نمایش مبدأ برای چارچوب مرجع

{{مکانیک کلاسیک}}
در فیزیک و اخترشناسی، '''چارچوب مرجع''' به مجموعه‌ای از مختصات و یک مجموعه ساعت‌ها (یا معادل آن) گفته می‌شود که برای اندازه‌گیری مکان، جهت‌گیری و سایر ویژگی‌های فیزیکی اجسام استفاده می‌شود. این مفهوم در بسیاری از زمینه‌های فیزیک، از مکانیک کلاسیک گرفته تا نسبیت [[نسبیت خاص|خاص]] و [[نسبیت عام|عام]]، اهمیت دارد.

چارچوب‌های مرجع می‌توانند [[لختی|لَخت]] (غیر شتاب‌دار) یا غیر لَخت (شتاب‌دار) باشند. در یک چارچوب مرجع لَخت، قوانین حرکت نیوتن صادق هستند و اجسام بدون هیچ نیروی خارجی با سرعت ثابت حرکت می‌کنند. در یک چارچوب مرجع غیر لَخت، نیروهای مجازی مانند نیروی گریز از مرکز و [[اثر کوریولیس|نیروی کوریولیس]] ظاهر می‌شوند که می‌توانند حرکت اجسام را تحت تأثیر قرار دهند.

انتخاب چارچوب مرجع می‌تواند بر نحوه مشاهده و توصیف پدیده‌های فیزیکی تأثیر بگذارد. برای نمونه، در نسبیت خاص، چارچوب‌های مرجع مختلف می‌توانند منجر به اندازه‌گیری‌های متفاوتی از زمان و طول شوند. این به دلیل پدیده‌های اتساع زمان و [[انقباض طول]] است که در سرعت‌های نزدیک به سرعت نور رخ می‌دهند.

در [[فیزیک]]، برای سنجیدن مکان، سمت، زمان و دیگر ویژگی‌های یک پدیده، چارچوب مرجع به شکل مجموعه‌ای از محورها استفاده می‌شود.
در بررسی حرکت هر ذره نیز باید یک چارچوب مرجع تعیین شود که این چارچوب در فیزیک به عنوان ناظر تعبیر می‌شود. در مورد هر حرکت، چارچوب ویژه‌ای متناسب با نوع حرکت باید بکار رود. این مسئله نه تنها در مورد حرکت بلکه در مورد تمام رویدادها و پدیده‌های فیزیکی مطرح است.<ref name="دانشنامه رشد">دانشنامه رشد.</ref>

برای نمونه برای اینکه بتوان در [[الکترومغناطیس]] مقدار نیروی وارد بر یک جسم باردار را محاسبه کرد، ابتدا باید یک چارچوب متناسب با دستگاه تعریف کرده، سپس پدیده را بررسی نمود. اگر این چارچوب مرجع تغییر بکند و به عنوان مثال منتقل شود این مسئله به‌وسیله قواعد تبدیل بیان می‌شود.<ref name="دانشنامه رشد"/>

== کلیات ==
در [[فیزیک]] و [[اخترشناسی]]، چارچوب مرجع یک [[دستگاه مختصات]] انتزاعی است که [[مبدأ (ریاضیات)|مبدأ]]، [[گرایش (هندسه)|گرایش]]، و [[تجانس]] آن توسط مجموعه‌ای از '''نقاط مرجع''' مشخص می‌شود - [[نقطه (هندسه)|نقظه‌ای]] که [[بردار مکان]] آن هم از نظر ریاضی (با مقادیر مختصات عددی) و هم از نظر فیزیکی (با نشانگرهای مرسوم) مشخص می‌شود.<ref name="Kovalevsky Mueller 1989 pp. 1–12">{{cite book | last1=Kovalevsky | first1=J. | last2=Mueller |author-link=Jean Kovalevsky |first2=Ivan I. |author-link2=Ivan I. Mueller |title=Reference Frames | chapter=Introduction | series=Astrophysics and Space Science Library | publisher=Springer Netherlands | publication-place=Dordrecht | year=1989 | volume=154 | issn=0067-0057 | doi=10.1007/978-94-009-0933-5_1 | pages=1–12| isbn=978-94-010-6909-0}}</ref>

برای ''n'' بُعد، {{Nowrap|''n'' + 1}} نقطه مرجع برای تعریف کامل یک چارچوب مرجع کافی است. با استفاده از [[دستگاه مختصات دکارتی]]، یک چارچوب مرجع ممکن است با یک نقطه مرجع در مبدأ و یک نقطه مرجع در فاصله یک واحد در امتداد هر یک از ''n'' مختصات [[دستگاه مختصات دکارتی]] تعریف شود.

در [[نظریه نسبیت]]، از چارچوب‌های مرجع برای تعیین رابطه بین یک [[ناظر (نسبیت فضایی)|مشاهده‌گر]] در حال حرکت و پدیده تحت مشاهده استفاده می‌شود. در این زمینه، این اصطلاح اغلب به '''چارچوب مرجع مشاهده‌ای''' (یا '''قاب مرجع مشاهده‌ای''') تبدیل می‌شود، که دلالت بر این دارد که ناظر در چارچوب در حالت سکون است، اگرچه لزوماً در [[مبدأ (ریاضیات)|مبدأ]] آن قرار ندارد. یک چارچوب مرجع نسبیتی شامل (یا دلالت بر) [[زمان مختصات]] است، که با چارچوب‌های مرجع مختلف [[بردار مکان]] با یکدیگر برابر نیست؛ بنابراین وضعیت با [[ناوردایی گالیله‌ای]] متفاوت است، که در آن همه زمان‌های مختصات ممکن اساساً معادل هستند.

