسم کاتالان||تصویر||شکل وجه و {{سخ}}پیکربندی آن||تعداد وجه||تعداد یال||تعداد رأس||دوگانش (جسم ارشمیدسی)
|-
!۱
||[[دوازده‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis tetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU02 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۳٬۶||۱۲||۱۸||۸||چهاروجهی بریده‌شده
|-
!۲
||[[بیست‌وچهار مثلث وجهی]]||[[پرونده:Triakis octahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU09 facets.png|100px]]{{سخ}}V۸٬۳٬۸||۲۴||۳۶||۱۴||مکعب بریده‌شده
|-
!۳
||[[چهل وهشت مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU11 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۸٬۴||۴۸||۷۲||۲۶||مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۴
||[[شش‌وجهی تتراکیس]]||[[پرونده:Tetrakis cube.png|100px]]||[[پرونده:DU08 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۴٬۶||۲۴||۳۶||۱۴||هشت‌وجهی بریده‌شده
|-
!۵
||[[بیست‌وجهی تریاکیس]]||[[پرونده:Triakis icosahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU26 facets.png|100px]]{{سخ}}V۱۰٬۳٬۱۰||۶۰||۹۰||۳۲||دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۶
||[[صد و بیست‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Disdyakis triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU28 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۱۰٬۴||۱۲۰||۱۸۰||۶۲||بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده
|-
!۷
||[[شصت‌مثلث وجهی]]||[[پرونده:Pentakis dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU25 facets.png|100px]]{{سخ}}V۶٬۵٬۶||۶۰||۹۰||۳۲||بیست‌وجهی بریده‌شده
|-
!۸
||[[دوازده‌لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic dodecahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU07 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۴||۱۲||۲۴||۱۴||مکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۹
||[[سی لوزوجهی]]||[[پرونده:Rhombic triacontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU24 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۵||۳۰||۶۰||۳۲||بیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۰
||[[بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU10 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۴٬۴٬۳||۲۴||۴۸||۲۶||لوزمکعب‌هشت‌وجهی
|-
!۱۱
||[[شصت‌چهار ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Strombic hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU27 facets.png|100px]]{{سخ}}V۴٬۵٬۴٬۳||۶۰||۱۲۰||۶۲||لوزبیست‌دوازده‌وجهی
|-
!۱۲
||[[بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal icositetrahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU12 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۴٬۳٬۳٬۳||۲۴||۶۰||۳۸||مکعب اسناب
|-
!۱۳
||[[شصت‌پنج ضلعی وجهی]]||[[پرونده:Pentagonal hexecontahedron.png|100px]]||[[پرونده:DU29 facets.png|100px]]{{سخ}}V۳٬۵٬۳٬۳٬۳||۶۰||۱۵۰||۹۲||دوازده‌وجهی اسناب
|}

=== چندوجهی یکنواخت ===
[[File:Snub dodecadodecahedron.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی یکنواخت مقعر]]
چندوجهی یکنواخت (Uniform Polyhedron) دارای چندضلعی‌های منتظم به عنوان وجه است و رأس-متقارن است. از این رو می‌توان گفت که همه رئوس آن با هم همنهشتند.

چندوجهی یکنواخت ممکن است منتظم باشد (اگر هم وجه و هم ضلع متقارن باشد)، شبه منتظم باشد (اگر ضلع-متقارن باشد اما وجه-متقارن نباشد) یا نیمه منتظم باشد (اگر نه ضلع-متقارن باشد و نه وجه-متقارن). نیازی به محدب بودن نیست، بنابراین بسیاری از چندوجهی‌های یکنواخت ستاره ای هستند.

دو خانواده شامل بی‌نهایت چندوجهی یکنواخت وجود دارد، همراه با ۷۵ چند وجهی دیگر:<ref>[[Max Brückner|Brückner, M.]] ''Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.''. Leipzig, Germany: Teubner, 1900. [http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=ABN8316.0001.001]</ref><ref>{{Cite journal | last1=Coxeter | first1=Harold Scott MacDonald | author1-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | last2=Longuet-Higgins | first2=M. S. | author-link2=Michael S. Longuet-Higgins | last3=Miller | first3=J. C. P. | author-link3=J. C. P. Miller| title=Uniform polyhedra | jstor=91532 | mr=0062446 | year=1954 | journal=[[Philosophical Transactions of the Royal Society A]]| issn=0080-4614 | volume=246 |issue=916 | pages=401–450 | doi=10.1098/rsta.1954.0003 |url=http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/roypta/246/916/401.full.pdf}}</ref>
* دارای بی‌نهایت چندوجهی:
** منشورها،
** پادمنشورها.
* استثناهای محدب:
** ۵ جسم افلاطونی:چندوجهی‌های منتظم محدب،
** ۱۳ جسم ارشمیدسی:۲ شبه منتظم و ۱۱ نیمه منتظم.
* استثناهای ستاره ای (مقعر):
** ۴ چندوجهی کپلر-پوآنسو:چندوجهی‌های منتظم مقعر،
** ۵۳ چندوجهی ستاره ای یکنواخت دیگر:۵ شبه منتظم و ۴۸ نیمه منتظم.
پس تعداد چندوجهی‌های یکنواخت که فقط منشور و پادمنشور نیستند برابر ۷۵=۵+۱۳+۴+۵۳ است.

=== اجسام جانسون ===
{{اصلی|اجسام جانسون}}
[[پرونده:Triangular hebesphenorotunda.png|120px|بندانگشتی|J92 که آخرین جسم در لیست اجسام جانسون است]]
اجسامی محدبی که وجوه آنها چندوجهی‌های منتظم بوده، اما شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی و اجسام منشوری و اجسام پادمنشوری نمی‌باشند. اگرچه محدودیتی آشکار وجود ندارد که هر چند ضلعی منظم نمی‌تواند وجه یک جسم جانسون باشد، اما وجه‌های اجسام جانسونی که وجه‌هایشان یکسان نیست، همیشه ۳، ۴، ۵، ۶، ۸ یا ۱۰ ضلعی هستند. در کل ۹۲ جسم جانسون وجود دارد.<ref>{{cite journal | last=Johnson | first=Norman W. | author-link=Norman Johnson (mathematician) | title=Convex Solids with Regular Faces | url=https://archive.org/details/sim_canadian-journal-of-mathematics_1966_18_1/page/169 | journal=Canadian Journal of Mathematics | volume=18 | year=1966 | pages=169–200 | zbl=0132.14603 | issn=0008-414X | doi=10.4153/cjm-1966-021-8}} Contains the original enumeration of the 92 solids and the conjecture that there are no others.</ref>

=== چندوجهی گلدبرگ ===
{{اصلی|چندوجهی گلدبرگ}}
[[پرونده:Goldberg_polyhedron_5_3.png|150x150px|بندانگشتی|یک چندوجهی گلدبرگ]]
چندوجهی‌های محدبی هستند که از وجوه شش ضلعی و پنج ضلعی ساخته شده و توسط مایکل گلدبرگ در سال ۱۹۳۷ توصیف شدند. همه چندوجهی‌های گلدبرگ سه ویژگی زیر را دارا می‌باشند:
# هر وجه یا پنج ضلعی است یا شش ضلعی.
# دقیقاً سه وجه در هر راس به هم می‌رسند.
# دارای تقارن بیست وجهی چرخشی هستند.
این نوع چندوجهی‌ها همیشه ۱۲ وجه پنج ضلعی دارند.<ref>{{cite journal | title=A class of multi-symmetric polyhedra | first=Michael | last=Goldberg | journal= [[Tohoku Mathematical Journal]] | year=1937 |url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/43/0/43_0_104/_article}}</ref>

=== چندوجهی ژئودزیک ===
{{اصلی|چندوجهی ژئودزیک}}
[[پرونده:Geodesic polyhedron 5 2.png|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی ژئودزیک]]
چندوجهی ژئودزیک نوعی چندوجهی محدب است که وجوه آن مثلثند. از آنجا که این نوع چندوجهی‌ها دوگان چندوجهی‌های گلدبرگ هستند، بنابرین در هر راس ۶ وجه مثلثی به هم می‌رسند، به جز ۱۲ رأس که در آنها ۵ وجه به هم می‌رسند.<ref>Antony Pugh, ''Polyhedra: a visual approach'', 1976, Chapter 6. The Geodesic Polyhedra of R. Buckminster Fuller and Related Polyhedra''</ref>

=== دلتاوجهی ===
دلتاوجهی نوعی چندوجهی است که همه وجوهش مثلث متساوی الاضلاع باشند. نام آن از حرف یونانی دلتا (Δ) که شبیه مثلث است گرفته شده. بی شمار دلتاوجهی وجود دارد اما از میان آنها فقط ۸ تا محدب هستند که دارای ۴، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲، ۱۴، ۱۶ و ۲۰ وجه هستند و شامل ۳ جسم افلاطونی و ۵ جسم جانسون می‌باشند.<ref>{{citation|last1=Freudenthal|first1=H|last2=van der Waerden|first2=B. L.|authorlink1=Hans Freudenthal | authorlink2=B. L. van der Waerden|title=Over een bewering van Euclides ("On an Assertion of Euclid")|journal=[[Simon Stevin (journal)|Simon Stevin]]|volume=25|pages=115–128|year=1947|language=Dutch}} (آنها نشان دادند که تنها ٨ دلتاوجهی محدب وجود دارد)</ref> اما هیچ دلتاوجهی محدبی با ۱۸ وجه وجود ندارد.<ref>{{citation
 | last = Trigg | first = Charles W.
 | issue = 1
 | journal = Mathematics Magazine
 | jstor = 2689647
 | pages = 55–57
 | title = An Infinite Class of Deltahedra
 | volume = 51
 | year = 1978| doi = 10.1080/0025570X.1978.11976675
 }}.</ref> مشخصات دلتاوجهی‌های محدب در جدول زیر آورده شده:
{| class="wikitable sortable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+مشخصات دلتاوجهی‌های محدب
!colspan=6| دلتاوجهی‌های افلاطونی
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:tetrahedron.jpg|60px]] || چهاروجهی منتظم || ۴ || ۶ || ۴ ||
۴ × ۳<sup>۳</sup>
|-
| [[Image:octahedron.svg|60px]] || هشت وجهی منتظم || ۸ || ۱۲ || ۶ || ۶ × ۳<sup>۴</sup>
|-
| [[Image:icosahedron.jpg|60px]] ||بیست وجهی منتظم || ۲۰ || ۳۰ || ۱۲ || ۱۲ × ۳<sup>۵</sup>
|-
!colspan=6|دلتاوجهی‌های جانسون
|-
! تصویر || نام || تعداد وجوه || تعداد یال‌ها || تعداد رئوس || نماد رأس
|-
| [[Image:triangular dipyramid.png|60px]] || دوهرم مثلثی || ۶ || ۹ || ۵ || ۲ × ۳<sup>۳</sup>{{سخ}}۳ × ۳<sup>۴</sup>
|-
| [[Image:pentagonal dipyramid.png|60px]] || دوهرم مخمسی || ۱۰ || ۱۵ || ۷ || ۵ × ۳<sup>۴</sup>{{سخ}}۲ × ۳<sup>۵</sup>
|-
| [[Image:snub disphenoid.png|60px]] || دوازده دلتاوجهی || ۱۲ || ۱۸ || ۸ || ۴ × ۳<sup>۴</sup>{{سخ}}۴ × ۳<sup>۵</sup>
|-
| [[Image:triaugmented triangular prism.png|60px]] ||منشور مثلثی تتراکیس || ۱۴ || ۲۱ || ۹ || ۳ × ۳<sup>۱</sup>{{سخ}}۶ × ۳<sup>۵</sup>
|-
| [[Image:gyroelongated square dipyramid.png|60px]] || پادمنشور مربعی تتراکیس || ۱۶ || ۲۴ || ۱۰ || ۲ × ۳<sup>۴</sup>{{سخ}}۸ × ۳<sup>۵</sup>
|}

=== دوهرم‌ها ===
{{اصلی|دوهرم}}
[[پرونده:Decagonal bipyramid.png|thumb|100px|یک دوهرم ده ضلعی.]]
یک دوهرم n-ضلعی یک چندوجهی است که از پیوستن دو عدد هرم n-ضلعی به دست می‌آید.<ref name=":2">{{cite web|url=http://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/forms_zones_habit.htm|title=Crystal Form, Zones, Crystal Habit|website=Tulane.edu|access-date=16 September 2017}}</ref> یک دوهرم n-ضلعی دارای ۲n وجه مثلثی، ۳n یال و ۲ + n راس است.

