نمایش مبدأ برای پیش‌نویس:خیز(مهندسی)

[[File:Deflection.svg|پیوند=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Deflection.svg|جایگزین=|راست|بندانگشتی|300x300پیکسل|<sup><big>خیز (f) در مهندسی</big></sup>]]
<big><sup>در مهندسی، خیز(deflection)، به میزان جابه جایی یک عضو سازه ای مانند تیر، تحت اثر بار اعمال شده به آن (به دلیل تغییر شکلی که در سازه ایجاد می شود) گفته می شود که ممکن است این خیز به یک زاویه یا طول نسبت داده شود.</sup></big>

<big><sup>اندازه ی خیز یک تیر که تحت اثر بار قرار گرفته را می توان با انتگرال گیری از تابعی که به صورت ریاضی، شیب عضو بارگذاری شده را توصیف می کند، محاسبه کرد.</sup></big>

<big><sup>فرمول های استاندارد برای محاسبه ی خیز تیرهای رایج که به صورت گسسته بارگذاری شده اند وجود دارد.</sup></big>

<big><sup>همچنین روش های دیگری مانند [[کار مجازی|"کار مجازی]]" ، "انتگرال گیری مستقیم" ، "روش کاستیگلیانو" ، "روش ماکولی" و "روش سختی مستقیم" برای محاسبه ی خیز تیر های تحت بارگذاری گسسته یا پیوسته وجود دارد.  خیز یک تیر معمولی از معادله ی تیر "اویلر - برنولی" محاسبه می شود در حالی که خیز یک عضو صفحه ای یا پوسته ای با استفاده از نظریه ی"صفحه یا پوسته" محاسبه می شود.</sup></big>

<big><sup>نمونه ای از کاربردهای خیز در ساخت و ساز ساختمان است. [[معمار|معماران]] و [[مهندس|مهندسان]] مواد را برای کاربردهای مختلف انتخاب می کنند بنابراین جنس و مصالح [[تیر (سازه)|تیرهای]] اسکلت ساختمان، بر اساس خیز و عوامل دیگر انتخاب می‌شوند.</sup></big> 

== '''<big><sup>خیز تیر برای انواع بارگذاری ها</sup></big>''' ==
<big><sup>تیرها می توانند از لحاظ هندسه و ترکیب باهم بسیار متفاوت باشند. به عنوان مثال، تیر ممکن است مستقیم یا خمیده باشد. ممکن است دارای سطح مقطع ثابت یا متغیر باشد. ممکن است از نظر جنس کاملاً یکنواخت یا از مواد مختلفی(کامپوزیت) تشکیل شده باشد.</sup></big>

<big><sup>برخی از موارد بالا تجزیه و تحلیل را دشوار می کند، اما بسیاری از کاربردهای مهندسی مواردی را شامل می شوند که چندان پیچیده نیستند.</sup></big>

<big><sup>بنابراین تجزیه و تحلیل آسان است اگر:</sup></big> 

: <big><sup>-تیر مستقیم و دارای تغییرات جزئی است.</sup></big> 
: <big><sup>-تیر فقط تغییر شکل [[قانون هوک|الاستیک خطی]] را تجربه می کند.</sup></big> 
: <big><sup>-تیر باریک است (نسبت طول به ارتفاع از 10 بیشتر است).</sup></big> 
: <big><sup>-فقط خیزهای کوچک در نظر گرفته شده است (حداکثر خیز کمتر از 1/10 طول تیر).</sup></big>

<big><sup>در این حالت، معادله حاکم بر خیز تیر ( <math>w</math> ) می تواند تقریبا برابر عبارت زیر باشد:</sup></big> 

: <big><sup><math>\cfrac{\mathrm{d}^2 w(x)}{\mathrm{d} x^2}=\frac{M(x)}{E(x) I(x)}</math></sup></big>

<big><sup>که در آن عبارت سمت چپ، مشتق دوم معادله ی خیز تیر به صورت تابعی از x (فاصله ی هر نقطه از تیر از ابتدای تیر) است، <math>E</math> [[مدول یانگ|مدول الاستیسیته است]] ، <math>I</math> [[گشتاور دوم سطح|ممان اینرسی]] سطح مقطع نسبت به محور خنثی و <math>M</math> معادله ی گشتاور (لنگر) [[خمش|خمشی]] در تیر است است.</sup></big>