== تعریف ==
نیاز به تمایز بین معانی مختلف «چارچوب مرجع» منجر به اصطلاحات مختلفی شده است. به عنوان مثال، گاهی اوقات نوع دستگاه مختصات به عنوان اصلاح‌کننده اضافه می‌شود، مانند ''چارچوب مرجع دکارتی''. گاهی بر حالت حرکت تأکید می‌شود، مانند در ''[[دستگاه مرجع چرخان]]''. گاهی اوقات بر نحوه تبدیل آن به چارچوب‌های که مرتبط تلقی می‌شوند، مانند ''[[دستگاه مرجع لخت]]'' تأکید می‌شود. گاهی اوقات چارچوب‌ها با مقیاس مشاهداتشان متمایز می‌شوند، مانند چارچوب‌های مرجع ''ماکروسکوپی'' و ''میکروسکوپی''.<ref name="macroscopic">The distinction between macroscopic and microscopic frames shows up, for example, in electromagnetism where [[Constitutive equation|constitutive relations]] of various time and length scales are used to determine the current and charge densities entering [[معادلات ماکسول]]. See, for example, {{cite book|title=Electromagnetic and Optical Pulse Propagation 1: Spectral Representations in Temporally Dispersive Media|author=Kurt Edmund Oughstun|page=165|url=[https://books.google.com/books?id=behRnNRiueAC&q=macroscopic+frame++electromagnetism&pg=PA165](https://books.google.com/books?id=behRnNRiueAC&q=macroscopic+frame++electromagnetism&pg=PA165)|isbn=0-387-34599-X|year=2006|publisher=Springer}}. These distinctions also appear in thermodynamics. See {{cite book|title=Classical Theory|author=Paul McEvoy|page=205|url=[https://books.google.com/books?id=dj0wFIxn-PoC&q=macroscopic+frame&pg=PA206](https://books.google.com/books?id=dj0wFIxn-PoC&q=macroscopic+frame&pg=PA206)|isbn=1-930832-02-8|year=2002|publisher=MicroAnalytix}}.</ref>