فقط سه نوع دوهرم می‌توانند یال‌های برابر داشته باشند (که این بدان معناست که همه وجوه مثلث متساوی الاضلاع هستند و بنابراین آن دوهرم‌ها دلتاوجهی هستند): دوهرم‌های مثلثی، مربعی و پنج ضلعی. بی دوهرم مربعی با ضلع‌های یکسان یا هشت وجهی منتظم، در میان اجسام افلاطونی شمرده می‌شود. دوهرم‌های مثلثی و پنج ضلعی با ضلع‌های یکسان در میان اجسام جانسون (J12 و J13) قرار می‌گیرند.{{sfn|Pugh|1976}}

=== پاددوهرم‌ها ===
[[پرونده:Decagonal trapezohedron.png|thumb|100px|یک پاددوهرم ده ضلعی.]]
یک پاددوهرم n-ضلعی دوگان یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی بوده و دارای ۲n وجه همنهشت و متقارن کایت پیچ خورده و ۴n یال و ۲ + ۲n رأس هست. با تقارنی بالاتر وجوه آنها تبدیل به کایت می‌شود. می‌توان پاددوهرمی n-ضلعی را به دو عدد هرم و یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی تقسیم کرد.

برای ۲=n شکل حاصل به لحاظ هندسی برابر با چهاروجهی بوده و در صورتی که ۳=n باشد وجوه کایت چندوجهی حاصل لوزی است و در نتیجه پاددوهرم مثلثی نوعی [[لوزوجه]] است.{{sfn|Pugh|1976}}

=== چندوجهی انعطاف‌پذیر ===
{{اصلی|چندوجهی انعطاف‌پذیر}}
[[پرونده:Kaleidocycle with scalene triangles.gif|150px|بندانگشتی|یک چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف]]
چندوجهی انعطاف‌پذیر چندوجهی‌ای بدون هیچ ضلع مرزی است که می‌تواند شکل خود را به‌طور مداوم تغییر داده در حالی که اشکال تمام وجه‌های آن بدون تغییر است. در بعد ۳ چنین چندوجهی‌ای نمی‌تواند محدب باشد (این امر در ابعاد بالاتر نیز برای سایر پلیتوپ‌ها صادق است). «حدس قوی بیلوز» یا (آن طور که پس از اثباتش در سال ۲۰۱۸ نامیده می‌شود) «قضیه قوی بیلوز» بیان می‌کند ناوردای دن هر چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف ناورداست.{{sfnp|Alexandrov|2010}}{{sfnp|Gaĭfullin|Ignashchenko|2018}}

== چندوجهی‌ها در جهان واقعی ==
=== طبیعی ===
با اینکه اجسام افلاطونی، بر خلاف آرای افلاطون، واحدهای ساختاری هستی نیستند،{{یاد|ساختار هندسی عناصر هستی به گفتهٔ افلاطون:چهاروجهی:[[آتش]]، مکعب:[[خاک]]، هشت‌وجهی:[[هوا]]، دوازده‌وجهی:[[اثیر (عنصر سنتی)|اثیر]] و بیست‌وجهی:[[آب]].}} برخی [[مولکول]]‌ها و [[اتم]]‌های فشرده، به‌ویژه [[ساختار بلوری|ساختارهای بلوری]]، شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|French | 2014 | p=96}}</ref>
[[سنگ نمک]] گاهی در بلورهای مکعبی شکل می‌گیرد (شکل ۱) و بلورهای [[فلئوریت]] شبیه هشت‌وجهی‌اند (شکل ۲) [[پیریت]] هم در ساختارهای مکعبی، هشت‌وجهی، و دوازده‌وجهی یافت می‌شود (شکل ۳).<ref dir="ltr">{{harvcolnb|French | 2014 | p=96}}</ref>

در اوایل قرن بیستم، [[ارنست هکل]] در کتاب ''اشکال هنری در طبیعت''{{یادچپ|Art Forms in Nature}} برخی [[شعاعیان]] را توصیف کرد که اسکلتی شبیه اجسام افلاطونی دارند (شکل ۴).<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Haeckel | 2012 | loc=PLATE 1}}</ref> برخی ویروس‌ها نظیر [[ویروس هرپس سیمپلکس]] (عامل تبخال) شکلی شبیه بیست وجهی دارند (شکل ۵).<ref name="pmid 16814597">{{cite journal |vauthors=Mettenleiter TC, Klupp BG, Granzow H | title = Herpesvirus assembly: a tale of two membranes | journal = Curr. Opin. Microbiol. | volume = 9 | issue = 4 | pages = 423–9 | year = 2006 | pmid = 16814597 | doi = 10.1016/j.mib.2006.06.013}}</ref>

[[هیدروکربن افلاطونی]] هیدروکربنی است که ساختار آن با یکی از پنج جسم افلاطونی مطابقت دارد، در این صورت اتمهای کربن جایگزین رئوس آن می‌شوند، پیوندهای کربن - کربن جایگزین ضلع‌های آن می‌شوند و در صورت لزوم اتم‌های هیدروژن نیز وجود دارد (شکل ۶).<ref>Henning Hopf, ''Classics in Hydrocarbon Chemistry'', Wiley VCH, 2000.{{full citation needed|date=February 2016}}</ref> بیست وجهی بریده شده در ساختار
[[فولرن باکمینستر]] کاربرد دارد (شکل ۷).<ref name=k364>[[#Katz|Katz]], 364</ref>

:{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
!۱
!۲
!۳
!۴
!۵
!٦
!٧
|-
|[[پرونده:HALIT X NaCl Natriumchlorid WÜRFEL KUBUS 50P.jpg|105x105px]]
|[[پرونده:Fluorine (Mexique) 4.JPG|113x113px]]
|[[پرونده:Pyrite-288990.jpg|113x113px]]
|[[پرونده:Circogoniaicosahedra ekw.jpg|100x100px]]
|[[پرونده:HSV 2.jpg|130x130px]]
|[[پرونده:Dodecahedrane-3D-balls.png|100x100px]]
|[[پرونده:Buckminsterfullerene-perspective-3D-balls.png|100x100px]]
|}
موضوع دیگر [[کمپلکس شیمیایی|کمپلکس‌های معدنی]] است. بیشتر ساختارهای آنها از الگوی نقاط روی کره (یا مثل اینکه اتم مرکزی در وسط یک چندوجهی قرار داشته باشد که رأس‌های آن شکل محل [[لیگاند]]‌ها دیگر هستند)، جایی که هم پوشانی مداری (بین اوربیتال‌های لیگاند و فلز) و دافعه‌های لیگاند و لیگاند منجر به هندسه‌های منظم خاصی می‌شوند. بیشترین هندسه‌های مشاهده شده در زیر ذکر شده‌است، اما موارد زیادی وجود دارد که از یک هندسه منظم منحرف می‌شوند، به عنوان مثال به دلیل استفاده از لیگاند از انواع متنوع (که منجر به طول پیوند نامنظم می‌شود؛ اتم‌های هماهنگی از الگوی نقاط روی کره پیروی نمی‌کنند)، به دلیل اندازه لیگاندها یا به دلیل اثرات الکترونیکی:<ref>Wells A.F. (1984) ''Structural Inorganic Chemistry'' 5th edition Oxford Science Publications {{ISBN|0-19-855370-6}}</ref>
* [[هندسه مولکولی خطی]] برای ۲ [[عدد هم‌آرایی]]
* هندسه مولکولی مثلثی پهن برای ۳ عدد هم‌آرایی
* هندسه مولکولی مربعی پهن و هندسه مولکولی چهاروجهی (شکل ۱) برای ۴ عدد هم‌آرایی
* هندسه مولکولی دو هرمی مثلثی (شکل ۲) برای ۵ عدد هم‌آرایی
* هندسه مولکولی هشت‌وجهی (شکل ۳) برای ۶ عدد هم‌آرایی
* هندسه مولکولی دو هرمی مخمسی (شکل ۴) برای ۷ عدد هم‌آرایی
* هندسه مولکولی پادمنشوری چهارگوشه (شکل ۵) برای ۸ عدد هم‌آرایی
* هندسه مولکولی منشور مثلثی سه وجه هرمی (شکل ۶) (به شکل پنجاه و یکمین جسم جانسون) برای ۹ عدد هم‌آرایی

:{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
!۱
!۲
!۳
!۴
!۵
!۶
|-
|[[پرونده:Tetrahedral-3D-balls.png|105x105px]]
|[[پرونده:Trigonal-bipyramidal-3D-balls.png|105x105px]]
|[[پرونده:Octahedral-3D-balls.png|105x105px]]
|[[پرونده:Pentagonal-bipyramidal-3D-balls.png|105x105px]]
|[[پرونده:Square-antiprismatic-3D-balls.png|105x105px]]
|[[پرونده:AX9E0-3D-balls.png|105x105px]]
|}

