نمایش مبدأ برای پیچه

{{کاربردهای دیگر}}
[[Image:Helix.svg|thumb|پیچهٔ راست‌گردِ (cos ''t'', sin ''t'', ''t'') از ''t'' = ۰ تا ۴π. پیکان‌ها جهت افزایش ''t'' را نمایش می‌دهند.|318x318پیکسل]]
'''پیچه'''<ref>{{یادکرد-فرهنگستان
<!-- اطلاعات واژه -->
|واژهٔ مصوب= پیچه
|حوزه= ریاضی
| واژهٔ غیرفارسی با حروف زبان اصلی = helix
|زبان واژهٔ غیرفارسی = انگلیسی
}}</ref> یک [[خم]] سه‌بعدی واقع بر یک [[استوانه]] یا [[مخروط]] است که مولدهای استوانه یا مخروط را با زاویهٔ ثابتی قطع می‌کند. پیچه‌ها ممکن است چپ‌گرد یا راست‌گرد باشند. همچنین پیچه‌ها دارای خاصیت [[دست‌سانی (هندسه)|دست‌سانی]] هستند به این معنی که یک پیچهٔ راست‌گرد را نمی‌توان با جابجایی، چرخش به یک پیچهٔ چپ‌گرد تبدیل کرد (و برعکس)، مگر آنکه تصویر آن را در [[آینه]] در نظر بگیریم.<ref>{{یادکرد کتاب|نام خانوادگی=Malloy|نام=K.|عنوان=The Art of Theatrical Design: Elements of Visual Composition, Methods, and Practice|ناشر=Taylor & Francis|سال=2014|شابک=978-1-317-69427-4|پیوند=http://books.google.com/books?id=UnA9BAAAQBAJ&pg=PA120|زبان=en|تاریخ بازبینی=2014-08-29|صفحه=120}}</ref>

پیچه‌ها در [[زیست‌شناسی]] مهم هستند، زیرا [[ساختار دی‌ان‌ای]] از دو پیچهٔ در هم تنیده تشکیل شده‌است.<ref>{{یادکرد کتاب|نام خانوادگی=Houck|نام=M.M.|نام خانوادگی۲=Siegel|نام۲=J.A.|عنوان=Fundamentals of Forensic Science|ناشر=Elsevier Science|سال=2010|شابک=978-0-12-385914-3|پیوند=http://books.google.com/books?id=p9c6DKvAyn4C&pg=PA257|زبان=en|تاریخ بازبینی=2014-08-29|صفحه=257}}</ref>

== خواص و انواع ==
'''گام''' ('''pitch''') پیچه ارتفاع یک پیچ کامل پیچه است که به موازات محور پیچه اندازه‌گیری می‌شود.

یک '''پیچه دوتایی''' ('''double helix''') از دو پیچه (معمولاً متجانس) با یک محور تشکیل شده‌است که با یک انتقال در امتداد محور تفاوت دارند.<ref>"[http://demonstrations.wolfram.com/DoubleHelix/ Double Helix] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080430111608/http://demonstrations.wolfram.com/DoubleHelix/|date=2008-04-30}}" by Sándor Kabai, [[Wolfram Demonstrations Project]].</ref>

یک '''پیچه دایره‌ای''' ('''circular helix''') (یعنی پیچه‌ای با شعاع ثابت) دارای [[انحنا|انحنای]] (curvature) نوار ثابت و پیچش (Torsion) ثابت است.
[[پرونده:Spiral-cone-arch-s.svg|بندانگشتی|[[پیچه مخروطی]] با [[مارپیچ ارشمیدس|پیچه ارشمیدس]] به عنوان تصویر در قاعده.]]
'''پیچه مخروطی''' را می‌توان به عنوان یک پیچه روی یک [[سطح مخروطی]] تعریف کرد که فاصله تا راس تابعی نمایی از زاویه است که جهت را از محور نشان می‌دهد.

یک منحنی را '''پیچه عمومی''' یا '''پیچه استوانه‌ای'''<ref>O'Neill, B. ''Elementary Differential Geometry,'' 1961 pg 72</ref> می‌نامند در صورتی که مماس آن یک زاویه ثابت با یک خط ثابت در فضا ایجاد کند. یک منحنی یک پیچه عمومی است اگر و فقط اگر نسبت انحنا به پیچش ثابت باشد.<ref>O'Neill, B. ''Elementary Differential Geometry,'' 1961 pg 74</ref>