در این مقاله، اصطلاح ''چارچوب مرجع مشاهده‌ای'' زمانی استفاده می‌شود که تأکید بر ''حالت حرکت'' باشد تا بر انتخاب مختصات یا ویژگی مشاهدات یا دستگاه مشاهده. به این معنا، یک چارچوب مرجع مشاهده‌ای امکان مطالعه تأثیر حرکت بر کل خانواده دستگاه‌های مختصاتی را که می‌توانند به این چارچوب متصل شوند، فراهم می‌کند. از سوی دیگر، یک ''دستگاه مختصات'' ممکن است برای بسیاری از اهدافی که وضعیت حرکت دغدغه اصلی نیست، استفاده شود. به عنوان مثال، یک دستگاه مختصات ممکن است برای بهره‌برداری از تقارن یک دستگاه اتخاذ شود. در یک دیدگاه وسیع‌تر، فرمول‌بندی بسیاری از مسائل در فیزیک از ''[[مختصات تعمیم‌یافته]]''، ''[[مد نرمال]]'' یا ''[[مقدارویژه و بردارویژه]]'' استفاده می‌کند که تنها به‌طور غیرمستقیم با فضا و زمان مرتبط هستند. به نظر می‌رسد که جدا کردن جنبه‌های مختلف یک چارچوب مرجع برای بحث زیر مفید است؛ بنابراین، ما چارچوب‌های مرجع مشاهده‌ای، دستگاه‌های مختصات، و تجهیزات مشاهده‌ای را به عنوان مفاهیم مستقل، جدا می‌کنیم، همان‌طور که در زیر آمده است:
* یک چارچوب مشاهده‌ای (مانند یک [[دستگاه مرجع لخت]] یا [[دستگاه مرجع غیرلخت]]) یک مفهوم فیزیکی مربوط به حالت حرکت است.
* یک دستگاه مختصات یک مفهوم ریاضی است که به معنای انتخاب زبانی است که برای توصیف مشاهدات استفاده می‌شود.<ref name =Pontriagin>به‌طورکلی، یک دستگاه مختصات مجموعه‌ای از کمان‌ها ''x''^i = ''x''^i (''t'') در یک [[گروه لی]] پیچیده است. نگاه کنید به {{cite book |author=Lev Semenovich Pontri͡agin |title=L.S. Pontryagin: Selected Works Vol. 2: Topological Groups |page= 429 |year= 1986|url=[https://books.google.com/books?id=JU0DT_wXu2oC&q=algebra+%22coordinate+system%22&pg=PA429](https://books.google.com/books?id=JU0DT_wXu2oC&q=algebra+%22coordinate+system%22&pg=PA429)|isbn=2-88124-133-6 |publisher=Gordon and Breach|edition=3rd}}. به‌طور خلاصه‌تر، یک دستگاه مختصات در یک فضای n-بعدی بر حسب یک مجموعه پایه از بردارها {'''e'''1, '''e'''2,... '''e'''n} تعریف می‌شود. به این ترتیب، دستگاه مختصات یک ساختار ریاضی، یک زبان است که ممکن است به حرکت مرتبط باشد، اما ارتباط ضروری با حرکت ندارد.</ref> در نتیجه، یک ناظر در یک چارچوب مرجع مشاهده‌ای می‌تواند از هر دستگاه مختصاتی (دکارتی، قطبی، منحنی‌الخط، تعمیم‌یافته،...) برای توصیف مشاهدات انجام شده از آن چارچوب مرجع استفاده کند. تغییر در انتخاب این دستگاه مختصات، وضعیت حرکت ناظر را تغییر نمی‌دهد و بنابراین مستلزم تغییر در چارچوب مرجع ''مشاهده‌ای'' ناظر نیست. این دیدگاه را می‌توان در جاهای دیگر نیز یافت.<ref name=Johansson>{{cite book |title=Unification of Classical, Quantum and Relativistic Mechanics and of the Four Forces |author1=J X Zheng-Johansson |author2=Per-Ivar Johansson |page=13
|url=[https://books.google.com/books?id=I1FU37uru6QC&q=frame+coordinate+johansson&pg=PA13](https://books.google.com/books?id=I1FU37uru6QC&q=frame+coordinate+johansson&pg=PA13)|isbn=1-59454-260-0
|publisher=Nova Publishers
|year=2006}}</ref> این موضوع به این معنا نیست که برخی از دستگاه‌های مختصات ممکن است انتخاب بهتری برای برخی مشاهدات نسبت به سایرین باشند.
<nowiki>انتخاب اینکه چه چیزی را اندازه‌گیری کنیم و با چه دستگاه مشاهده‌ای، موضوعی جدا از وضعیت حرکت ناظر و انتخاب دستگاه مختصات است.
{{Efn|در اینجا نقل قولی در مورد چارچوب‌های مشاهده‌ای متحرک </nowiki><math>\mathfrak{R}</math> و دستگاه‌های مختصات [[فضای سه‌بعدی|فضای سه بعدی]] اقلیدسی مرتبط با آن [''R'', ''R′'', ''etc.''] وجود دارد.<ref name=Lyle>{{cite book |title=Handbook of Continuum Mechanics: General Concepts, Thermoelasticity |page= 9 |author1=Jean Salençon |author2=Stephen Lyle |url=[https://books.google.com/books?id=H3xIED8ctfUC&q=physical+%22frame+of+reference%22&pg=PA9](https://books.google.com/books?id=H3xIED8ctfUC&q=physical+%22frame+of+reference%22&pg=PA9)|isbn=3-540-41443-6 |year=2001 |publisher=Springer}}</ref>
{{گفتاورد تزیینی|ما ابتدا مفهوم ''چارچوب مرجع'' را معرفی می‌کنیم که خود با ایده ''ناظر'' مرتبط است: چارچوب مرجع، به تعبیری، «فضای اقلیدسی حمل شده توسط ناظر» است. اجازه دهید یک تعریف ریاضی‌تر ارائه دهیم:… چارچوب مرجع… مجموعه‌ای از تمام نقاط در فضای اقلیدسی با حرکت جسم صلب ناظر است. گفته می‌شود که چارچوب، مشخص شده با <math>\mathfrak{R}</math>، با ناظر حرکت می‌کند. … موقعیت‌های مکانی ذرات نسبت به یک چارچوب <math>\mathfrak{R}</math> با ایجاد یک ''دستگاه مختصات'' ''R'' با مبدأ ''O'' برچسب‌گذاری می‌شوند. مجموعه محورهای متناظر که حرکت جسم صلب چارچوب <math>\mathfrak{R}</math> را به اشتراک می‌گذارند، می‌توانند تحقق فیزیکی <math>\mathfrak{R}</math> را در نظر بگیرند. در یک چارچوب <math>\mathfrak{R}</math>، مختصات از ''R'' به ''R′'' با انجام، در هر لحظه از زمان، همان تبدیل مختصات روی اجزای ''ذاتی'' (بردارها و تانسورها) معرفی شده برای نشان دادن کمیت‌های فیزیکی ''در این چارچوب '' تغییر می‌کند.| Jean Salençon, Stephen Lyle ''Handbook of Continuum Mechanics: General Concepts, Thermoelasticity'' p. 9}}
و این در مورد سودمندی جداسازی مفاهیم <math>\mathfrak{R}</math> و [''R'', ''R′'', ''etc.'']:<ref name= Lakhtakia>{{cite book |title=Essays on the Formal Aspects of Electromagnetic Theory |author=Patrick Cornille (Akhlesh Lakhtakia, editor) |page=149 |url=[https://books.google.com/books?id=qsOBhKVM1qYC&q=coordinate+system+%22reference+frame%22&pg=PA149](https://books.google.com/books?id=qsOBhKVM1qYC&q=coordinate+system+%22reference+frame%22&pg=PA149)|isbn=981-02-0854-5 |year=1993 |publisher=World Scientific}}</ref>
{{گفتاورد تزیینی|همان‌طور که توسط بریلوین اشاره شد، باید بین مجموعه‌های ریاضی مختصات و چارچوب‌های فیزیکی مرجع تمایز قائل شد. نادیده گرفتن چنین تمایزی منبع سردرگمی زیادی است… توابع وابسته مانند سرعت برای مثال، با توجه به یک چارچوب مرجع فیزیکی اندازه‌گیری می‌شوند، اما می‌توان هر دستگاه مختصات ریاضی را که در آن معادلات مشخص شده‌اند، انتخاب کرد.|L. Brillouin in ''Relativity Reexamined'' (as quoted by Patrick Cornille in '' Essays on the Formal Aspects of Electromagnetic Theory'' p. 149)}}
و این، همچنین در مورد تمایز بین <math>\mathfrak{R}</math> و [''R'', ''R′'', ''etc.'']:<ref name= Nerlich>{{cite book |title=What Spacetime Explains: Metaphysical essays on space and time |author-last=Nerlich |author-first=Graham |author-link=Graham Nerlich |page=64 |url=[https://books.google.com/books?id=fKK7rKOpc7AC&q=%22idea+of+a+reference+frame%22&pg=PA64](https://books.google.com/books?id=fKK7rKOpc7AC&q=%22idea+of+a+reference+frame%22&pg=PA64)|isbn=0-521-45261-9 |year=1994 |publisher=Cambridge University Press}}</ref>
{{گفتاورد تزیینی|ایده یک چارچوب مرجع واقعاً کاملاً متفاوت از یک دستگاه مختصات است. چارچوب‌ها زمانی متفاوت هستند که ''فضاهای'' متفاوت (مجموعه نقاط ''ایستا'') یا زمان‌ها (مجموعه رویدادهای همزمان) را تعریف می‌کنند؛ بنابراین ایده‌های یک فضا، یک زمان، استراحت و همزمانی، با چارچوب به‌طور جدایی‌ناپذیری با هم می‌روند. با این حال، یک تغییر صرف مبدأ، یا یک چرخش کاملاً فضایی مختصات فضا منجر به یک دستگاه مختصات جدید می‌شود؛ بنابراین چارچوب‌ها در بهترین حالت با ''رده‌های'' دستگاه‌های مختصات مطابقت دارند.|Graham Nerlich: ''What Spacetime Explains'', p. 64}}
و از J. D. Norton:<ref name="Norton">John D. Norton (1993). [http://www.pitt.edu/~jdnorton/papers/decades.pdf](http://www.pitt.edu/~jdnorton/papers/decades.pdf) ''General covariance and the foundations of general relativity: eight decades of dispute''], ''Rep. Prog. Phys.'', '''56''', pp. 835-7.</ref>