=== مصنوعی === 
از هر پنج جسم افلاطونی در بازی‌های شانس به عنوان [[تاس (وسیله بازی)|تاس]] استفاده می‌شود (اشکال ۱و۲).<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Gardner | 1987 | p=17}}</ref> بیست وجهی بریده شده در ساختار توپ فوتبال کاربرد دارد (شکل ۳).<ref>{{Cite journal |title=The Topology and Combinatorics of Soccer Balls |first1=Dieter |author1-link=Dieter Kotschick |last1=Kotschick |journal=American Scientist |year=2006 |volume=94 |issue=4 |pages=350–357 |doi=10.1511/2006.60.350}}</ref> به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود؛ مثلاً در [[گنبد ژئودزیک|گنبدهای ژئودزیک]] ژئودزیک‌ها با هم تلاقی می‌کنند و عناصر مثلثی شکل را تشکیل می‌دهند مانند [[چندوجهی ژئودزیک|چندوجهی‌های ژئودزیک]] (اشکال ۴و۵و۶).<ref>[http://www.keu92.org/uploads/Search%20engineering/The%20use%20of%20metallic%20structures%20By%20Bayan.pdf التسلسل التاریخی لاستخدام الحدید فی المبانی | إتحاد مهندسی کوردستان] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304222430/http://www.keu92.org/uploads/Search%20engineering/The%20use%20of%20metallic%20structures%20By%20Bayan.pdf |date=04 مارس 2016}}</ref>
:{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
!۱
!۲
!۳
!۴
!٥
!٦
|-
|[[پرونده:Spielwürfel (als Modelle Platonischer Körper und Trapezoeder).jpg|150x150px]]
|[[پرونده:Roman dice IMG 4367.JPG|100x100px]]
|[[پرونده:Comparison of truncated icosahedron and soccer ball.png|160x160px]]
|[[پرونده:Epcot07.jpg|133x133px]]
|[[پرونده:Mtl. Biosphere in Sept. 2004.jpg|133x133px]]
|[[پرونده:Geodesic dome - mth - 1.jpg|133x133px]]
|}
اهرام در بسیاری از نقاط جهان وجود دارند. به عنوان مثال اهرام مصر بناهایی باستانی واقع در مصر هستند. منابع حداقل ۱۱۸ هرم را در مصر شناسایی می‌کنند.<ref>{{cite news |last=Slackman |first=Michael |date=17 November 2008 |title=In the Shadow of a Long Past, Patiently Awaiting the Future |work=The New York Times |url=https://www.nytimes.com/2008/11/17/world/middleeast/17cairo.html |access-date=1 May 2010}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=nNVsHwAACAAJ |author=Mark Lehner |title= The Complete Pyramids: Solving the Ancient Mysteries |page= 34|publisher=Thames & Hudson|isbn=978-0-500-28547-3|date=2008}}</ref> در دوره پادشاهی قدیم و میانه بیشتر آنها به عنوان مقبره برای فراعنه کشور و همسایگان آنها ساخته شده‌است.<ref name=shadow>{{cite news |last=Slackman |first=Michael |date=16 November 2007 |title=In the Shadow of a Long Past, Patiently Awaiting the Future |work=The New York Times|url=https://www.nytimes.com/2008/11/17/world/middleeast/17cairo.html |access-date=17 November 2008 |quote=Deep below the Egyptian desert, archaeologists have found evidence of yet another pyramid, this one constructed 4,300 years ago to store the remains of a pharaoh’s mother. That makes 138 pyramids discovered here so far, and officials say they expect to find more.}}</ref><ref name="Ritter2003">{{cite web | first=Michael | last=Ritter | date=2003 | url=http://www.uwsp.edu/geo/faculty/ritter/geog101/textbook/connections/connections_dating_pyramids.html |title=Dating the Pyramids |dead-url=yes |archive-url=https://web.archive.org/web/20080511163647/http://www.uwsp.edu/geo/faculty/ritter/geog101/textbook/connections/connections_dating_pyramids.html |archive-date=11 May 2008| access-date=15 May 2008}}</ref> اهرام ثلاثه (شکل ۱) و [[هرم جوزر]] (شکل۲) از آن دسته اند. ساکنان بین‌النهرین اولیه‌ترین ساختارهای هرمی را به نام [[زیگورات]] ساختند (شکل ۳).<ref>Crawford, page 73</ref> با آنکه نام هرم با مصر گره خورده، ملت سودان ۲۲۰ هرم باقیمانده دارد (شکل ۴).<ref>{{cite news| url=http://news.bbc.co.uk/1/hi/world/africa/3641516.stm | work=BBC News | title=Sudan's past uncovered | date=2004-09-09 | access-date=2010-04-12 | first=Lawrence | last=Pollard}}</ref>
تعدادی از فرهنگ‌های آمریکا مرکزی نیز سازه‌هایی به شکل هرم ساخته‌اند. اهرام آمریکا مرکزی معمولاً پله پله می‌شدند و معابد در بالای آن قرار داشتند که بیشتر شبیه زیگورات‌های بین‌النهرین بودند تا اهرام مصر (اشکال ۵و۶).<ref>"[http://www.latinamericanstudies.org/aztecs/sacrifice.htm The Enigma of Aztec Sacrifice]". ''Natural History'', April 1977. Vol. 86, No. 4, pages 46–51.</ref> به جز اینها اهرام در تمدن‌های دیگری نیز ساخته می‌شدند.
:{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
!۱
!۲
!۳
!۴
!٥
!٦
|-
|[[پرونده:All Gizah Pyramids.jpg|150x150px]]
|[[پرونده:Egypt.Saqqara.DjosersPyramid.01.jpg|150x150px]]
|[[پرونده:Ancient ziggurat at Ali Air Base Iraq 2005.jpg|150x150px]]
|[[پرونده:Nubian20pyramids.jpg|133x133px]]
|[[پرونده:Piramide Chichen-Itza - panoramio (2).jpg|133x133px]]
|[[پرونده:Tikal6.jpg|133x133px]]
|}

== اعمال روی چندوجهی‌ها ==
=== بریدن ===
{{اصلی|بریدن (هندسه)}}
در چندوجهی‌ها، بریدن عملیاتی که طی آن رئوس چندوجهی قطع شده و به جای هر راس وجه جدیدی ایجاد می‌شود. این اصطلاح از نامهای کپلر برای اجسام ارشمیدسی گرفته شده‌است.

نوع خاصی از برش، بریدن یکنواخت است، یک عمل برش که به یک پلیتوپ منتظم (در اینجا چندوجهی منتظم) اعمال شده و یک چندوجهی با وجوه منتظم با طول ضلع‌های مساوی ایجاد می‌کند. درجاتی از آزادی در اندازه بریدن وجود نداشته و این یک هندسه ثابت را نشان می‌دهد، دقیقاً مانند چندوجهی‌های منتظم.<ref>[[Coxeter|Coxeter, H.S.M.]] ''[[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]'', (3rd edition, 1973), Dover edition, {{isbn|0-486-61480-8}} (pp. &nbsp;145–154 Chapter 8: Truncation)</ref> شکل زیر نشان می‌دهد چگونه چند عمل بریدن یکنواخت متوالی مکعب را ابتدا به اجسام ارشمیدسی و سپس هشت وجهی تبدیل می‌کند و برعکس:
:{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|[[File:Uniform polyhedron-43-t0.png|100px]]{{سخ}}<div align="center">مکعب</div>
|[[File:Uniform polyhedron-43-t01.png|100px]]{{سخ}}<div align="center">مکعب بریده شده</div>
|[[File:Uniform polyhedron-43-t1.svg|100px]]{{سخ}}<div align="center">مکعب هشت وجهی</div>
|[[File:Uniform polyhedron-43-t12.png|100px]]{{سخ}}<div align="center">هشت وجهی بریده شده</div>
|[[File:Uniform polyhedron-43-t2.png|100px]]{{سخ}}<div align="center">هشت وجهی</div>
|}

=== ستاره ای کردن ===
ستاره ای کردن عملیاتی است که توسط کپلر در سال ۱۶۱۹ تعریف شده‌است: این کار شامل گسترش برخی از وجه‌های چندوجهی به نقطه ای است که آنها دوباره به هم می‌رسند. با این عملیات، چندوجهی‌های کپلر از دوازده وجهی منتظم ساخته شدند، دو تا از چهار چندوجهی که امروزه به عنوان چندوجهی‌های کپلر-پوآنسو شناخته می‌شوند. هشت وجهی ستاره ای یک ستاره هشت وجهی منتظم و ترکیب دو چهاروجهی منتظم است.{{sfn|Coxter|Du Val|Flather|Petrie|1938|p=3}}

در زیر برخی از ستاره‌ها آورده شده‌است: یکی هشت وجهی ستاره ای، و سه مورد دیگر دوازده وجهی‌های ستاره ای منتظم (موارد اول و سوم از چندوجهی‌های کپلرند). مورد آخر چندوجهی حاصل از یک بار ستاره ای کردن بیست وجهی است:
:{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|[[File:First stellation of octahedron.png|100px]]{{سخ}}<div align="center">هشت وجهی ستاره ای</div>
|[[File:First stellation of dodecahedron.png|100px]]{{سخ}}<div align="center">یک بار ستاره ای کردن دوازده وجهی</div>
|[[File:Second stellation of dodecahedron.png|100px]]{{سخ}}<div align="center">دو بار ستاره ای کردن دوازده وجهی</div>
|[[File:Third stellation of dodecahedron.png|100px]]{{سخ}}<div align="center">سه بار ستاره ای کردن دوازده وجهی</div>
|[[File:First stellation of icosahedron.png|100px]]{{سخ}}<div align="center">یک بار ستاره ای کردن بیست وجهی</div>
|}

=== مفروش سازی ===
برخی از چندوجهی‌ها می‌توانند به عنوان آجر برای پر کردن فضا بدون ایجاد سوراخ استفاده شوند، همان چیزی که در کندوها اتفاق می‌افتد: چنین عملیاتی را مفروش سازی می‌نامند. چندوجهی‌ها در یک قالب در امتداد وجه‌هایشان مجاورند. در میان اجسام افلاطونی، تنها چندوجهی ای که قادر به مفروش سازی است مکعب است. در میان اجسام ارشمیدسی، دوازده لوز وجهی و هشت وجهی بریده شده این توانایی را دارند. از هشت وجهی و چهاروجهی منتظم می‌توان به صورت جفت برای مفروش سازی استفاده کرد.<ref>Grünbaum (1994). "Uniform tilings of 3-space". ''Geombinatorics'' 4(2)</ref>
:{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|[[File:Partial cubic honeycomb.png|120px]]{{سخ}}<div align="center">مکعبی</div>
|[[File:Rhombic dodecahedra.jpg|120px]]{{سخ}}<div align="center">دوازده لوزوجهی</div>
|[[File:Truncated octahedra.jpg|120px]]{{سخ}}<div align="center">هشت وجهی بریده شده </div>
|[[File:TetraOctaHoneycomb-VertexConfig.svg|120px]]{{سخ}}<div align="center">چهاروجهی و هشت وجهی</div>
|}

=== گسترش ===
گسترش عملی روی چندوجهی است که در آن وجوه به صورت شعاعی از هم جدا می‌شوند و وجوه جدید در رئوس و اضلاع تشکیل می‌شوند. این عمل را می‌توان با حفظ وجه‌ها در همان موقعیت اما کاهش اندازه آنها تصور کرد. چندوجهی حاصل از گسترش یک چندوجهی، چندوجهی ای است یکنواخت، دارای وجوه آن چندوجهی، وجوه دوگانش و وجوه مربعی جدید در محل ضلع‌های چندوجهی اولیه است. جدول زیر گسترش برخی چندوجهی‌ها را نمایش می‌دهد:<ref>{{mathworld | urlname = Expansion | title = Expansion}}</ref>
:{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|[[File:P1-A3-P1.gif|120px]]{{سخ}}<div align="center">چهاروجهی {{سخ}} منتظم</div>
|[[File:P2-A5-P3.gif|120px]]{{سخ}}<div align="center">مکعب و {{سخ}} هشت وجهی منتظم</div>
|[[File:P4-A11-P5.gif|120px]]{{سخ}}<div align="center">بیست وجهی و {{سخ}} دوازده وجهی منتظم </div>
|[[File:R1-R3.gif|120px]]{{سخ}}<div align="center">مکعب هشت وجهی و {{سخ}} دوازده لوزوجهی</div>
|[[File:R2-R4.gif|120px]]{{سخ}}<div align="center">بیست دوازده وجهی و {{سخ}} سی لوزوجهی</div>
|}

