نمایش مبدأ برای پوشش خطی

[[پرونده:Basis for a plane.svg|بندانگشتی|در تصویر <math>\operatorname{Span}( \{ v, u \} )</math> در فضای سه‌بعدی به صورت یک صفحه نمایش داده شده. مختصات هر نقطه در این صفحه را می‌توان به شکل ترکیب خطی از <math>v, u</math> نوشت: <math>au + bv</math> یعنی <math>a</math> قدم به اندازهٔ <math>u</math> به راست و <math>b</math> قدم به اندازهٔ <math>v</math> به جلو ما را از مبدأ به نقطهٔ مورد نظر می‌رساند. اسپن را می‌توان به این صورت تصور کرد: مجموعهٔ تمام نقاطی که با استفاده از قدم‌زدن با این بردارها بتوان به آنها دست یافت.]]
در [[ریاضیات]]، '''اسپن''' یا پوشش خطی {{به انگلیسی|linear span}} یا گسترهٔ [[مجموعه (ریاضیات)|مجموعهٔ]] <math>S</math> از [[فضای برداری|بردارهای]] یک [[فضای برداری]] با <math>\operatorname{Span}(S)</math> نشان داده می‌شود.<ref name=":0">{{Harvard citation text|Axler|2015}} pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8</ref> گسترهٔ یک مجموعه برابر مجموعهٔ تمام بردارهایی است که از [[ترکیب خطی|ترکیب‌های خطی]] عناصر <math>S</math>‌‌‌ به دست می‌آیند.<ref name=":02">{{یادکرد کتاب|عنوان=Linear Algebra and Its Applications|جلدها=sixth edition|کوشش=David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald|شناسه=978-1-292-35121-6}}</ref>  پوشش‌ها را می‌توان به [[میتروید]]ها و [[مدول]]‌ها تعمیم داد.

برای بیان <math>H = \operatorname{Span}(S)</math> معمولاً از این اصطلاحات استفاده می‌شود: <math>S</math> مولد <math>H</math> است؛ <math>H</math> گسترهٔ <math>S</math> است؛ <math>S</math> فضای <math>H</math> را پوشش می‌دهد؛ <math>S</math> فضای <math>H</math> را تولید می‌کند؛ فضای <math>H</math> توسط <math>S</math> پوشش داده می‌شود؛ فضای <math>H</math> توسط <math>S</math> تولید می‌شود؛ <math>S</math> یک مجموعه پوششی برای <math>H</math> است.

== تعریف ==
اگر در فضای برداری <math>V</math> بر روی میدان <math>F</math> مجموعهٔ مولد <math>S</math> زیرمجموعه‌‌ای از بردارهای <math>V</math> باشد، <math>\operatorname{Span}(S)</math> مجموعهٔ تمام بردارهایی که از [[ترکیب خطی]] عناصر <math>S</math>‌‌‌ به دست می‌آیند تعریف می‌شود:<ref name=":02" />

<math>\operatorname{Span}(S) =  \left \{ {\left.\sum_{v_i \in S} \lambda_i v_i \;\right|\; \lambda _i  \in F} \right \}.</math>

همچنین اسپن را می‌توان به صورت معادل «[[اشتراک (نظریه مجموعه‌ها)|اشتراک]] همه [[زیرفضای خطی|زیرفضاهای برداری]] که شامل <math>S</math> هستند»، یا به صورت «کوچکترین [[زیرفضای خطی|زیرفضای برداری]] شامل این مجموعه» تعریف کرد.<ref>{{Harvard citation text|Axler|2015}} p. 29, § 2.7</ref>

=== نتایج و قضایا ===

* از روی هر تعریف، تعاریف معادل دیگر نتیجه می‌شوند.
* اگر در فضای برداری <math>V</math> مجموعهٔ مولد <math>S</math> زیرمجموعه‌‌ای از بردارهای <math>V</math> باشد، <math>H = \operatorname{Span}(S)</math> زیرفضای برداری <math>V</math> است.<ref name=":02" />

== جستارهای وابسته ==
* [[فضای برداری]]
* [[زیرفضای خطی]]
* [[استقلال خطی]]
* [[پایه (جبر خطی)]]
* [[بعد (فضای برداری)]]

== منابع ==
{{پانویس}}{{یادکرد-ویکی|پیوند=https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_span|عنوان=Linear span|زبان=انگلیسی|بازیابی=۱۷ نوامبر ۲۰۲۱}}

=== وب ===
* {{Cite web|date=5 April 2020|title=Linear hull|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Linear_hull|url-status=live|access-date=16 Feb 2021|website=[[دائرة المعارف ریاضیات]]|ref=CITEREFEncyclopedia_of_Mathematics2020}}
=== کتاب‌های درسی ===
* {{Cite book |last=Axler |first=Sheldon Jay |url=https://linear.axler.net/LADR4e.pdf#page=43 |title=Linear Algebra Done Right |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |year=2015 |isbn=978-3-319-11079-0 |edition=3rd |author-link=Sheldon Axler}}

{{جبر خطی}}{{ریاضیات-خرد}}

[[رده:جبر خطی]]
[[رده:جبر مجرد]]