{{گفتاورد تزیینی|در تحولات سنتی نسبیت خاص و عام، مرسوم بوده است که بین دو ایده کاملاً مجزا تمایز قائل نشویم. اولی مفهوم دستگاه مختصات است که به سادگی به عنوان انتساب هموار و معکوس چهار عدد به رویدادها در همسایگی‌های فضا-زمان درک می‌شود. دومی، چارچوب مرجع، به یک دستگاه ایده‌آل اشاره دارد که برای اختصاص چنین اعدادی استفاده می‌شود […] برای جلوگیری از محدودیت‌های غیرضروری، می‌توانیم این ترتیب را از مفاهیم متریک جدا کنیم. […] از اهمیت ویژه‌ای برای اهداف ما این است که هر چارچوب مرجع در هر رویداد فضازمان دارای وضعیت حرکتی مشخصی است. […] در چارچوب نسبیت خاص و تا زمانی که خود را به چارچوب‌های مرجع در حرکت لَخت محدود کنیم، اهمیت چندانی به تفاوت بین یک چارچوب مرجع لَخت و دستگاه مختصات لَختی که القا می‌کند، بستگی ندارد. این شرایط راحت بلافاصله پس از آنکه شروع به در نظر گرفتن چارچوب‌های مرجع در حرکت غیریکنواخت حتی در نسبیت خاص کردیم، متوقف می‌شود. … اخیراً، برای مذاکره در مورد ابهامات آشکار در برخورد انیشتین، مفهوم چارچوب مرجع به عنوان ساختاری متمایز از یک دستگاه مختصات دوباره ظاهر شده است.|John D. Norton: ''General Covariance and the Foundations of General Relativity: eight decades of dispute'', ''Rep. Prog. Phys.'', '''56''', pp. 835-7.}}

== دستگاه‌های مختصات ==
{{اصلی|دستگاه مختصات}}
[[پرونده:Reference frame and observer.svg|بندانگشتی|250px|چپ| یک ناظر O، واقع در مبدأ یک مجموعه مختصات محلی - یک چارچوب مرجع '''F'''. ناظر در این چارچوب از مختصات (''x, y, z, t'') برای توصیف یک رویداد فضازمان، که به صورت ستاره نشان داده شده است، استفاده می‌کند.]]
اگرچه اصطلاح «دستگاه مختصات» اغلب (به ویژه توسط فیزیکدانان) به معنای غیر فنی استفاده می‌شود، اما اصطلاح «دستگاه مختصات» در ریاضیات معنای دقیقی دارد و گاهی اوقات منظور فیزیکدان نیز همین است.

یک دستگاه مختصات در ریاضیات وجهی از [[هندسه]] یا [[جبر]] است،<ref name=Barker>{{cite book |title=Continuous symmetry: from Euclid to Klein |author1=William Barker |author2=Roger Howe |page=18 ff |url=[https://books.google.com/books?id=NIxExnr2EjYC&q=geometry++axiom+%22coordinate+system%22&pg=PA17](https://books.google.com/books?id=NIxExnr2EjYC&q=geometry++axiom+%22coordinate+system%22&pg=PA17)
|isbn=978-0-8218-3900-3 |year=2008 |publisher=American Mathematical Society }}</ref><ref name=Ramsay>{{cite book |title=Introduction to Hyperbolic Geometry |author1=Arlan Ramsay |author2=Robert D. Richtmyer |page=[https://archive.org/details/introductiontohy0000rams/page/11](https://archive.org/details/introductiontohy0000rams/page/11) 11] |url=[https://archive.org/details/introductiontohy0000rams](https://archive.org/details/introductiontohy0000rams)
|url-access=registration |quote=geometry axiom coordinate system. |isbn=0-387-94339-0 |publisher=Springer |year=1995}}</ref> به ویژه، ویژگی [[منیفلد (هندسه)|منیفلدها]] (برای مثال، در فیزیک، [[Configuration space (physics)|فضاهای پیکربندی]] یا [[فضای فاز]]ها).<ref name=Hawking>According to Hawking and Ellis: "A manifold is a space locally similar to Euclidean space in that it can be covered by coordinate patches. This structure allows differentiation to be defined, but does not distinguish between different coordinate systems. Thus, the only concepts defined by the manifold structure are those that are independent of the choice of a coordinate system." {{cite book |title=The Large Scale Structure of Space-Time |author1=Stephen W. Hawking |author2=George Francis Rayner Ellis |isbn=0-521-09906-4 |year=1973 |publisher=Cambridge University Press |page=11 |url=[https://books.google.com/books?id=QagG_KI7Ll8C&q=manifold+%22The+Large+Scale+Structure+of+Space-Time%22&pg=PA59](https://books.google.com/books?id=QagG_KI7Ll8C&q=manifold+%22The+Large+Scale+Structure+of+Space-Time%22&pg=PA59)}} A mathematical definition is: ''A connected [[فضای هاسدورف]] ''M'' is called an ''n''-dimensional manifold if each point of ''M'' is contained in an open set that is homeomorphic to an open set in Euclidean ''n''-dimensional space.''</ref><ref name=Morita>{{cite book |title=Geometry of Differential Forms |author1=Shigeyuki Morita |author2=Teruko Nagase |author3=Katsumi Nomizu |page=[https://archive.org/details/geometryofdiffer00mori/page/12](https://archive.org/details/geometryofdiffer00mori/page/12) 12] |url=[https://archive.org/details/geometryofdiffer00mori](https://archive.org/details/geometryofdiffer00mori)
|url-access=registration |quote=geometry axiom coordinate system. |isbn=0-8218-1045-6 |year=2001 |publisher=American Mathematical Society Bookstore}}</ref> [[دستگاه مختصات دکارتی]] یک نقطه '''r''' در یک فضای ''n'' بعدی به سادگی یک مجموعه مرتب از ''n'' عدد است:<ref name=Korn>{{cite book |title=Mathematical handbook for scientists and engineers: definitions, theorems, and formulas for reference and review |author1=Granino Arthur Korn |author2=Theresa M. Korn |author2-link= Theresa M. Korn |page=169 |url=[https://books.google.com/books?id=xHNd5zCXt-EC&q=curvilinear+%22coordinate+system%22&pg=PA169](https://books.google.com/books?id=xHNd5zCXt-EC&q=curvilinear+%22coordinate+system%22&pg=PA169)
|isbn=0-486-41147-8 |year=2000 |publisher=Courier Dover Publications}}</ref><ref name="encarta">See [http://encarta.msn.com/encyclopedia_761579532/Coordinate_System_(mathematics).html](http://encarta.msn.com/encyclopedia_761579532/Coordinate_System_(mathematics).html){{پیوند مرده}} Encarta definition]. [https://web.archive.org/web/20091030054251/http://encarta.msn.com/encyclopedia_761579532/Coordinate_System_(mathematics).html%5D(https://web.archive.org/web/20091030054251/http://encarta.msn.com/encyclopedia_761579532/Coordinate_System_(mathematics).html) Archived] 2009-10-31.</ref>