=== اسناب ===
در هندسه، اسناب عملی است که روی چندوجهی اعمال می‌شود. این اصطلاح از نامهای [[یوهانس کپلر]] برای دو جسم ارشمیدسی - مکعب اسناب و دوازده وجهی اسناب - گرفته شده‌است.<ref>[[Kepler]], ''Harmonices Mundi'', 1619</ref> به‌طور کلی، اسناب‌ها دارای تقارن دستسانی (کایرالیتی) با دو شکل هستند: با جهت‌گیری عقربه‌های ساعت یا خلاف جهت عقربه‌های ساعت. با نام‌های کپلر، یک اسناب را می‌توان نوع دیگر گسترش یک چندوجهی منتظم دانست: حرکت دادن وجه‌ها از یکدیگر، چرخاندن آنها در مرکز آنها، افزودن چندضلعی‌های جدید که در راس‌های اصلی قرار دارند و اضافه کردن جفت مثلث‌هایی که بین ضلع‌های اصلی قرار دارند. کاکسیتر این مفهوم را به پلیتوپ‌های یکنواخت گسترش داد.<ref>{{Cite journal | last1=Coxeter | first1=Harold Scott MacDonald | author1-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | last2=Longuet-Higgins | first2=M. S. | last3=Miller | first3=J. C. P. | title=Uniform polyhedra | jstor=91532 | mr=0062446 | year=1954 | journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences | issn=0080-4614 | volume=246 |issue=916 | pages=401–450 | publisher=The Royal Society | doi=10.1098/rsta.1954.0003 | bibcode=1954RSPTA.246..401C | s2cid=202575183}}</ref> سه تصویر سمت راست عمل اسناب را روی برخی چندوجهی‌ها و دو تصویر سمت چپ ارتباط بین چندوجهی گسترش داده شده و اسناب برخی چندوجهی‌ها را نشان می‌دهند:
:{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|[[File:P1-P5.gif|120px]]{{سخ}}<div align="center">چهاروجهی {{سخ}} منتظم {{سخ}} حاصل بیست وجهی است</div>
|[[File:P2-A7.gif|120px]]{{سخ}}<div align="center">مکعب {{سخ}} حاصل {{سخ}} مکعب اسناب است</div>
|[[File:P4-A13.gif|120px]]{{سخ}}<div align="center">دوازده وجهی {{سخ}} منتظم {{سخ}} حاصل دوازده وجهی اسناب است</div>
|[[File:A5-A7.gif|120px]]{{سخ}}<div align="center">مکعب هشت وجهی و {{سخ}} مکعب اسناب {{سخ}} اسناب و گسترش مکعب </div>
|[[File:A11-A13.gif|120px]]{{سخ}}<div align="center">بیست دوازده وجهی و {{سخ}} دوازده وجهی اسناب {{سخ}} اسناب و گسترش دوازده وجهی</div>
|}

=== تناوب ===
{{اصلی|تناوب (هندسه)}}
در چندوجهی‌ها، تناوب که بریدگی جزئی نیز نامیده می‌شود، عملی است که در اثر آن رئوس چندوجهی یکی در میان برداشته می‌شوند. از آنجا که در اثر تناوب تعداد اضلاع نیز همانند رئوس نصف می‌شود، پس فقط می‌تواند روی چندوجهی‌هایی که تعداد اضلاع همه وجوهشان زوج است صورت گیرد. جدول زیر برخی چندوجهی‌ها (راست) و تناوبشان (چپ) را نشان می‌دهد:<ref>Coxeter, Regular polytopes, pp. &nbsp;154–156 8.6 Partial truncation, or alternation</ref>
:{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|{{تصویر چندگانه|align=center|total_width=200|image1=Polyhedron 4-4 dual blue.png|image2=Polyhedron 4b.png}}{{سخ}}<div align="center">مکعب:{{سخ}}چهاروجهی منتظم</div>
|{{تصویر چندگانه| align = center | total_width = 200| 6-8 subsolid snub left maxmatch.png| image1 = Polyhedron great rhombi 6-8 max.png| image2 = Polyhedron great rhombi 6-8 subsolid snub right maxmatch.png}}{{سخ}}<div align="center">مکعب هشت وجهی بریده شده:{{سخ}}مکعب اسناب غیر یکنواخت</div>
|{{تصویر چندگانه| align = center | total_width = 200| 6-8 subsolid snub left maxmatch.png| image1 = Polyhedron great rhombi 12-20 max.png| image2 = Polyhedron great rhombi 12-20 subsolid snub left max.png}}{{سخ}}<div align="center">بیست دوازده وجهی بریده شده:{{سخ}}دوازده وجهی اسناب غیر یکنواخت</div>
|{{تصویر چندگانه| align = center | total_width = 200| 6-8 subsolid snub left maxmatch.png| image1 = Polyhedron truncated 8 max.png| image2 = Pseudoicosahedron-1.png}}{{سخ}}<div align="center">هشت وجهی بریده شده:{{سخ}}بیست وجهی با تقارن پیریتووجهی</div>
|}

== تاریخچه ==
=== دوران باستان ===
==== پیش از تاریخ ====
چندوجهی‌ها در اشکال معماری اولیه مانند مکعب‌ها و مکعب مستطیل‌ها ظاهر شدند. همچنین اولین اهرام مربع القاعده مصر باستان نیز از عصر حجر به جا مانده‌است.

[[تمدن اتروسک|اتروسک‌ها]] حداقل در مورد بعضی چندوجهی‌های منتظم پیش از یونانیان آگه بودند که از کشف یک دوازده وجهی اتروسکی ساخته شده از سنگ صابون در مونته لوفا مشهود است. وجه‌های آن که با طرح‌های مختلف مشخص شده بود، به برخی از محققان نشان می‌دهد که ممکن است از آن به عنوان قالب بازی استفاده شده باشد.<ref>{{citation |title=An Etruscan dodecahedron|first=Amelia Carolina|last=Sparavigna|year=2012|arxiv=1205.0706}}</ref>

==== تمدن یونان ====
نخستین مطالعهٔ نظام‌مند دربارهٔ اجسام افلاطونی (چندوجهی‌های منتظم محدب) را [[مکتب فیثاغوری|فیثاغوری‌ها]]ی یونان باستان انجام دادند.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Gardner | 1987 | p=13}}</ref> اجسام ارشمیدسی نام خود را از [[ارشمیدس]] گرفته‌اند، که در یک اثر از دست رفته دربارهٔ آنها بحث کرد. [[پاپوس اسکندرانی]] به آن اشاره می‌کند، با بیان اینکه ارشمیدس ۱۳ چندوجهی را ذکر کرده‌است.<ref name="g09"/>

==== چین ====
لیو هوی یکی از بزرگترین عوامل کمک به هندسه چندوجهی بود. به عنوان مثال، او دریافت که می‌توان گوه ای با قاعده مستطیل و دو طرف شیب دار را به یک هرم و یک گوه چهاروجهی تقسیم کرد. وی همچنین دریافت که می‌توان یک گوه با قاعده ذوزنقه و دو طرف شیب دار را به دو گوه چهاروجهی جدا کرد که توسط هرم جدا شده‌است.<ref>Needham, Volume 3, 98-99.</ref>

==== تمدن اسلامی ====
[[ابوالوفا محمد بوزجانی]] در مطالعهٔ اجسام افلاطونی به کمک [[دایره بزرگ|دوایر عظیمهٔ]] کره به طرح و ترسیم اجسام افلاطونی پرداخت و به دنبال آن به تجسم و ترسیم آثاری نو دست زد. در برابر پنج جسم افلاطونی، بوزجانی از پنج ترکیب کروی نام می‌برد که از ترکیب چندضلعی‌های منتظم تشکیل شده‌اند. پژوهش‌های بوزجانی غالباً متمرکز بر هندسهٔ ترسیمی بود، که مناسب کار صنعتگران و هنرمندان بود. از جملهٔ مساعی او می‌توان به کتاب {{عبارت عربی|''فیما یحتاج الیه الصانع من الاعمال الهندسه''}}{{یاد|''در باب آنچه صنعتگران از مسائل هندسی نیاز دارند''.}} اشاره کرد که با استفاده از ویژگی‌های اجسام افلاطونی و [[جسم ارشمیدسی|ارشمیدسی]]، روشی برای ترسیم اشکال سادهٔ هندسی به‌صورت ترکیبی (یا [[موزائیک‌کاری|موزاییک‌کاری]]) برای پوشاندن کره به دست می‌دهد که در گنبدها و سقف‌های پیچیده معماری اسلامی به کار می‌رود.<ref>{{پکه| هاشمی | ۱۳۹۱ | p=۲۶–۳۱}}</ref><ref dir="ltr">{{harvcolnb|Sarhangi | 2008 | pp=511–523}}</ref>

=== رنسانس ===
هنرمندان دوران [[رنسانس]] به‌منظور بررسی ویژگی‌های پرسپکتیو در آثارشان به‌شکلی گسترده از اجسام افلاطونی بهره می‌بردند،<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Sala |2004}}</ref> که نمونهٔ آن‌ها را می‌توان در موزائیک معروف پائولو آچلو در کلیسای جامع سنت مارکو در [[ونیز]] دید. همچنین [[لئوناردو دا وینچی]] در تصویرسازی‌هایش برای کتاب در باب تناسب الهی اثر لوکا پاچیولی اجسام افلاطونی را ترسیم و ویژگی‌های آنان (مانند [[نسبت طلایی]]) را بررسی کرده‌است.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Sala |2004}}</ref> در دوران رنسانس، هنرمندان و ریاضیدانان ''اشکال خالص'' را با تقارن بالا بها می‌دادند و در حدود سال ۱۶۲۰ یوهانس کپلر کشف مجدد ۱۳ جسم ارشمیدسی را به پایان رسانده بود.<ref>Field J. , Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler, ''Archive for History of Exact Sciences'', '''50''', 1997, 227</ref>

=== چندوجهی ستاره ای منتظم ===
[[File:Marble floor mosaic Basilica of St Mark Vencice.jpg|thumb|دوازده وجهی ستاره ای کوچک در کف کلیسای سنت مارک]]
بیشتر چندوجهی کپلر – پوآنسو، به نوعی قبل از کپلر شناخته شده بودند. یک دوازده وجهی ستاره ای کوچک در تارسیای مرمر (تخته خاتم) در کف کلیسای سنت مارک، ونیز، [[ایتالیا]] وجود دارد. قدمت آن از قرن پانزدهم میلادی است و گاهی اوقات آن را به پائولو اوچلو نسبت می‌دهند.<ref>{{cite book|contribution=Regular and semiregular polyhedra|first=H. S. M.|last=Coxeter|author-link= Harold Scott MacDonald Coxeter|pages=[https://archive.org/details/shapingspaceexpl00sene/page/n48 41]–52|title=Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geomtrical Imagination|url=https://archive.org/details/shapingspaceexpl00sene|edition=2nd|editor-first=Marjorie|editor-last=Senechal|editor-link=Marjorie Senechal|publisher=Springer|year=2013}} See in particular p. 42.</ref>

دوازده وجهی‌های ستاره ای بزرگ و کوچک که گاهی اوقات آن را چندوجهی‌های کپلر نیز می‌نامند، برای اولین بار توسط یوهانس کپلر در حدود سال ۱۶۱۹ به شکل منتظم مشاهده شدند.{{sfn|Coxter|DuVal|Flather|Petrie|1999|p=11}}