<big><sup>این رابطه را معادله دیفرانسیل منحنی الاستیک و جمله ی EI را صلابت خمشی می گویند.</sup></big>

<big><sup>علاوه بر این، اگر تیر مستقیم و یکنواخت باشد و بار گسترده ی q به آن اعمال شود، عبارت فوق را [[خمش|می توان به صورت زیر نوشت]] :</sup></big> 

: <big><sup><math>
EI~\cfrac{\mathrm{d}^4 w(x)}{\mathrm{d} x^4} = q(x)
</math></sup></big>

<big><sup>این معادله برای انواع بارگذاری و شرایط مرزی قابل حل است. تعدادی مثال ساده در زیر آورده شده است:</sup></big>

<big><sup>فرمول بیان شده تقریبا برای پرتوهای بلند ، باریک ، همگن ، منشوری با انحراف های کوچک و خاصیت الاستیک خطی است. تحت این محدودیتها ، تقریبها با 5٪ خطا نسبت به واقعیت نتایج به دست می آیند.</sup></big> 

=== <big><sup>تیر های کانسیلر(طره ای یا یک سر گیردار)</sup></big> ===
<big><sup>تیرهای یک سرگیردار یک انتهای ثابت دارند ، به طوری که شیب و خیز در انتهای آن باید صفر باشد.</sup></big> 
[[پرونده:Cantilever_beam_deflection.svg|بندانگشتی| <sup><big>نمونه ای از خیز تیر یک سرگیردار.</big></sup> ]]

==== <big><sup>1_تیر های با بارگذاری متمرکز در انتهای آزاد</sup></big> ====
[[پرونده:Cantilever_with_end_load.svg|بندانگشتی| <sup><big>تیر یک سرگیردار با نیرویی در انتهای آزاد</big></sup> ]]
<big><sup>خیز [[کشسانی|الاستیک]] <math>\delta</math> و شیب <math>\phi</math> (برحسب [[رادیان]]) در انتهای آزاد تیر (مطابق تصویر بالا) میتوان از روابط زیر محاسبه کرد: <ref name="gere">{{Cite book|title=Mechanics of Materials|edition=Eighth|isbn=978-1-111-57773-5|last=Gere|first=James M.|last2=Goodno|first2=Barry J.|pages=1083–1087}}</ref></sup></big> 

: <big><sup><math>\delta_B = \frac {F L^3} {3 E I}</math></sup></big>

: <big><sup><math>\phi_B = \frac {F L^2} {2 E I}</math></sup></big>

<big><sup>که در این روابط:</sup></big> 

: <big><sup><math>F</math> = [[نیرو|نیرویی]] که به صورت متمرکز به انتهای تیر وارد می شود.</sup></big> 
: <big><sup><math>L</math> = طول تیر</sup></big> 
: <big><sup><math>E</math> = [[مدول کشسان|مدول الاستیسیته]]</sup></big> 
: <big><sup><math>I</math> = [[گشتاور دوم سطح|ممان اینرسی]] سطح مقطع تیر</sup></big>

<big><sup>توجه داشته باشید که اگر طول تیر دو برابر شود ، میزان خیز تیر در انتها هشت برابر میشود. همچنین خیز و شیب در هر نقطه از تیر یک سر گیردار تحت بارگزاری متمرکز، از روابط زیر محاسبه می شود : <ref name="gere">{{Cite book|title=Mechanics of Materials|edition=Eighth|isbn=978-1-111-57773-5|last=Gere|first=James M.|last2=Goodno|first2=Barry J.|pages=1083–1087}}</ref></sup></big> 

: <big><sup><math>\delta_x = \frac {F x^2} {6 E I} (3L - x)</math></sup></big>

: <big><sup><math>\phi_x = \frac {F x} {2 E I} (2L - x)</math></sup></big>

<big><sup>توجه: در <math>x = L</math> (انتهای آزاد تیر)، معادلات <math>\delta_x</math> و <math>\phi_x</math> با معادلات فوق برای<math>\delta_B</math> خیز و شیب نقطه ی B یکسان هستند.</sup></big> 