: <math>\mathbf{r} = [x^1,\ x^2,\ \dots,\ x^n].</math>

در یک [[فضای باناخ]] کلی، این اعداد می‌توانند (برای مثال) ضرایب در یک بسط تابعی مانند یک [[سری فوریه]] باشند. در یک مسئله فیزیکی، آن‌ها می‌توانند مختصات [[فضازمان]] یا دامنه‌های [[مد نرمال]] باشند. در [[رباتیک]]، این اعداد می‌توانند زوایای چرخش‌های نسبی، جابجایی‌های خطی یا تغییر شکل‌های [[رابط مکانیکی]] باشند.<ref name=Yamane>{{cite book |author=Katsu Yamane |title=Simulating and Generating Motions of Human Figures |isbn=3-540-20317-6 |year=2004 |publisher=Springer |pages=12–13 |url=[https://books.google.com/books?id=tNrMiIx3fToC&q=generalized+coordinates+%22kinematic+chain%22&pg=PA12](https://books.google.com/books?id=tNrMiIx3fToC&q=generalized+coordinates+%22kinematic+chain%22&pg=PA12)}}</ref> در اینجا فرض می‌کنیم که این مختصات را می‌توان با مجموعه‌ای از توابع به یک دستگاه [[دستگاه مختصات دکارتی]] مرتبط کرد:
:<math>x^j = x^j (x,\ y,\ z,\ \dots),\quad j = 1,\ \dots,\ n,</math>
که در آن ''x'', ''y''، ''z'' و… ''n'' مختصات دکارتی نقطه هستند. با توجه به این توابع، '''سطوح مختصات''' توسط روابط زیر تعریف می‌شوند:
:<math> x^j (x, y, z, \dots) = \mathrm{constant},\quad j = 1,\ \dots,\ n.</math>
اشتراک این سطوح '''خطوط مختصات''' را تعریف می‌کند. در هر نقطه انتخابی، مماس‌های خطوط مختصات متقاطع در آن نقطه، مجموعه‌ای از '''بردارهای پایه''' {'''e'''1، '''e'''2، ...، '''e'''n} را در آن نقطه تعریف می‌کنند. به این معنا که:<ref name=Papapetrou>{{cite book |title=Lectures on General Relativity |author=Achilleus Papapetrou |page=5 |url=[https://books.google.com/books?id=SWeOggyp1ZsC&q=relativistic++%22general+coordinates%22&pg=PA3](https://books.google.com/books?id=SWeOggyp1ZsC&q=relativistic++%22general+coordinates%22&pg=PA3)
|isbn=90-277-0540-2 |year=1974 |publisher=Springer}}</ref>

:<math>\mathbf{e}_i(\mathbf{r}) = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\mathbf{r}\left(x^1,\ \dots,\ x^i + \epsilon,\ \dots,\ x^n\right) - \mathbf{r}\left(x^1,\ \dots,\ x^i,\ \dots ,\ x^n\right)}{\epsilon},\quad i = 1,\ \dots,\ n,</math>

که می‌توان آن را برای داشتن طول واحد نرمال‌سازی کرد. برای جزئیات بیشتر به [[مختصات خمیده‌خطی]] مراجعه کنید.

سطوح مختصات، خطوط مختصات و [[پایه (جبر خطی)|پایه]] اجزای یک '''دستگاه مختصات''' هستند.<ref name=Zdunkowski>{{cite book |title=Dynamics of the Atmosphere |page=84 |isbn=0-521-00666-X |year=2003 |author1=Wilford Zdunkowski |author2=Andreas Bott |publisher=Cambridge University Press |url=[https://books.google.com/books?id=GuYvC21v3g8C&q=%22curvilinear+coordinate+system%22&pg=RA1-PA84](https://books.google.com/books?id=GuYvC21v3g8C&q=%22curvilinear+coordinate+system%22&pg=RA1-PA84)}}</ref> اگر بردارهای پایه در هر نقطه متعامد باشند، دستگاه مختصات یک [[Orthogonal coordinates|دستگاه مختصات متعامد]] است.

یک جنبه مهم یک دستگاه مختصات [[تانسور متریک]] آن ''gik'' است که [[طول قوس]] ''ds'' را در دستگاه مختصات برحسب مختصات آن تعیین می‌کند:<ref name=Borisenko>{{cite book |title=Vector and Tensor Analysis with Applications |author1=A. I. Borisenko |author2=I. E. Tarapov |author3=Richard A. Silverman |page=86 |url=[https://books.google.com/books?id=CRIjIx2ac6AC&q=coordinate+metric&pg=PA86](https://books.google.com/books?id=CRIjIx2ac6AC&q=coordinate+metric&pg=PA86)|isbn=0-486-63833-2 |publisher=Courier Dover Publications |year=1979}}</ref>
:<math>(ds)^2 = g_{ik}\ dx^i\ dx^k,</math>
که در آن شاخص‌های تکرار شده روی آنها جمع می‌شوند.