در سال ۱۸۰۹، لوئیس پوآنسو با جمع کردن پنج ضلعی‌های ستاره ای در اطراف هر راس، چندوجهی‌های کپلر را دوباره کشف کرد. او همچنین چند ضلعی محدب را در اطراف رئوس ستاره جمع کرد تا دو ستاره منتظم دیگر، بیست وجهی بزرگ و دوازده وجهی بزرگ را کشف کند. برخی از افراد این دو را چند وجهی پوآنسو می‌نامند. پوآنسو نمی‌دانست که آیا همه چندوجهی‌های ستاره ای منتظم را کشف کرده‌است یا خیر.<ref>[[Louis Poinsot]], Memoire sur les polygones et polyèdres. ''J. de l'École Polytechnique'' '''9''', pp. &nbsp;16–48, 1810.</ref>

چندوجهی‌های کپلر – پوآنسو را می‌توان از اجسام افلاطونی با فرایندی به نام ستاره‌ای کردن ساخت. بیشتر ستاره‌ها منتظم نیستند. مطالعه ستاره‌های اجسام افلاطونی توسط [[هارولد اسکات مک‌دونالد کاکسیتر]] و دیگران در سال ۱۹۳۸، با مقاله‌ای که اکنون به ۵۹ بیست وجهی مشهور است، شتاب بیشتری گرفت.{{sfn|Coxter|du Val|Flather|Petrie|1938}}

=== فرمول اویلر و تولد توپولوژی ===
در سال ۱۷۵۰ [[لئونارد اویلر]] برای اولین بار ضلع‌های یک چند وجهی را در نظر گرفت، به او اجازه داد فرمول چندوجهی خود را که مربوط به تعداد رئوس، ضلع‌ها و وجوه است کشف کند. این نشانه تولد توپولوژی بود. [[هنری پوانکاره]] ایده‌های اصلیش را در اواخر قرن نوزدهم توسعه داد. این امر باعث شد بسیاری از مسائل دیرینه دربارهٔ اینکه چندوجهی چیست، حل و فصل شوند.

ماکس بروکنر خلاصه ای از کارهای مربوط به چندوجهی، از جمله بسیاری از یافته‌های خود را در کتاب «Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte»{{یاد|چندضلعی‌ها و چندوجهی‌ها: نظریه و تاریخ}} در سال ۱۹۰۰ به [[زبان آلمانی]] منتشر کرد، اما کمتر شناخته شد.

در همین حال، کشف ابعاد بالاتر منجر به ایده چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ عمومی تر شد.<ref>Richeson, David S. ; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press 2008.</ref>

== پرسش های نمونه ==

# چندوجهی را تعریف کنید.
# سه مورد از زوایای چندوجهی را نام ببرید و هرکدام را توضیح دهید
# اجزای های چندوجهی را تعریف کنید.
# تقارن چندوجهی ها چگونه است؟
# فرمول های منشوروار،هرم ناقص،متوازی السطوح،کره،پادمنشور،چندوجهی های منتظم چگونه است؟
# چند نمونه چندوجهی نام ببرید
# مشخصات و ویژگی های چندوجهی را در پنج مورد نام ببرید و توضیح دهید
# فرمول زوایای داخلی چندوجهی منتظم را بنویسید.
# نماد اشلفلی را تعریف کنید
# چه رابطه ای بین حجم و مساحت کره است.

== جستارهای وابسته ==
{{div col|colwidth=18em}}
* [[حجم]]
* [[مساحت]]
* [[وجه (هندسه)]]
* [[ضلع]]
* [[رأس (هندسه)]]
* [[چندوجهی واترمن]]
* [[سوراخ وجهی]]
* [[چندضلعی]]
* [[پلیتوپ]]
* [[گنبد ژئودزیک]]
* [[فضای یک بعدی]]
* [[فضای دوبعدی]]
* [[فضای سه‌بعدی]]
* [[فضای چهاربعدی]]
* [[فضای پنج‌بعدی]]
* [[فضای شش‌بعدی]]
* [[فضای هفت‌بعدی]]
* [[فضای هشت‌بعدی]]
{{div col end}}