==== <big><sup>2_تیرهای با بارگذاری گسترده</sup></big> ====
[[پرونده:Cantilever_with_uniform_distributed_load.svg|بندانگشتی| <big><sup>تیر یک سرگیردار با یک بار توزیعی گسترده</sup></big> ]]
<big><sup>معادلات خیز و شیب ، در انتهای آزاد این تیر که تحت بارگذاری گسترده قرار دارد به صورت زیر می باشد: <ref name="gere">{{Cite book|title=Mechanics of Materials|edition=Eighth|isbn=978-1-111-57773-5|last=Gere|first=James M.|last2=Goodno|first2=Barry J.|pages=1083–1087}}</ref></sup></big> 

: <big><sup><math>\delta_B = \frac {q L^4} {8 E I}</math></sup></big>

: <big><sup><math>\phi_B = \frac {q L^3} {6 E I}</math></sup></big>

<big><sup>که در این روابط:</sup></big> 

: <big><sup><math>q</math> = بار یکنواخت روی تیر (نیرو در واحد طول)</sup></big> 
: <big><sup><math>L</math> = طول تیر</sup></big> 
: <big><sup><math>E</math> = مدول الاستیسیته</sup></big> 
: <big><sup><math>I</math> = ممان اینرسی سطح مقطع</sup></big>

<big><sup>همچنین خیز و شیب در هر نقطه از تیر یک سرگیردار تحت بارگزاری گسترده از روابط زیر محاسبه میشود: <ref name="gere">{{Cite book|title=Mechanics of Materials|edition=Eighth|isbn=978-1-111-57773-5|last=Gere|first=James M.|last2=Goodno|first2=Barry J.|pages=1083–1087}}</ref></sup></big> 

: <big><sup><math>\delta_x = \frac {q x^2} {24 E I}(6L^2 - 4L x + x^2)</math></sup></big>

: <big><sup><math>\phi_x = \frac {q x} {6 E I}(3L^2 - 3L x + x^2)</math></sup></big>

=== <big><sup>تیرهای با تکیه گاه ساده</sup></big> ===
<big><sup>قسمتی از این تیر ها که روی تکیه گاه ساده قرار دارند دچار خیز نمی شوند و خیز در این نقاط از تیر، صفر می باشد.</sup></big> 
[[پرونده:Simple_beam_deflection.svg|بندانگشتی| <big><sup>خیز تیر با تکیه گاه ساده</sup></big>  ]]

==== <big><sup>1_تیرهای با بارگذاری مرکزی(نیروی مرکزی)</sup></big> ====
[[پرونده:Simple_beam_with_center_load.svg|بندانگشتی| <big><sup>تیر با تکیه گاه ساده با نیرویی در مرکز</sup></big> ]]
<big><sup>خیز الاستیک (در نقطه میانی C) یک تیر ، که نیرو در مرکز آن قرار دارد و توسط دو تکیه گاه ساده پشتیبانی می شود به صورت زیر است: <ref name="gere">{{Cite book|title=Mechanics of Materials|edition=Eighth|isbn=978-1-111-57773-5|last=Gere|first=James M.|last2=Goodno|first2=Barry J.|pages=1083–1087}}</ref></sup></big> 

: <big><sup><math>\delta_C = \frac {F L^3} {48 E I}</math></sup></big>

<big><sup>که در این رابطه:</sup></big> 

: <big><sup><math>F</math> = نیرویی که در مرکز تیر قرار دارد</sup></big> 
: <big><sup><math>L</math> = طول تیر بین تکیه گاهها</sup></big> 
: <big><sup><math>E</math> = مدول الاستیسیته</sup></big> 
: <big><sup><math>I</math> = ممان اینرسی سطح مقطع</sup></big>

<big><sup>خیز در هر نقطه (x) از تیر با تکیه گاه ساده از رابطه ی زیر محاسبه میشود: <ref name="gere">{{Cite book|title=Mechanics of Materials|edition=Eighth|isbn=978-1-111-57773-5|last=Gere|first=James M.|last2=Goodno|first2=Barry J.|pages=1083–1087}}</ref></sup></big> 