همان‌طور که از این اظهارات پیداست، یک دستگاه مختصات یک [[نظریه مدل]]، بخشی از یک [[دستگاه اصل موضوعی]] است. هیچ ارتباط ضروری بین دستگاه‌های مختصات و حرکت فیزیکی (یا هر جنبه دیگری از واقعیت) وجود ندارد. با این حال، دستگاه‌های مختصات می‌توانند زمان را به عنوان یک مختصات شامل شوند و می‌توانند برای توصیف حرکت استفاده شوند؛ بنابراین، [[تبدیل لورنتس]]ها و [[تبدیلات گالیله]] را می‌توان به عنوان [[دستگاه مختصات]] مشاهده کرد.

== چارچوب مرجع مشاهده‌ای ==
{{بیشتر|چارچوب مرجع لخت}}
[[پرونده:Minkowski diagram - 3 systems.svg|بندانگشتی|چپ|256px|سه چارچوب مرجع در نسبیت خاص. چارچوب سیاه در حالت سکون است. چارچوب خط‌دار با ۴۰٪ سرعت نور و چارچوب دوخط‌دار با ۸۰٪ سرعت نور حرکت می‌کند. به تغییر قیچی مانند با افزایش سرعت توجه کنید.]]

'''چارچوب مرجع مشاهده‌ای''' که اغلب به عنوان ''چارچوب مرجع فیزیکی''، ''چارچوب مرجع'' یا به سادگی ''چارچوب'' نامیده می‌شود، یک مفهوم فیزیکی مربوط به یک ناظر و وضعیت حرکت ناظر است. در اینجا ما دیدگاه بیان شده توسط کومار و بارو را اتخاذ می‌کنیم: یک چارچوب مرجع مشاهده‌ای ''فقط با وضعیت حرکت آن'' مشخص می‌شود.<ref name=Kubar>See {{cite book |author1=Arvind Kumar |author2=Shrish Barve |page=115 |title=How and Why in Basic Mechanics |url=[https://books.google.com/books?id=czlUPz38MOQC&q=%22characterized+only+by+its+state+of+motion%22+inauthor:Kumar&pg=PA115](https://books.google.com/books?id=czlUPz38MOQC&q=%22characterized+only+by+its+state+of+motion%22+inauthor:Kumar&pg=PA115)|isbn=81-7371-420-7 |year= 2003 |publisher =Orient Longman}}</ref> با این حال، در این مورد اتفاق نظر وجود ندارد. در نسبیت خاص، گاهی اوقات بین یک ''ناظر'' و یک ''چارچوب'' تمایز قائل می‌شوند. بر اساس این دیدگاه، یک ''چارچوب'' یک ''ناظر'' به اضافه یک شبکه مختصات است که به عنوان مجموعه‌ای از بردارهای فضایی متعامد راست دست عمود بر یک بردار زمان‌مانند ساخته شده است. نگاه کنید به Doran.<ref name=Doran>{{cite book |url=[http://www.worldcat.org/search?q=9780521715959&qt=owc_search](http://www.worldcat.org/search?q=9780521715959&qt=owc_search) |title=Geometric Algebra for Physicists |author1=Chris Doran |author2=Anthony Lasenby |page= §5.2.2, p. 133 |isbn=978-0-521-71595-9 |year=2003 |publisher=Cambridge University Press}}.</ref> این دیدگاه محدود در اینجا استفاده نشده است و حتی در بحث‌های نسبیت نیز به‌طور جهانی پذیرفته نشده است.<ref name=Moller>For example, Møller states: "Instead of Cartesian coordinates we can obviously just as well employ general curvilinear coordinates for the fixation of points in physical space. …we shall now introduce general "curvilinear" coordinates ''x''<sup>i</sup> in four-space…." {{cite book |author=C. Møller |title=The Theory of Relativity |page=222 and p. 233 |year=1952 |publisher=Oxford University Press}}</ref><ref name=Lightman>{{cite book |title=Problem Book in Relativity and Gravitation |author1=A. P. Lightman |author2=W. H. Press |author3=R. H. Price |author4=S. A. Teukolsky |page=[https://archive.org/details/problembookinrel00ligh/page/15](https://archive.org/details/problembookinrel00ligh/page/15) 15] |url=[https://archive.org/details/problembookinrel00ligh](https://archive.org/details/problembookinrel00ligh)|url-access=registration |quote=relativistic general coordinates. |isbn=0-691-08162-X |publisher=Princeton University Press |year=1975}}</ref> در [[نسبیت عام]] استفاده از دستگاه‌های مختصات عمومی رایج است (برای نمونه، به [[کارل شوارتزشیلد]] راه حل میدان گرانشی خارج از یک کره منزوی مراجعه کنید<ref name= Faber>{{cite book |title=Differential Geometry and Relativity Theory: an introduction |author=Richard L Faber |url=[https://books.google.com/books?id=ctM3_afLuVEC&q=relativistic++%22general+coordinates%22&pg=PA149](https://books.google.com/books?id=ctM3_afLuVEC&q=relativistic++%22general+coordinates%22&pg=PA149)
|page=211 |isbn=0-8247-1749-X |year=1983 |publisher=CRC Press}}</ref>).