== یادداشت‌ها ==
{{یادداشت|۲}}

== پانویس ==
{{پانویس|۲|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
* '''منابع انگلیسی'''
{{کوچک}}
{{چپ‌چین}}
{{آغاز منابع|2}}
<!-- انگلیسی -->
* {{cite journal|doi=10.1080/10407782.2017.1372670 |first1=Ahmed T. |last1=Al-Sammarraie |first2=Kambiz |last2=Vafai |date=2017 |title=Heat transfer augmentation through convergence angles in a pipe |journal=Numerical Heat Transfer, Part A: Applications |volume=72 |issue=3 |language = en |page=197−214|s2cid=125509773}} 
* {{citation
 | last = Alexandrov | first = Victor
 | arxiv = 0901.2989
 | doi = 10.1007/s00022-011-0061-7
 | issue = 1–2
 | journal = Journal of Geometry
 | mr = 2823098
 | title = The Dehn invariants of the Bricard octahedra
 | volume = 99
 |language = en
 | year = 2010}}.
* {{cite book | author= Anthony Pugh | year= 1976 | title= Polyhedra: A visual approach | publisher= University of California Press Berkeley |language = en | location= California | isbn= 0-520-03056-7}} Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms
* {{citation
 | last1 = Bokowski | first1 = J.
 | last2 = Guedes de Oliveira | first2 = A.
 | doi = 10.1007/s004540010027
 | issue = 2–3
 | journal = Discrete and Computational Geometry
 | mr = 1756651
 | pages = 197–208
 | title = On the generation of oriented matroids
 | volume = 24
 | year = 2000| doi-access = free
 |language = en
 }}.
* {{citation
 | last1 = Bruns | first1 = Winfried
 | last2 = Gubeladze | first2 = Joseph
 | contribution = Definition 1.1
 | contribution-url = https://books.google.com/books?id=pbgg1pFxW8YC&pg=PA5
 | doi = 10.1007/b105283
 | isbn = 978-0-387-76355-2
 | mr = 2508056
 | page = 5
 | publisher = Springer | location = Dordrecht
 | series = Springer Monographs in Mathematics
 | title = Polytopes, Rings, and ''K''-theory
 | year = 2009| citeseerx = 10.1.1.693.2630
 | language = en
 }}.
* {{citation
 | last1 = Burgiel | first1 = H.
 | last2 = Stanton | first2 = D.
 | doi = 10.1007/s004540010030
 | issue = 2–3
 | journal = Discrete and Computational Geometry
 | mr = 1758047
 | pages = 241–255
 | title = Realizations of regular abstract polyhedra of types {3,6} and {6,3}
 | volume = 24
 | year = 2000| doi-access = free
 | language = en
 }}
* {{cite book|contribution=Regular and semiregular polyhedra|first=H. S. M.|last=Coxeter|author-link= هارولد اسکات مک‌دونالد کاکسیتر|title=Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geomtrical Imagination|url=https://archive.org/details/shapingspaceexpl00sene|language = en|edition=2nd|editor-first=Marjorie|editor-last=Senechal|publisher=Springer|year=2013}} 
* {{cite book |editor-first=H. S. M. |editor-last= Coxeter |editor2-first=Patrick |editor2-last=DuVal |editor3-first=H.T. |editor3-last=Flather |editor4-first=J.F. |editor4-last=Petrie |title=''The Fifty-nine Icosahedra'' |publisher=University of Toronto studies, mathematical series 6: 1–26 |year=1938 | language = en|isbn=978-1-899618-32-3}}
** Third edition (1999) Tarquin {{ISBN|978-1-899618-32-3}} {{mr|id=676126}}
* {{cite book | last=Coxeter | first=H.S.M. | title=Regular Polytopes | publisher=Dover Publications | series=Dover books on advanced mathematics | year=1973 | isbn=978-0-486-61480-9 | url=https://books.google.com/books?id=iWvXsVInpgMC | ref=harv | access-date=2018-11-25 | language = en| archive-url=https://www.webcitation.org/74iD18fl4?url=https://books.google.com/books?id=iWvXsVInpgMC | archive-date=16 دسامبر 2018}}
* {{Cite journal | last1=Coxeter | first1=Harold Scott MacDonald | author1-link=هارولد اسکات مک‌دونالد کاکسیتر | last2=Longuet-Higgins | first2=M. S. |  last3=Miller | first3=J. C. P. | language = en| title=Uniform polyhedra | jstor=91532 | mr=0062446 | year=1954 | journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A| issn=0080-4614 | volume=246 |issue=916| doi=10.1098/rsta.1954.0003 |url=http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/roypta/246/916/401.full.pdf}}
* {{Cite book |first=Harriet |last=Crawford|title=Sumer and the Sumerians|language = en|publisher= Cambridge University Press|location=New York|year= 1993|isbn= 0-521-38850-3}}
* {{cite book | last=Cromwell | first=P.R. | title=Polyhedra | language = en| publisher=Cambridge University Press | year=1999 | isbn=978-0-521-66405-9 | url=https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC | ref=harv | access-date=2018-10-22 | archive-url=https://www.webcitation.org/74iCwK5i4?url=https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC | archive-date=16 دسامبر 2018|mr = 1458063}}
* {{cite book | last=Cundy | first=H. Martyn | language = en| title=Mathematical models| publisher=Clarendon Press | year=1961 | mr = 0124167|edition = 2nd|location = Oxford}}
* {{citation|title=Computational Geometry: Algorithms and Applications|language = en|last1=de Berg|first1=M.|last2=van Kreveld|first2=M.|last3=Overmars|first3=M.|last4=Schwarzkopf|first4=O.|edition=2nd|publisher=Springer|year=2000}}
* {{cite web|last=Eppstein|first=David|language = en|title=Twenty Proofs of Euler's Formula: V-E+F=2|url=http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/|access-date=3 June 2013}}
* {{citation
 | last1 = F. Kern | first1 = William
 | last2 = R Bland | first2 = James.
 | title = Solid Mensuration with proofs
 | year = 1938
 |language = en
}}
* {{citation
 | last = Field | first =J.
 | title = Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler
 | journal = Archive for History of Exact Sciences
 | volume = 50
 | year = 1997 
 | language = en
 }}.
* {{cite book | last=French | first=K.L. | title=The Hidden Geometry of Life: The Science and Spirituality of Nature | publisher=Watkins Media Limited | series=Gateway series | year=2014 | isbn=978-1-78028-845-1 | language = en| url=https://books.google.com/books?id=ixPLCQAAQBAJ&pg=PA96 | ref=harv | access-date=2018-11-12 | archive-url=https://www.webcitation.org/74iD3hZUt?url=https://books.google.com/books?id=ixPLCQAAQBAJ | archive-date=16 دسامبر 2018}}
* {{citation
 | last1 = Gaĭfullin | first1 = A. A.
 | last2 = Ignashchenko | first2 = L. S.
 | doi = 10.1134/S0371968518030068
 | isbn = 5-7846-0147-4
 | issue = Topologiya i Fizika
 | journal = Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova
 | mr = 3894642
 | pages = 143–160
 | title = Dehn invariant and scissors congruence of flexible polyhedra
 | volume = 302
 |language = en
 | year = 2018}}.
* {{cite book | last=Gardner | first=Martin | chapter=Chapter 1: The Five Platonic Solids| title=The 2nd Scientific American book of mathematical puzzles & diversions | url=https://archive.org/details/2ndscientificame00gard | publisher=University of Chicago Press | publication-place=Chicago | year=1987 | language = en| isbn=0-226-28253-8 | oclc=15550017 | ref=harv}}
* {{citation|last=Ghomi|first=Mohammad|date=2018-01-01|title=Dürer's Unfolding Problem for Convex Polyhedra|journal=Notices of the American Mathematical Society|language = en|volume=65|issue=1|pages=25–27|doi=10.1090/noti1609|doi-access=free}}
* {{cite journal | title=A class of multi-symmetric polyhedra | language = en| first=Michael | last=Goldberg | journal= Tohoku Mathematical Journal | year=1937 |url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/43/0/43_0_104/_article}}
* {{citation |last=Goldman |first=Ronald N.|editor-last=Arvo |editor-first=James |title=Graphic Gems Package: Graphics Gems II |publisher=Academic Press |language=en |year=1991 |pages=170–171 |chapter=Chapter IV.1: Area of planar polygons and volume of polyhedra}}
* {{citation
 | last1 = Grünbaum
 | first1 = B.
 | author1-link = برانکو گرونباوم
 | last2 = Shephard
 | first2 = G.C.
 | doi = 10.1112/blms/1.3.257
 | journal = Bulletin of the London Mathematical Society
 | mr = 0250188
 | pages = 257–300
 | title = Convex polytopes
 | url = http://www.wias-berlin.de/people/si/course/files/convex_polytopes-survey-Gruenbaum.pdf
 | volume = 1
 | issue = 3
 | year = 1969
 | access-date = 2017-02-21
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20170222114014/http://www.wias-berlin.de/people/si/course/files/convex_polytopes-survey-Gruenbaum.pdf
 | archive-date = 2017-02-22
 | dead-url = yes
 |language=en
 }} 
* {{citation
 | last = Grünbaum | first = Branko | author-link = برانکو گرونباوم
 | editor1-last = Bisztriczky | editor1-first = Tibor
 | editor2-last = Schneider | editor2-first = Peter McMullen;Rolf
 | editor3-last = Weiss | editor3-first = A.
 | contribution = Polyhedra with hollow faces
 | doi = 10.1007/978-94-011-0924-6_3
 | isbn = 978-94-010-4398-4
 | location = Dordrecht
 | mr = 1322057
 | pages = 43–70
 | publisher = Kluwer Acad. Publ.
 | title = Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational
 |language=en
 | year = 1994}}.
* {{citation
 | last = Grünbaum 
 | first = Branko
 | journal = Geombinatorics 4
 | title = Uniform tilings of 3-space
 | year = 1994
 | pages = 49 - 56
 | language=en
 }}.
* {{citation
 | last = Grünbaum | first = Branko | author-link = برانکو گرونباوم
 | contribution = Acoptic polyhedra
 | doi = 10.1090/conm/223/03137
 | mr = 1661382
 | pages = 163–199
 | publisher = American Mathematical Society | location = Providence, Rhode Island
 | series = Contemporary Mathematics
 | title = Advances in discrete and computational geometry (South Hadley, MA, 1996)
 | url = https://sites.math.washington.edu/~grunbaum/BG225.Acoptic%20polyhedra.pdf
 | volume = 223
 | year = 1999| isbn = 978-0-8218-0674-6
 | language=en
 }}
* {{citation
 | last = Grünbaum | first = Branko | author-link = برانکو گرونباوم
 | editor1-last = Aronov | editor1-first = Boris 
 | editor2-last = Basu | editor2-first = Saugata
 | editor3-last = Pach | editor3-first = János 
 | editor4-last = Sharir | editor4-first = Micha 
 | contribution = Are your polyhedra the same as my polyhedra?
 | contribution-url = http://www.math.washington.edu/~grunbaum/Your%20polyhedra-my%20polyhedra.pdf
 | doi = 10.1007/978-3-642-55566-4_21
 | mr = 2038487
 | pages = 461–488
 | publisher = Springer|location= Berlin
 | series = Algorithms and Combinatorics
 | title = Discrete and Computational Geometry: The Goodman–Pollack Festschrift
 | volume = 25
 | year = 2003| isbn = 978-3-642-62442-1 | citeseerx = 10.1.1.102.755 
 | language=en
}}.
* {{citation
 | last = Grünbaum | first = Branko | author-link = برانکو گرونباوم
 | doi = 10.1007/978-1-4613-0019-9
 | edition = 2nd
 | isbn = 978-0-387-00424-2
 | location = New York
 | mr = 1976856
 | page = 26
 | publisher = Springer-Verlag
 | ref = Grünbaum-Convex-Polytopes<!-- Don't interfere with harv links to the other Grünbaum 2003 reference -->
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | title = Convex Polytopes
 | volume = 221
 | language=en
 | year = 2003}}.
*{{citation
 | last = Grünbaum | first = Branko
 | doi = 10.4171/EM/120
 | issue = 3
 | journal = Elemente der Mathematik
 | mr = 2520469
 | pages = 89–101
 | title = An enduring error
 | volume = 64
 | year = 2009| doi-access = free
 |language=en
 }}. Reprinted in {{citation|title=The Best Writing on Mathematics 2010|editor-first=Mircea|editor-last=Pitici|publisher=Princeton University Press|year=2011|language=en|pages=18–31}}.
* {{cite book | last=Haeckel | first=E. | title=Art Forms in Nature | publisher=Dover Publications | series=Dover Pictorial Archive | year=2012 | isbn=978-0-486-15532-6 | url=https://books.google.com/books?id=E1nCAgAAQBAJ | ref=harv | access-date=2018-11-12 | archive-url=https://www.webcitation.org/74iD9CaTh?url=https://books.google.com/books?id=E1nCAgAAQBAJ | archive-date=16 December 2018 | language=en}}
* {{citation
 | last1 = Harris | first1 = J. W.
 | last2 = Stocker | first2 = H.
 | isbn = 978-0-387-94746-4
 | location = New York
 |publisher = Springer
 | title = "Wedge". §4.5.2 in ''Handbook of Mathematics and Computational Science''
 |language=en}}.
* {{SpringerEOM|first=M.|last=Hazewinkel|title=Dehn invariant|language=en|id=Dehn_invariant&oldid=35803}}
* {{cite book | last=Henle | first=M. | title=A Combinatorial Introduction to Topology | publisher=Dover | series=Dover Books on Mathematics Series | year=1994 | isbn=978-0-486-67966-2 | url=https://books.google.com/books?id=S0RJYkBxowEC&pg=PA9 | ref=harv | access-date=2018-10-22 | language=en | archive-url=https://www.webcitation.org/74iD9tMla?url=https://books.google.com/books?id=S0RJYkBxowEC | archive-date=16 دسامبر 2018}}
* {{citation
 | last = Hopf | first = Henning
 | title = Classics in Hydrocarbon Chemistry
 | publisher = Wiley VCH
 | year = 2000
 | language=en
 }}.
* {{citation
| last=Hopkins | first=Brian 
|title= Resources for Teaching Discrete Mathematics: Classroom Projects, History, modules, and articles| language=en}}
* {{cite journal | last=Johnson | first=Norman W. | author-link=نورمن جانسون (ریاضی‌دان) | title=Convex Solids with Regular Faces | journal=Canadian Journal of Mathematics | volume=18 | year=1966 | zbl=0132.14603 | issn=0008-414X | doi=10.4153/cjm-1966-021-8| language=en}}
* {{cite book|title=Nanostructured materials for solar energy conversion|editor=Sōga, Tetsuo |chapter=Fullerene Thin Films as Photovoltaic Material|author=Katz, E. A.|year=2006 |isbn=978-0-444-52844-5|publisher=Elsevier|pages= 361–443|language=en|chapter-url=https://books.google.com/books?id=GmQR1tuk5IgC&pg=PA361|ref=Katz}}
* {{cite book | last=Kotrč | first=Ronald F. | title=THE DODECAHEDRON IN PLATO'S "TIMAEUS" | publisher=J.D. Sauerländers Verlag | journal=Rheinisches Museum für Philologie | language=en | year=1981 | url=https://www.jstor.org/stable/41245051?seq=1#page_scan_tab_contents | ref=harv | access-date=2018-10-22 | archive-url=https://www.webcitation.org/74iD9cVWk?url=https://www.jstor.org/stable/41245051?seq=1#page_scan_tab_contents  | archive-date=16 دسامبر 2018}}
* {{Cite journal |title=The Topology and Combinatorics of Soccer Balls |first1=Dieter |last1=Kotschick |journal=American Scientist |year=2006 |volume=94 |issue=4 |doi=10.1511/2006.60.350| language=en}}
*{{citation
 | last = Lakatos | first = Imre | editor2-first = Elie | editor2-last = Zahar | editor1-first = John | editor1-last = Worrall 
 | doi = 10.1017/CBO9781316286425
 | isbn = 978-1-107-53405-6
 | location = Cambridge
 | mr = 3469698
 | orig-year = 1976
 | language =en
 | publisher = Cambridge University Press
 | series = Cambridge Philosophy Classics
 | title = Proofs and Refutations: The logic of mathematical discovery
 | year = 2015}}.
* {{cite book | last=Lewars | first=Errol G. | title=Modeling Marvels | publisher=Springer Netherlands | publication-place=Dordrecht | year=2008 | isbn=978-1-4020-6972-7 | doi=10.1007/978-1-4020-6973-4 | ref=harv|language=en}}
* {{cite book | last=MacLean | first=K.J.M. | title=A Geometric Analysis of the Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra | publisher=Loving Healing Press | series=Geometric explorations series | year=2007 | isbn=978-1-932690-99-6 | url=https://books.google.com/books?id=vINuAwAAQBAJ | ref=harv | access-date=2018-11-10 | archive-url=https://www.webcitation.org/74iCuWAgX?url=https://books.google.com/books?id=vINuAwAAQBAJ | language=en| archive-date=16 دسامبر 2018}}
* {{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=nNVsHwAACAAJ |author=Mark Lehner |title= The Complete Pyramids: Solving the Ancient Mysteries |publisher=Thames & Hudson|isbn=978-0-500-28547-3|date=2008|language=en}}
* {{SpringerEOM|title=Polyhedron, abstract|id=Polyhedron,_abstract&oldid=25452|first=S.V.|last=Matvee|language=en}}
* {{citation|title=Solid Geometry|first=Joseph P.|last=McCormack|publisher=D. Appleton-Century Company| language=en|year=1931}}
* {{citation
 | last1 = Meserve | first1 = B. E.
 | last2 = Pingry | first2 = R. E.
 | title = Some Notes on the Prismoidal Formula
 |publisher=The Mathematics Teacher
 | volume = 45
 | year = 1952
 | language=en}}.
* {{cite journal |vauthors=Mettenleiter TC, Klupp BG, Granzow H | title = Herpesvirus assembly: a tale of two membranes | journal = Curr. Opin. Microbiol. | volume = 9 | issue = 4 | year = 2006 | pmid = 16814597 | language=en | doi = 10.1016/j.mib.2006.06.013}}