منحنی را '''پیچه مایل''' می‌نامند که نرمال اصلی آن یک زاویه ثابت با یک خط ثابت در فضا ایجاد کند.<ref>Izumiya, S. and Takeuchi, N. (2004) ''New special curves and developable surfaces.'' [http://journals.tubitak.gov.tr/math/issues/mat-04-28-2/mat-28-2-6-0301-4.pdf Turk J Math] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304004003/http://journals.tubitak.gov.tr/math/issues/mat-04-28-2/mat-28-2-6-0301-4.pdf|date=2016-03-04}}, 28:153–163.</ref> با اعمال یک جابجایی به چهارچوب متحرک یک پیچه عمومی می‌توان آن را ساخت.<ref>Menninger, T. (2013), ''An Explicit Parametrization of the Frenet Apparatus of the Slant Helix''. [[arxiv:1302.3175]] {{یادکرد وب |نشانی=https://arxiv.org/abs/1302.3175 |عنوان=نسخه آرشیو شده |بازبینی=۱۵ ژانویه ۲۰۲۴ |archive-date=۵ فوریه ۲۰۱۸ |archive-url=https://web.archive.org/web/20180205164124/https://arxiv.org/abs/1302.3175 |url-status=bot: unknown }}.</ref>
[[پرونده:Kugel-spirale-1-2.svg|بندانگشتی|پیچه کروی با <math>c=8</math>]]

== توصیف ریاضیاتی ==
[[پرونده:Two Types of Helix.svg|بندانگشتی|مقایسه دو نوع پیچه. این دو مارپیچ [[دست‌سانی (هندسه)|دست‌سانی]] مارپیچ را نشان می‌دهد. یکی چپ-دست و دیگری راست-دست. هر ردیف دو مارپیچ را از منظری متفاوت مقایسه می‌کند. دست‌سانی یک خاصیت جسم است، نه پرسپکتیو (زاویه دید).]]
در [[ریاضیات]]، پیچه یک [[منحنی]] در [[فضای سه‌بعدی]] است. [[معادله پارامتری|پارامترسازی]] زیر در [[دستگاه مختصات دکارتی|مختصات دکارتی]] یک پیچه خاص را تعریف می‌کند،<ref>{{MathWorld|urlname=Helix|title=Helix}}</ref> شاید ساده‌ترین معادله برای یک پیچه ساده برابر باشد با:

<math>\begin{align}
x(t) &= \cos(t),\\
y(t) &= \sin(t),\\
z(t) &= t.
\end{align}</math>

با افزایش پارامتر ''{{mvar|t}}''، نقطه {{math|(''x''(''t''),''y''(''t''),''z''(''t''))}} یک پیچه راست-گرد با گام ۲π (یا شیب ۱) و شعاع ۱ را در اطراف ''محور-z''، در یک دستگاه مختصات راست-گرد ترسیم می‌کند.

در [[دستگاه مختصات استوانه‌ای|مختصات استوانه‌ای]] {{math|(''r'', ''θ'', ''h'')}}، همان پیچه با پارامترهای زیر معین می‌شود:

<math>\begin{align}
r(t) &= 1,\\
\theta(t) &= t,\\
h(t) &= t.
\end{align}</math>

یک پیچه دایره‌ای با شعاع ''{{mvar|a}}'' و شیب {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} (یا گام {{math|2''πb''}}) با پارامترسازی زیر توصیف می‌شود:

<math>\begin{align}
x(t) &= a\cos(t),\\
y(t) &= a\sin(t),\\
z(t) &= bt.
\end{align}</math>
[[پرونده:Rising circular.gif|بندانگشتی|پیچه متشکل از اجزای x و y سینوسی]]
روش دیگر برای ساختن ریاضی پیچه این است که تابع با ارزش مختلط {{math|''e<sup>xi</sup>''}} را به عنوان تابعی از عدد حقیقی ''{{mvar|x}}'' رسم کنیم (به [[فرمول اویلر]] مراجعه کنید). مقدار ''{{mvar|x}}'' و قسمت‌های واقعی و خیالی مقدار تابع به این نمودار سه بعد واقعی می‌دهد.

به جز [[دوران (هندسه)|دوران‌ها]]، [[انتقال (هندسه)|انتقال‌ها]] و تغییرات مقیاس، همه پیچه‌های راست-گرد معادل پیچه تعریف شده در بالا هستند. پیچه چپ-گرد معادل را می‌توان به روش‌های مختلفی ساخت که ساده‌ترین آنها منفی کردن هر یک از مولفه‌های x یا y یا z است.