دو نوع چارچوب مرجع مشاهده‌ای وجود دارد: [[دستگاه مرجع لخت]] و [[دستگاه مرجع غیرلخت]]. یک چارچوب مرجع لَخت به چارچوبی تعریف می‌شود که در آن همه قوانین فیزیک ساده‌ترین شکل خود را دارند. در [[نسبیت خاص]] این چارچوب‌ها توسط [[تبدیل لورنتس]] مرتبط هستند که توسط [[سرعت]] پارامتری می‌شوند. در مکانیک نیوتنی، یک تعریف محدودتر تنها مستلزم آن است که [[قوانین حرکت نیوتن]] صادق باشد؛ یعنی یک چارچوب لَخت نیوتنی، چارچوبی است که در آن یک [[ذره آزاد]] در یک [[خط (هندسه)|خط]] با [[سرعت]] ثابت حرکت می‌کند یا در حالت سکون است. این چارچوب‌ها توسط [[تبدیلات گالیله]] مرتبط هستند. این تبدیل‌های نسبیتی و نیوتنی در فضاهای با بُعد کلی بر حسب [[نظریه نمایش]] گروه‌های [[Representation theory of the Poincaré group|Poincaré]] و [[Representation theory of the Galilean group|Galilean]] بیان می‌شوند.

[[دستگاه مرجع لخت|چارچوب مرجع لخت]] به چارچوبی گفته می‌شود که در آن قانون [[لختی]] (ماند) حاکم باشد. چارچوب مرجع لخت یکی از نخستین و مهم‌ترین انتزاع‌ها در فیزیک است. چارچوب مرجع واقعی یک چارچوب لخت نیست و می‌توان گفت چارچوبی است که گاهی بیشتر و گاهی کمتر با چارچوب مرجع لخت سازگاری دارد.

برای نمونه چارچوب مرجع وابسته به [[گرانیگاه]] زمین نسبت به چارچوب مرجع وابسته به گرانیگاه خورشید کمتر لخت است در حالی که چارچوب مرجع وابسته به هسته [[کهکشان]] ما بیشتر از چارچوب مرجع وابسته به خورشید لخت است. بنا به تجربه چارچوب وابسته به [[ستارگان ثابت]] بیش از هر چارچوب دیگری لخت است.

بنا بر [[مکانیک کلاسیک]] نیوتونی یک چارچوب مرجع لخت اصلی وجود دارد که آن را چارچوب مرجع مطلق می‌نامند که دارای ویژگی‌های اساسی زیر است:
# چارچوب مرجع مطلق نه به جسم واقعی بلکه به فضای کیهانی وابسته است.
# چارچوب مرجع مطلق بنا به شرط ساکن است.
# فضای چارچوب مرجع مطلق فضایی سه بعدی- پیوسته-[[همگن]]-[[همسانگرد]] و اقلیدسی است.
# در چارچوب مرجع لخت قوانین نیوتون صدق می‌کند.
هر چارچوب مرجعی که نسبت به چارچوب مرجع مطلق به‌طور یکنواخت و روی خط راست حرکت کند یا ساکن باشد باز هم یک چارچوب مرجع لخت است و از نظر مکانیکی به‌طور کامل با اولی هم ارز است. چارچوب مرجعی که نسبت به چارچوب مرجع مطلق شتاب داشته باشد یک چارچوب مرجع نالخت است.

در مقابل چارچوب لَخت، یک چارچوب مرجع غیرلخت، چارچوبی است که در آن باید [[شبه‌نیرو]]ها برای توضیح مشاهدات فراخوانده شوند. یک مثال، یک چارچوب مرجع مشاهده‌ای است که در نقطه‌ای روی سطح زمین متمرکز شده است. این چارچوب مرجع به دور مرکز زمین می‌چرخد که نیروهای مجازی را معرفی می‌کند که به عنوان [[اثر کوریولیس]]، [[نیروی گریز از مرکز]] و [[گرانش]] شناخته می‌شوند. (همه این نیروها از جمله گرانش در یک چارچوب مرجع واقعاً لَخت که یکی از سقوط آزاد است ناپدید می‌شوند)

== دستگاه اندازه‌گیری ==
جنبه دیگر یک چارچوب مرجع، نقش [[مترولوژی]] (به عنوان مثال، ساعت‌ها و میله‌ها) متصل به چارچوب است (به نقل قول نورتون در بالا مراجعه کنید). این سؤال در این مقاله مورد بررسی قرار نگرفته است و مورد توجه خاص در [[اندازه‌گیری در مکانیک کوانتومی]] است، جایی که رابطه بین ناظر و اندازه‌گیری هنوز در دست بحث است (به [[مسئله اندازه‌گیری]] مراجعه کنید).

در آزمایش‌های فیزیک، چارچوب مرجعی که دستگاه‌های اندازه‌گیری آزمایشگاهی در آن در حالت سکون هستند، معمولاً به عنوان [[چارچوب آزمایشگاهی]] نامیده می‌شود. یک مثال می‌تواند چارچوبی باشد که در آن آشکارسازهای یک شتاب‌دهنده ذرات در حالت سکون هستند. چارچوب آزمایشگاهی در برخی آزمایش‌ها یک چارچوب لَخت است، اما لازم نیست که چنین باشد (برای مثال، آزمایشگاه روی سطح زمین در بسیاری از آزمایش‌های فیزیک لَخت نیست). در آزمایش‌های فیزیک ذرات، اغلب مفید است که انرژی‌ها و تکانه‌های ذرات را از چارچوب آزمایشگاهی که در آن اندازه‌گیری می‌شوند، به [[چارچوب مرکز تکانه]] "COM frame" که در آن محاسبات گاهی ساده می‌شوند، تبدیل کنیم، زیرا به‌طور بالقوه تمام [[انرژی جنبشی]] هنوز در چارچوب COM وجود دارد که ممکن است برای ساخت ذرات جدید استفاده شود.

در این ارتباط ممکن است توجه شود که ساعت‌ها و میله‌هایی که اغلب برای توصیف تجهیزات اندازه‌گیری ناظران در فکر استفاده می‌شود، در عمل با یک [[مترولوژی]] بسیار پیچیده‌تر و غیرمستقیم که با ماهیت [[خلأ]] مرتبط است، جایگزین می‌شود و از [[ساعت اتمی]] استفاده می‌کند که طبق [[مدل استاندارد]] کار می‌کنند و باید برای [[اتساع زمان گرانشی]] اصلاح شوند.<ref name= Wolfson>{{cite book |author= Richard Wolfson |title=Simply Einstein |url=[https://books.google.com/books?id=OUJWKdlFKeQC&q=%22gravitational+time+dilation+%22&pg=PA216](https://books.google.com/books?id=OUJWKdlFKeQC&q=%22gravitational+time+dilation+%22&pg=PA216)|page=216 |isbn=0-393-05154-4 |publisher=W W Norton & Co. |year=2003}}</ref> (به [[ثانیه]]، [[متر]] و [[کیلوگرم]] مراجعه کنید).