* {{citation|url=http://www.openproblemgarden.org/op/d_urers_conjecture|title=Dürer's conjecture|work=Open Problem Garden|first=D. |last=Moskovich|language=en|date=June 4, 2012}}
* {{cite book | last=Nayudu | first=M.V. | title=Plant Viruses | publisher=Tata McGraw-Hill | year=2008 | language=en| isbn=978-0-07-065660-4 | url=https://books.google.com/books?id=w11opH8eqY8C&pg=PA50 | ref=harv | access-date=2018-11-12 | archive-url=https://www.webcitation.org/74iCpOLjD?url=https://books.google.com/books?id=w11opH8eqY8C | archive-date=16 دسامبر 2018}}
* {{citation
 | last = Needham | first = Joseph
 | title = Science and Civilization in China
 | location = Taipei
 | publisher = Caves Books Ltd.
 | year = 1986 
 |language=en
}}
* {{citation|title=Computational Geometry in C|journal=Computers in Physics|volume=9|issue=1|first=Joseph|last=O'Rourke|year=1993|bibcode=1995ComPh...9...55O|doi=10.1063/1.4823371|language=en}}
* {{cite news| url=http://news.bbc.co.uk/1/hi/world/africa/3641516.stm | work=BBC News | title=Sudan's past uncovered | date=2004-09-09 | access-date=2010-04-12 | first=Lawrence | last=Pollard}}
* {{cite book | last=Pottmann | first=Helmut | title=Architectural geometry | url=https://archive.org/details/architecturalgeo0000unse | publisher=Bentley Institute Press | publication-place=Exton, Pa | year=2007 | isbn=978-1-934493-04-5 | oclc=180177477 | language=en| ref=harv}}
* {{cite book | last=Pottmann | first=Helmut | last2=Asperl | first2=Andreas | last3=Hofer | first3=Michael | last4=Kilian | first4=Axel | last5=Bentley | first5=Daril | title=Architectural geometry | url=https://archive.org/details/architecturalgeo0000unse | publisher=Bentley Institute Press | year=2007 | isbn=1-934493-04-X | language=en | oclc=180177477 | ref=harv}}
* {{citation
 | last = Richeson | first = David S. 
 | isbn = 978-0-691-12677-7
 | location = Princeton, NJ
 | mr = 2440945
 | publisher = Princeton University Press
 | title = Euler's Gem: The polyhedron formula and the birth of topology
 | year = 2008
 |language=en}}.
* {{cite web | first=Michael | last=Ritter | date=2003 | url=http://www.uwsp.edu/geo/faculty/ritter/geog101/textbook/connections/connections_dating_pyramids.html |language=en|title=Dating the Pyramids |dead-url=yes |archive-url=https://web.archive.org/web/20080511163647/http://www.uwsp.edu/geo/faculty/ritter/geog101/textbook/connections/connections_dating_pyramids.html |archive-date=11 May 2008| access-date=15 May 2008}}
* {{Cite book |title=Art, Mathematics and Architecture for Humanistic Renaissance: the Platonic Solids|last=Sala|first=Nicoletta |year=2004|publisher=University of Italian Switzerland, Academy of Architecture, Switzerland | language=en| ref=harv | url = http://math.unipa.it/~grim/SiSala2.PDF}}
* {{cite journal | last=Sarhangi | first=Reza | title=Illustrating Abu al-Wafā' Būzjānī: Flat Images, Spherical Constructions | journal=Iranian Studies | publisher=Informa UK Limited | volume=41 | issue=4 | year=2008 | issn=0021-0862 | language=en | doi=10.1080/00210860802246184 | pages=511–523 | ref=harv}}
* {{cite book | last=Senechal | first=M. | title=Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination | publisher=Springer New York | language=en | series=EBSCOhost ebooks online | year=2013 | isbn=978-0-387-92714-5 | url=https://books.google.com/books?id=kZtCAAAAQBAJ | ref=harv | access-date=2018-11-10 | archive-url=https://www.webcitation.org/74iCm8uGF?url=https://books.google.com/books?id=kZtCAAAAQBAJ | archive-date=16 دسامبر 2018}}
* {{citation| last = Shephard | first = G. C. | issue = 3| journal = Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society| mr = 0390915| pages = 389–403| title = Convex polytopes with convex nets| language=en| volume = 78| year = 1975 |doi=10.1017/s0305004100051860| bibcode = 1975MPCPS..78..389S}}
* {{cite book |editor-first=F. Arthur |editor-last=Sherk |editor2-first=Peter |editor2-last=McMullen |editor3-first=Anthony C. |editor3-last=Thompson |editor4-first=Asia Ivic |editor4-last=Weiss |title=Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter |publisher=Wiley |year=1995 |language=en |isbn=978-0-471-01003-6 |url=https://archive.org/details/kaleidoscopessel0000coxe |url-access=registration}}
** (Paper 10) {{cite journal |first=H.S.M. |last=Coxeter |title=Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) |journal=Elemente der Mathematik |volume=44 |language=en |issue=2 |pages=25–36 |year=1989 |url=https://eudml.org/doc/141447}}
** (Paper 22) [https://books.google.com/books?id=fUm5Mwfx8rAC&pg=PA251 pp. 251–278] {{cite journal |first=H.S.M. |last=Coxeter |title=Regular and Semi Regular Polytopes I |journal=Math. Zeit. |volume=46 |language=en |year=1940 |doi=10.1007/BF01181449 |zbl=0022.38305}} MR 2,10
** (Paper 23) [https://books.google.com/books?id=fUm5Mwfx8rAC&pg=PA279 pp. 279–312] {{cite journal |author-mask=1 |first=H.S.M. |last=Coxeter |title=Regular and Semi-Regular Polytopes II |journal=Math. Zeit. |volume=188 |issue=4 |year=1985 |doi=10.1007/BF01161657 | language=en| zbl=0547.52005}}
** (Paper 24) [https://books.google.com/books?id=fUm5Mwfx8rAC&pg=PA313 pp. 313–358] {{cite journal |author-mask=1 |first=H.S.M. |last=Coxeter |title=Regular and Semi-Regular Polytopes III |journal=Math. Zeit. |volume=200 |issue=1 |year=1988 |doi=10.1007/BF01161745 | language=en| zbl=0633.52006}}
* {{cite news |last=Slackman |first=Michael |date=16 November 2007 |title=In the Shadow of a Long Past, Patiently Awaiting the Future |work=The New York Times|url=https://www.nytimes.com/2008/11/17/world/middleeast/17cairo.html |access-date=17 November 2008 |language=en |quote=Deep below the Egyptian desert, archaeologists have found evidence of yet another pyramid, this one constructed 4,300 years ago to store the remains of a pharaoh’s mother. That makes 138 pyramids discovered here so far, and officials say they expect to find more.}}
* {{cite news |last=Slackman |first=Michael |language=en |date=17 November 2008 |title=In the Shadow of a Long Past, Patiently Awaiting the Future |work=The New York Times |url=https://www.nytimes.com/2008/11/17/world/middleeast/17cairo.html |access-date=1 May 2010}}
* {{citation |title=An Etruscan dodecahedron|first=Amelia Carolina|last=Sparavigna|year=2012|arxiv=1205.0706}}
* {{citation
| last1=Steurer | first1=Walter
| last2=Deloudi | first2=Sofia
| title=Crystallography of Quasicrystals: Concepts, Methods and Structures
| year=2009 
|url=https://books.google.com/books?id=nVx-tu596twC&pg=PA18
|language=en
}}
* {{citation|first=B. M.|last=Stewart|title=Adventures Among the Toroids: A Study of Orientable Polyhedra with Regular Faces|edition=2nd|language=en|year=1980|isbn=978-0-686-11936-4|publisher=B. M. Stewart}}
* {{cite book | last=Tanna | first=S. | title=Amazing Math: Introduction to Platonic Solids | publisher=CreateSpace Independent Publishing Platform | year=2014 | language=en| isbn=978-1-5030-8485-8 | url=https://books.google.com/books?id=8-nVrQEACAAJ | ref=harv | access-date=2018-09-15 | archive-url=https://www.webcitation.org/74iCq0awA?url=https://books.google.com/books?id=8-nVrQEACAAJ | archive-date=16 دسامبر 2018}}
* {{citation
 | last = Trigg | first = Charles W.
 | issue = 1
 | journal = Mathematics Magazine
 | jstor = 2689647
 | pages = 55–57
 | title = An Infinite Class of Deltahedra
 | volume = 51
 | year = 1978| doi = 10.1080/0025570X.1978.11976675
 | language=en
 }}.
* {{citation
| last=Webber | first=William T.
| doi=10.1023/A:1004997029852
| issue=1
| journal=Geometriae Dedicata
| mr=1468859
| title=Monohedral idemvalent polyhedra that are toroids
| volume=67
| year=1997
| s2cid=117884274
| language=en
}}
* {{Mathworld|urlname=EulerCharacteristic|title=Euler Characteristic|language=en|mode=cs2}}
* {{Mathworld|urlname=Polyhedron|title=Polyhedron|language=en|mode=cs2}}
* {{Mathworld|urlname=Prism|title=Prism|language=en|mode=cs2}}
* {{Mathworld|urlname=Pyramid|title=Pyramid|language=en|mode=cs2}}
* {{Mathworld|urlname=PyramidalFrustum|title=Pyramidal Frustum|language=en|mode=cs2}}
* {{Mathworld|urlname=RegularPolyhedron|title=Regular Polyhedron|language=en|mode=cs2}}
* {{Mathworld|urlname=ShephardsConjecture|title=Shephard's Conjecture|language=en|mode=cs2}}
* {{citation
 | last = Wells | first = A.F.
 | title = Structural Inorganic Chemistry
 | edition = 5th
 |publisher = Oxford Science Publications 
 | isbn = 0-19-855370-6
 | year = 1984 
 |language=en
}}.
* {{citation|first=Magnus J.|last=Wenninger|title=Polyhedron Models|publisher=Cambridge University Press|language=en|year=1971}}
* {{citation
| last=Whiteley | first=Walter 
| issue=1
| journal=Structural Topology
| mr=621628
| title=Realizability of polyhedra
|language=en
| url=http://www.iri.upc.edu/people/ros/StructuralTopology/ST1/st1-07-a4.pdf
| year=1979}}.
* {{citation
| last=Whittaker | first=Robert 
|title=Vertex Symbol
|url=http://polyhedra.mathmos.net/entry/vertexsymbol.html
}}
* {{Citation
| last=Ziegler
| first=Günter M.
| title=Lectures on Polytopes
| publisher=Springer-Verlag
| location=Berlin, New York
| series=Graduate Texts in Mathematics
| language=en
| year=1995
| volume=152}}
<!-- بدون نام -->
* {{cite web | title=Form, Shape, and Space: Teachers' Booklet | date=2008 | url=https://www.ncetm.org.uk/public/files/271019/ULITA+Teachers+booklet.pdf | ref={{sfnref | Form, Shape, and Space: Teachers' Booklet | 2008}} | access-date=2018-10-22 | archive-url=https://www.webcitation.org/74iD6hYpU?url=https://www.ncetm.org.uk/public/files/271019/ULITA+Teachers+booklet.pdf | language=en| archive-date=16 دسامبر 2018 }}
* {{cite web | title=Geometry - mathematics | website=Encyclopedia Britannica | url=https://www.britannica.com/science/geometry | ref={{sfnref | Encyclopedia Britannica - Geometry}} | access-date=2018-09-16 | archive-url=https://www.webcitation.org/74iCmZWN4?url=https://www.britannica.com/science/geometry | language=en| archive-date=16 دسامبر 2018 }}
* {{cite web | title=Phi in Sacred Solids | website=Sacred Geometry | date=2012-11-28 | url=http://www.sacred-geometry.es/?q=en/content/phi-sacred-solids | ref={{sfnref | Sacred Geometry | 2012}} | access-date=2018-11-10 | language=en| archive-url=https://www.webcitation.org/74iCqWJtY?url=http://www.sacred-geometry.es/?q=en%2Fcontent%2Fphi-sacred-solids | archive-date=16 دسامبر 2018 }}
* {{cite web | title="Platonic solid - MATHEMATICS" | website=Encyclopedia Britannica | url=https://www.britannica.com/science/Platonic-solid | ref={{sfnref | Encyclopedia Britannica}} | access-date=2018-09-06 | archive-url=https://www.webcitation.org/74iCuu3ar?url=https://www.britannica.com/science/Platonic-solid | language=en| archive-date=16 دسامبر 2018 }}
* {{cite web | title=Formula Derivations for Polyhedra | website=Whistler Alley Mathematics | date=2016-01-21 | url=http://whistleralley.com/polyhedra/derivations.htm | ref={{sfnref | Whistler Alley Mathematics - Formula Derivations for Polyhedra | 2016}} | access-date=2018-11-24 | language=en | archive-url=https://www.webcitation.org/74iD1cJGx?url=http://whistleralley.com/polyhedra/derivations.htm | archive-date=16 دسامبر 2018 }}
* {{cite web | title=Platonic Solids | website=Whistler Alley Mathematics | date=2011-12-29 | url=http://whistleralley.com/polyhedra/platonic.htm | ref={{sfnref | Whistler Alley Mathematics | 2011}} | access-date=2018-10-22 | archive-url=https://www.webcitation.org/74iD4BC54?url=http://whistleralley.com/polyhedra/platonic.htm | language=en| archive-date=16 دسامبر 2018 }}
* {{cite web | title=The Nobel Moment: Dan Shechtman | language=en | website=NIST | date=2017-05-02 | url=https://www.nist.gov/content/nist-and-nobel/nobel-moment-dan-shechtman | ref={{sfnref | NIST | 2017}} | access-date=2018-11-12 | archive-url=https://www.webcitation.org/74iCwl4sr?url=https://www.nist.gov/content/nist-and-nobel/nobel-moment-dan-shechtman | archive-date=16 دسامبر 2018 }}
* [https://www.math.technion.ac.il/S/rl/docs/uniform.pdf Uniform Solution for Uniform Polyhedra]{{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151127053535/http://www.math.technion.ac.il/S/rl/docs/uniform.pdf | language=en| date=2015-11-27}}
* {{cite web|url=http://www.orchidpalms.com/polyhedra/cupolas/cupola1.html|title=cupolas|website=www.orchidpalms.com| language=en| access-date=21 April 2018}}
* {{Citation
 |title=The Enigma of Aztec Sacrifice
 |url=http://www.latinamericanstudies.org/aztecs/sacrifice.htm
 |journal=Natural History
 |date=April 1977
 |volume=86
 |language=en
}}
{{پایان منابع}}
{{پایان چپ‌چین}}
{{پایان کوچک}}
* '''منابع فارسی'''
{{کوچک}}
<!-- فارسی -->
* {{یادکرد ژورنال | نام خانوادگی=افراسیابی | نام=مرضیه | عنوان=نقد و بررسی افلاطون: رساله تیمائوس: تبیین ریاضیاتی افلاطون از عالم طبیعت | ژورنال=کتاب ماه فلسفه | شماره=۳۸ | سال=۱۳۸۹ | صفحه=۳–۱۰ | پیوند=https://www.noormags.ir/view/fa/articlepage/822283 | زبان=fa | تاریخ بازبینی=2018-09-16|ref=harv| پیوند بایگانی = http://www.webcitation.org/74iClV5bx | تاریخ بایگانی = ۱۶ دسامبر ۲۰۱۸}}
* {{یادکرد ژورنال | نام خانوادگی=مازوچی | نام=هادی | عنوان=این هم مجموعه ای است . . . | ژورنال=کتاب ماه علوم و فنون | شماره=۱۲۰ | سال=۱۳۸۸ | صفحه=۱۲–۲۹ |ref=harv| پیوند=https://www.noormags.ir/view/fa/articlepage/781157 | زبان=fa | تاریخ بازبینی=۲۰۱۸-۰۹-۱۶| پیوند بایگانی = http://www.webcitation.org/74iCkE7NR | تاریخ بایگانی = ۱۶ دسامبر ۲۰۱۸}}
* {{یادکرد ژورنال | نام خانوادگی=هاشمی | نام=غلامرضا | عنوان=نظری به جایگه هندسه و نقوش هندسی در آرا متفکران یونانی و مسلمان | ژورنال=کتاب ماه هنر | شماره=۱۶۵ | سال=۱۳۹۱ | صفحه=۲۶–۳۱ | پیوند=https://www.noormags.ir/view/fa/articlepage/997279 | زبان=fa | تاریخ بازبینی=2018-09-16|ref=harv| پیوند بایگانی = http://www.webcitation.org/74iCkonGx | تاریخ بایگانی = ۱۶ دسامبر ۲۰۱۸}}
{{پایان کوچک}}
* '''منابع دیگر'''
<!-- عربی -->
{{کوچک}}
* [http://www.keu92.org/uploads/Search%20engineering/The%20use%20of%20metallic%20structures%20By%20Bayan.pdf التسلسل التاریخی لاستخدام الحدید فی المبانی | إتحاد مهندسی کوردستان] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304222430/http://www.keu92.org/uploads/Search%20engineering/The%20use%20of%20metallic%20structures%20By%20Bayan.pdf |date=04 مارس 2016}}
{{چپ‌چین}}
<!-- فرانسوی -->
* {{citation |last=Sydler |first=J. -P. | title=Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidien à trois dimensions |journal=Comment. Math. Helv.|language=fr |volume=40 |year=1965 |pages=43–80 |doi= 10.1007/bf02564364| mr = 0192407|s2cid=123317371 | url = https://eudml.org/doc/139296}}
* {{citation
 | last = Catalan | first = Eugène
 | journal = J. l'École Polytechnique
 | language = fr
 | location = Paris
 | title = Mémoire sur la Théorie des Polyèdres
 | year = 1865
 }}
* {{citation
 | last = Poinsot | first = Louis
 | journal = J. l'École Polytechnique
 | language = fr
 | title = Memoire sur les polygones et polyèdres
 | volume = 9
 | year = 1810
 }}
<!-- آلمانی -->
* {{citation
 | last = Debrunner | first = Hans E.
 | doi = 10.1007/BF01235384
 | issue = 6
 | journal = Archiv der Mathematik
 | language = de
 | mr = 604258
 | title = Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln
 | volume = 35
 | year = 1980| s2cid = 121301319
 }}
* {{citation
 | last = Brückner | first = M.
 | language = de
 | title = ''Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.''
 | location = Leipzig, Germany
 | publisher = Teubner
 | url = http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=ABN8316.0001.001
 | year = 1900
 }}
* {{citation|last1=Freudenthal|first1=H|last2=van der Waerden|first2=B. L.|title=Over een bewering van Euclides ("On an Assertion of Euclid")|journal=Simon Stevin|volume=25|year=1947|language=de}}
<!-- ایتالیایی -->
* {{cite book| last=Dedò| first=Maria| year=1999|title=Forme, simmetria e topologia città=Bologna |language=it| isbn=88-08-09615-7}}
<!-- لاتین -->
* {{cite book
 | last = Kepler | first = Johannes
 | language = la
 | title = Harmonices Mundi
 | publisher = Linz
 | year = 1619
}}
{{پایان کوچک}}
{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
{{جعبه پیوند به پروژه‌های خواهر
|ویکی‌واژه=نه
|ویکی‌انبار=Category:Polyhedra
|ویکی‌داده=Q172937
|ویکی‌خبر=نه
|ویکی‌گفتاورد=نه
|ویکی‌نبشته=نه
|ویکی‌دانشگاه=نه
}}