: <big><sup><math>\delta_x = \frac {F x} {48 E I}(3L^2 - 4x^2)</math></sup></big>

<big><sup>برای</sup></big> 

: <big><sup><math>0 \leq x \leq \frac{L}{2}</math></sup></big>

==== <big><sup>2_تیر های با بارگذاری خارج از مرکز(نیروی خارج از مرکز)</sup></big> ====
[[پرونده:Simple_beam_with_offset_load.svg|بندانگشتی| <big><sup>تیر با تکیه گاه ساده با نیروی خارج از مرکز</sup></big> ]]
<big><sup>حداکثر خیز الاستیک در تیری که توسط دو تکیه گاه ساده پشتیبانی می شود، در یک فاصله a (فاصله ی نیروی وارد شده تا نزدیک ترین تکیه گاه) اتفاق می افتد که به صورت زیر محاسیه می شود: <ref name="gere">{{Cite book|title=Mechanics of Materials|edition=Eighth|isbn=978-1-111-57773-5|last=Gere|first=James M.|last2=Goodno|first2=Barry J.|pages=1083–1087}}</ref></sup></big> 

: <big><sup><math>\delta_{max} = \frac {F a (L^2 - a^2)^{3/2}} {9\sqrt{3} L E I}</math></sup></big>

<big><sup>که در این رابطه:</sup></big> 

: <big><sup><math>F</math> = نیرویی که روی تیر قرار دارد اما مرکزی نیست</sup></big> 
: <big><sup><math>L</math> = طول تیر بین تکیه گاهها</sup></big> 
: <big><sup><math>E</math> = مدول الاستیسیته</sup></big> 
: <big><sup><math>I</math> = ممان اینرسی سطح مقطع</sup></big> 
: <big><sup><math>a</math> =  فاصله ی بار وارد شده تا نزدیک ترین تکیه گاه(یعنی<math>a \leq L/2</math>)</sup></big>   

==== <big><sup>3_تیرهای با بارگذاری گسترده</sup></big> ====
[[پرونده:Simple_beam_with_uniform_distributed_load.svg|بندانگشتی| <big><sup>تیر با تکیه گاه ساده با یک بار توزیعی گسترده</sup></big> ]]
<big><sup>خیز الاستیک (در نقطه میانی C) بر روی تیری با تکیه گاه های ساده که تحت بار گسترده ی q قرار دارد به صورت زیر محاسبه می شود: <ref name="gere">{{Cite book|title=Mechanics of Materials|edition=Eighth|isbn=978-1-111-57773-5|last=Gere|first=James M.|last2=Goodno|first2=Barry J.|pages=1083–1087}}</ref></sup></big> 

: <big><sup><math>\delta_C = \frac{5 q L^4} {384 E I}</math></sup></big>

<big><sup>که در این رابطه:</sup></big> 

: <big><sup><math>q</math> = بار یکنواخت روی تیر (نیرو در واحد طول)</sup></big> 
: <big><sup><math>L</math> = طول تیر</sup></big> 
: <big><sup><math>E</math> = مدول الاستیسیته</sup></big> 
: <big><sup><math>I</math> = ممان اینرسی سطح مقطع</sup></big>

<big><sup>خیز در هر نقطه (x) از تیر با تکیه گاه ساده که تحت بار گسترده قرار دارد از رابطه ی زیر محاسبه میشود: <ref name="gere">{{Cite book|title=Mechanics of Materials|edition=Eighth|isbn=978-1-111-57773-5|last=Gere|first=James M.|last2=Goodno|first2=Barry J.|pages=1083–1087}}</ref></sup></big> 

: <big><sup><math>\delta_x = \frac{q x} {24 E I} (L^3 - 2L x^2 + x^3)</math></sup></big>

=== <big><sup>تغییرات طول تیر</sup></big> ===
<big><sup>تغییر طول <math>\Delta L</math> تیر به طور کلی در سازه ها ناچیز است ، اما می توان با ادغام تابع شیب <math>\theta_x</math>و  تابع خیز<math>\delta_x</math> تیر به راحتی و با استفاده از رابطه ی زیر  آن را محاسبه کرد:</sup></big>