در واقع، انیشتین احساس می‌کرد که ساعت‌ها و میله‌ها صرفاً دستگاه‌های اندازه‌گیری مناسبی هستند و باید با موجودیت‌های بنیادی‌تری که بر اساس اتم‌ها و مولکول‌ها هستند، جایگزین شوند.<ref name=Rizzi>See {{cite book |title=Relativity in rotating frames |page=33 |url=[https://books.google.com/books?id=_PGrlCLkkIgC&q=centrifugal+%22+%22+relativity+OR+relativistic&pg=PA226](https://books.google.com/books?id=_PGrlCLkkIgC&q=centrifugal+%22+%22+relativity+OR+relativistic&pg=PA226)
|isbn=1-4020-1805-3 |year=2003 |publisher=Springer |author1=Guido Rizzi |author2=Matteo Luca Ruggiero }}.</ref>

== تعمیم ==
بحث فراتر از دستگاه‌های مختصات ساده فضا-زمان توسط Brading و Castellani انجام شده است.<ref name=Brading>{{cite book |title=Symmetries in Physics: Philosophical Reflections |author1=Katherine Brading |author2=Elena Castellani |page=417 |url=[https://books.google.com/books?id=SnmBN64cAdYC&q=%22idea+of+a+reference+frame%22&pg=PA417](https://books.google.com/books?id=SnmBN64cAdYC&q=%22idea+of+a+reference+frame%22&pg=PA417)|isbn=0-521-82137-1 |year=2003 |publisher=Cambridge University Press}}</ref> بسط به دستگاه‌های مختصات با استفاده از مختصات تعمیم‌یافته، زیربنای [[اصل همیلتون]] و [[مکانیک لاگرانژی]]<ref name=Johns>{{cite book |title=Analytical Mechanics for Relativity and Quantum Mechanics |page=Chapter 16 |author=Oliver Davis Johns |url=[https://books.google.com/books?id=PNuM9YDN8CIC&q=coordinate+observer&pg=PA318](https://books.google.com/books?id=PNuM9YDN8CIC&q=coordinate+observer&pg=PA318)
|isbn=0-19-856726-X |year=2005 |publisher=Oxford University Press |no-pp=true }}</ref> فرمول‌بندی‌های [[نظریه میدان‌های کوانتومی]]، [[مکانیک کلاسیک]] و [[گرانش کوانتومی]] است.<ref name=Greenwood>{{cite book |title=Classical dynamics |author=Donald T Greenwood |page=313 |year=1997 |edition=Reprint of 1977 edition by Prentice-Hall |publisher=Courier Dover Publications |url=[https://books.google.com/books?id=x7rj83I98yMC&q=%22relativistic+%22+Lagrangian+OR+Hamiltonian&pg=RA2-PA314](https://books.google.com/books?id=x7rj83I98yMC&q=%22relativistic+%22+Lagrangian+OR+Hamiltonian&pg=RA2-PA314)
|isbn=0-486-69690-1 }}</ref><ref name=Trump>{{cite book |title=Classical Relativistic Many-Body Dynamics |author1=Matthew A. Trump |author2=W. C. Schieve |page= 99 |url=[https://books.google.com/books?id=g2yfLOp0IzwC&q=relativity+%22generalized+coordinates%22&pg=PA99](https://books.google.com/books?id=g2yfLOp0IzwC&q=relativity+%22generalized+coordinates%22&pg=PA99)
|year=1999 |publisher=Springer |isbn= 0-7923-5737-X }}</ref><ref name=Kompaneyets>{{cite book |author=Alexander Solomonovich Kompaneyets |title=Theoretical Physics |url=[https://books.google.com/books?id=CQ2gBrL5T4YC&q=relativity+%22generalized+coordinates%22&pg=PA118](https://books.google.com/books?id=CQ2gBrL5T4YC&q=relativity+%22generalized+coordinates%22&pg=PA118)|page=118 |isbn=0-486-49532-9 |year=2003 |publisher=Courier Dover Publications |edition=Reprint of the 1962 2nd}}</ref><ref name=Srednicki>{{cite book |title=Quantum Field Theory |page= Chapter 4|author=M Srednicki |publisher=Cambridge University Press |year=2007 |isbn=978-0-521-86449-7 |url=[https://books.google.com/books?id=5OepxIG42B4C&pg=PA266](https://books.google.com/books?id=5OepxIG42B4C&pg=PA266) |no-pp=true}}</ref><ref name=Rovelli>{{cite book |title=Quantum Gravity |author=Carlo Rovelli |page= 98 ff |url=[https://books.google.com/books?id=HrAzTmXdssQC&q=%22relativistic+%22+Lagrangian+OR+Hamiltonian&pg=PA179](https://books.google.com/books?id=HrAzTmXdssQC&q=%22relativistic+%22+Lagrangian+OR+Hamiltonian&pg=PA179)
|isbn=0-521-83733-2 |year=2004 |publisher=Cambridge University Press}}</ref>

== منابع ==
{{پانویس}}
* فیزیک مقدماتی، آی.پی. گورسکی، محمدرضا خوش‌بین، تهران، مبتکران، ج. اول، ۱۳۷۹.
* مدل‌ها و حقایق فیزیک، روبرتو چریانی، مریم ثابت‌قدم، تهران، کانون فرهنگی آموزش، ج اول، ۱۳۸۵.

{{نسبیت}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}

[[رده:چارچوب‌های مرجع]]
[[رده:ناوبری]]
[[رده:نظریه نسبیت]]
[[رده:نقشه‌برداری]]