=== نظریه عمومی ===
* {{Mathworld | urlname=Polyhedron | title=Polyhedron | mode=cs2}}
* [http://www.steelpillow.com/polyhedra/ Polyhedra Pages]
* [https://www.math.technion.ac.il/S/rl/docs/uniform.pdf Uniform Solution for Uniform Polyhedra by Dr. Zvi Har'El] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170408022656/http://www.math.technion.ac.il/S/rl/docs/uniform.pdf |date=۸ آوریل ۲۰۱۷}}
* [https://web.archive.org/web/20170224151555/http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/symmetry.htm Symmetry, Crystals and Polyhedra]

=== فهرست‌ها و اطلاعات مقدماتی ===
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] – دائرة المعارف چندوجهی‌ها
* [http://www.eg-models.de/index.html Electronic Geometry Models] – شامل چندوجهی‌های انتخابی با خواص غیرمعمول.
* [http://www.orchidpalms.com/polyhedra/index.html Polyhedron Models] – چندوجهی‌های تصویری.
* [http://www.polyedergarten.de/ Paper Models of Uniform (and other) Polyhedra] – مدل‌های کاغذی چندوجهی‌های یکنواخت (و سایر چندوجهی‌ها).

=== نرم‌افزار آزاد ===
* [https://web.archive.org/web/20170616023727/http://www.uff.br/cdme/pdp/pdp-html/pdp-en.html A Plethora of Polyhedra] – مجموعه تعاملی و آزاد چندوجهی در جاوا. ویژگی‌هایی شامل گسترده‌ها، مقاطع مسطح، دوگان، بریده‌ها و ستاره‌های بیش از ۳۰۰ چندوجهی است.
* [http://dogfeathers.com/java/hyperstar.html Hyperspace Star Polytope Slicer] – شامل گزینه‌های مختلفی برای نمایشگر ۳-بعدی است.
* [http://www.openscad.org/ openSCAD] – نرم‌افزار کراس پلت فرم آزاد برای برنامه نویسان. چندوجهی‌ها فقط یکی از مواردی است که می‌توان مدل کرد.
* [http://www.openvolumemesh.org/ OpenVolumeMesh] – یک کتابخانه ++C کراس پلت فرم منبع باز برای کار با مش‌های چند وجهی. توسعه یافته توسط گروه گرافیک رایانه ای آخن، دانشگاه RWTH آخن.

=== منابع ساختن مدل‌های فیزیکی ===
* [http://www.korthalsaltes.com/ Paper Models of Polyhedra] – گسترده‌های آزاد چندوجهی‌ها
* [http://ldlewis.com/How-to-Build-Polyhedra/ Simple instructions for building over 30 paper polyhedra] – دستورالعمل‌های ساده برای ساخت بیش از سی چندوجهی.
* [http://hbmeyer.de/flechten/indexeng.htm Polyhedra plaited with paper strips] – چندوجهی‌های ساخته شده بدون استفاده از چسب.
* [https://www.polytopia.eu/en/ Adopt a Polyhedron] – نمایش تعاملی، گسترده‌ها و داده‌های چاپگر سه بعدی برای همه انواع ترکیبی چندوجهی‌ها.

{{چندضلعی محدب |state=collapsed}}

{{هندسه}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}

[[رده:چندوجهی‌ها]]