=== طول قوس، انحنا و پیچش ===
پیچه دایره‌ای با شعاع a و شیب {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} (یا گام {{math|2''πb''}}) در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می‌شود:

<math>t\mapsto (a\cos t, a\sin t, bt), t\in [0,T]</math>

که طول قوس آن برابر است با:

<math>A = T\cdot \sqrt{a^2+b^2},</math>

انحنای آن برابر است با:

<math>\frac{|a|}{a^2+b^2},</math>

پیچش ([[:en:Torsion_of_a_curve|torsion]]) آن برابر است با:

<math>\frac{b}{a^2+b^2}.</math>

یک پیچه دارای انحنا و پیچش ثابت غیر صفر است.

یک پیچه، تابعی با مقدار-برداری زیر است:

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{r}&=a\cos t \mathbf{i}+a\sin t \mathbf{j}+ b t\mathbf{k}\\[6px]

\mathbf{v}&=-a\sin t \mathbf{i}+a\cos t \mathbf{j}+ b \mathbf{k}\\[6px]

\mathbf{a}&=-a\cos t \mathbf{i}-a\sin t \mathbf{j}+ 0\mathbf{k}\\[6px]

|\mathbf{v}|&=\sqrt{(-a\sin t )^2 +(a\cos t)^2 + b^2}=\sqrt{a^2 +b^2}\\[6px]

|\mathbf{a}| &= \sqrt{(-a\sin t )^2 +(a\cos t)^2 } = a\\[6px]

s(t) &= \int_{0}^{t}\sqrt{a^2 +b^2}d\tau = \sqrt{a^2 +b^2} t
\end{align}</math>بنابراین یک پیچه را می‌توان به عنوان تابعی از ''{{mvar|s}}'' که باید سرعت-واحد باشد، مجدداً پارامتربندی کرد:

<math display="block">\mathbf{r}(s) = a\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}+a\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}} \mathbf{j}+ \frac{bs}{\sqrt{a^2 +b^2}} \mathbf{k}</math>[[بردار واحد]] مماس برابر است با:

<math display="block">\frac{d \mathbf{r}}{d s} = \mathbf{T} = \frac{-a}{\sqrt{a^2 +b^2} }\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}+\frac{a}{\sqrt{a^2 +b^2} }\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }\mathbf{j}+ \frac{b}{\sqrt{a^2 +b^2}} \mathbf{k}</math>بردار نرمال برابر است با:

<math display="block">\frac{d \mathbf{T}}{d s} = \kappa \mathbf{N} = \frac{-a}{a^2 +b^2 }\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}+\frac{-a}{a^2 +b^2} \sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }\mathbf{j}+ 0 \mathbf{k}</math>انحنای آن برابر است با:<math display="block">\kappa = \left|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right|= \frac{|a|}{a^2 +b^2 }</math>بردار نرمال واحد برابر است با:

<math display="block">\mathbf{N}=-\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i} - \sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{j} + 0 \mathbf{k}</math>بردار باینرمال برابر است با:

<math display="block"> \begin{align}
\mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N} &= \frac{1}{\sqrt{a^2 +b^2 }} \left( b\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{i} - b\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{j}+ a \mathbf{k}\right)\\[12px]
\frac{d\mathbf{B}}{ds} &= \frac{1}{a^2 +b^2} \left( b\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}} \mathbf{i} + b\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{j}+ 0 \mathbf{k} \right)
\end{align}</math>پیچش (torsion) آن برابر است با:

<math display="block">\tau = \left| \frac{d\mathbf{B}}{ds} \right| = \frac{b}{a^2 +b^2}.</math>

== نگارخانه ==
<gallery heights="225px" widths="225px">
Image:Lehn Beautiful Foldamer HelvChimActa 1598 2003.jpg|ساختار بلوری یک [[تاب‌پار]] گزارش‌شده توسط [[ژان-ماری لن|لن]] ''و دیگران.'' در.
Image:DirkvdM natural spiral.jpg|یک پیچهٔ طبیعی چپ‌گرد، ایجادشده توسط یک گیاه [[ویره (گیاه)|ویره]]
Image:Magnetic_deflection_helical_path.svg|یک ذرهٔ باردار در [[میدان مغناطیسی]] در حال طی‌کردن یک مسیر پیچه‌وار
Image:Ressort de traction a spires non jointives.jpg|یک سیم‌پیچ فنری پیچه‌ای
</gallery>

== جستارهای وابسته ==
* [[مارپیچ|پیچه]]
* [[انحنا]]
* [[مارپیچ آلفا|پیچه آلفا]]
* [[سیم‌لوله]]
* [[کلاژن]]

== منابع ==
{{پانویس|۲}}

[[رده:اشکال هندسی]]
[[رده:پیچه‌ها]]
[[رده:منحنی‌ها]]