<big><sup>که در این رابطه:</sup></big> 

: <big><sup><math>\Delta L</math> = تغییر طول (همیشه منفی)</sup></big> 
: <big><sup><math>\theta_x</math> = تابع شیب (اولین مشتق از <math>\delta_x</math> )</sup></big> 
: <big><sup><math>\Delta L = -\frac{1}{2}\int^L_0(\theta(x))^2dx</math> <ref>Roark's Formulas for Stress and Strain, 8th Edition Eq 8.1-14</ref></sup></big>

<big><sup>اگر تیر یکنواخت باشد و خیز در هر نقطه از تیر معلوم باشد ، این تغییر طول می تواند بدون دانستن سایر خصوصیات تیر محاسبه شود.</sup></big> 

== '''<big><sup>واحدها</sup></big>''' ==
<big><sup>فرمول های ارائه شده در بالا نیاز به استفاده از مجموعه ای ثابت از واحدها دارد. بیشتر محاسبات در [[دستگاه بین‌المللی یکاها|سیستم بین المللی واحدها]] (SI) یا سیستم US انجام می شود ، اگرچه سیستم های واحد دیگری نیز وجود دارد.</sup></big> 

=== <big><sup>سیستم بین المللی (SI)</sup></big> ===

: <big><sup>نیرو: نیوتن ( <math>N</math> )</sup></big>

<big><sup>طول: متر ( <math>m</math> )</sup></big> 

: <big><sup>مدول الاستیسیته: <math>\frac{N}{m^2} (Pa)</math></sup></big> 
:  
: <big><sup>ممان اینرسی: <math>m^4</math></sup></big> 

=== <big><sup>سیستم US</sup></big> ===

: <big><sup>نیرو: پوند ( <math>lb_f</math> )</sup></big> 
: <big><sup>طول: اینچ ( <math>in</math> )</sup></big> 
: <big><sup>مدول الاستیسیته: <math>\frac{lb_f}{in^2}</math></sup></big> 
: <big><sup>ممان اینرسی: <math>in^4</math></sup></big> 

=== <big><sup>سیستم های دیگر</sup></big> ===
<big><sup>گاهی ممکن است از واحدهای دیگر نیز استفاده شود. به عنوان مثال ، گاهی اوقات واحد کیلوگرم ( <math>kg_f</math> ) برای اندازه گیری بارها استفاده می شود. در چنین حالتی ، مدول الاستیسیته به این صورت است <math>\frac{kg_f}{m^2}</math> .</sup></big>       

== '''<big><sup>همچنین ببینید</sup></big>''' ==
[[خمش|<big><sup>خمش</sup></big>]]

[[گشتاور خمشی|<big><sup>گشتاور خمشی</sup></big>]]

[[خمش#%D8%AA%D8%A6%D9%88%D8%B1%DB%8C%20%D8%AE%D9%85%D8%B4%20%D8%A7%D9%88%DB%8C%D9%84%D8%B1-%D8%A8%D8%B1%D9%86%D9%88%D9%84%DB%8C|<big><sup>تئوری خمش اویلر-برنولی</sup></big>]]

[[خمش#%D8%AE%D9%85%D8%B4%20%D8%B4%D8%A8%D9%87%20%D8%A7%DB%8C%D8%B3%D8%AA%D8%A7%DB%8C%DB%8C%20%D8%AF%D8%B1%20%D8%AA%DB%8C%D8%B1%D9%87%D8%A7|<big><sup>خمش شبه ایستایی در تیرها</sup></big>]]


== '''<big><sup>منابع</sup></big>''' ==
<references group="" responsive="1"></references>

== '''<big><sup>لینک های خارجی</sup></big>''' ==

* [http://www.mathalino.com/reviewer/mechanics-and-strength-of-materials/chapter-6-beam-deflections <big><sup>Deflection of beams</sup></big>]
* [http://www.clag.org.uk/beam.html <big><sup>Beam Deflections</sup></big>]
[[رده:مکانیک مهندسی]]