نمایش مبدأ برای پایه (جبر خطی)

[[File:3d two bases same vector.svg|130px|thumb|یک بردار مشابه را می‌توان در دو پایه متفاوت نمایش داد (پیکان‌های ارغوانی و قرمز).]]
در [[ریاضیات]]، [[زیرمجموعه|زیرمجموعه‌‌ای]] مانند <math>\mathcal{B} = \{ v_1, \cdots, v_n \}</math> از [[بردار (ریاضیات و فیزیک)|بردارهای]] یک [[فضای برداری]] <math>V</math> را '''پایهٔ <math>V</math>''' می‌نامیم<ref>{{یادکرد فرهنگستان|مصوب=پایه|بیگانه=basis, base|بیگانه در فارسی=|حوزه=ریاضی|دفتر=ششم|بخش=فارسی|سرواژه=پایه3}}</ref> {{به انگلیسی|basis}} اگر بتوان هر عنصری از <math>V</math> را به صورت [[ترکیب خطی]] یکتا از عناصر <math>\mathcal{B}</math> نوشت. به عناصر <math>\mathcal{B}</math> '''بردارهای پایه''' گفته می‌شود. ضرایب این ترکیب خطی '''مختصات''' آن بردار نسبت به پایهٔ <math>\mathcal{B}</math> نامیده می‌شوند.

یک فضای برداری می‌تواند چندین پایه داشته باشد. با این حال همه پایه‌ها تعداد عناصرشان یکسان خواهد بود که به آن [[بعد (فضای برداری)|'''بعد''' فضای برداری]] گفته می‌شود.

== تعریف ==
[[زیرمجموعه|زیرمجموعهٔ]] <math>\mathcal{B} = \{ v_1, \cdots, v_n \}</math> از بردارهای [[فضای برداری]] <math>V</math> را پایهٔ <math>V</math> می‌نامیم اگر دو خاصیت زیر را داشته باشد:<ref name=":02">{{یادکرد کتاب|عنوان=Linear Algebra and Its Applications|جلدها=sixth edition|کوشش=David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald|شناسه=978-1-292-35121-6}}</ref>

* <math>\mathcal{B}</math> [[استقلال خطی|مستقل خطی]] باشد. به عبارتی دیگر عناصر <math>\mathcal{B}</math> ترکیب خطی یکدیگر نباشند.<ref name=":0">{{یادکرد کتاب|عنوان=Linear algebra done right|کوشش=Sheldon Axler|جلدها=Third Edition|شناسه=978-3-319-11079-0}}</ref>
* <math>\mathcal{B}</math> [[پوشش خطی|مولد]] <math>V</math> باشد: <math>V = \operatorname{Span}(B)</math>. به بیان دیگر هر عنصر <math>V</math> یک ترکیب خطی از عناصر <math>\mathcal{B}</math> باشد.<ref>{{cite book|last=Halmos|first=Paul Richard|author-link=Paul Halmos|year=1987|title=Finite-Dimensional Vector Spaces|edition=4th|publisher=Springer|location=New York|url=https://books.google.com/books?id=mdWeEhA17scC&pg=PA10|page=10|isbn=978-0-387-90093-3}}</ref>

از این خواص نتیجه می‌شود که می‌توان هر عنصری از <math>V</math> را به صورت یک [[ترکیب خطی]] یکتا از عناصر <math>\mathcal{B}</math> نوشت. در نتیجه این دو تعریف با یکدیگر معادل اند.

=== نتایج و قضایا ===
==== قضیه مجموعه مولد ====
اگر <math>S</math> یک [[پوشش خطی|مجموعهٔ مولد]] برای فضای <math>V \neq \{ 0 \}</math> باشد (ولی لزوماً مستقل خطی نباشد)، زیرمجموعه‌ای از <math>S</math> وجود دارد که پایهٔ <math>V</math> باشد.<ref name=":02" /> چنین زیرمجموعه‌ای را می‌توان با چند عمل حذف به شرح زیر پیدا کرد:

اگر <math>S</math> مستقل خطی نباشد یعنی عنصری مانند <math>v_k</math> در آن وجود دارد که می‌توان آن را به صورت ترکیب خطی عناصر دیگر نوشت. در این صورت با حذف این عنصر، مجموعهٔ <math>S \backslash \{ v_k \}</math> هنوز مولد <math>V</math> خواهد بود.

با توجه به این قضیه می‌توان نتیجه گرفت که یک پایه کوچک‌ترین مولد <math>V</math> است. چون اگر یک بردار دیگر را حذف کنیم، بردار محذوف ترکیب خطی از بردارهای دیگر نخواهد بود و در نتیجه دیگر مولد <math>V</math> نخواهد بود.

==== قضیه مجموعه مستقل خطی ====
اگر <math>S</math> یک [[استقلال خطی|مجموعهٔ مستقل خطی]] در فضای <math>V \neq \{ 0 \}</math> باشد (ولی لزوماً مولد نباشد)، مجموعهٔ بزرگتر <math>S \subseteq \mathcal{B}</math> وجود دارد که پایهٔ <math>V</math> باشد.<ref name=":0" />

چنین مجموعه‌ای را می‌توان با چند عمل گسترش پیدا کرد. به خاطر عمل گسترش و حذف در قضیهٔ قبل به این دو قضیه «قضیهٔ استخراج پایه» و «قضیهٔ توسعه به پایه» نیز می‌گویند.

با توجه به این قضیه می‌توان نتیجه گرفت که یک پایه همچنین بزرگترین مجموعهٔ مستقل خطی ممکن است. چون اگر یک بردار دیگر به آن اضافه کنیم، طبق تعریف می‌توان این بردار را به صورت ترکیب خطی بردارهای قبلی نوشت.<ref name=":02" /> در نتیجهٔ این دو قضیه، این دو تعریف با تعریف اصلی معادل اند.

==== قضیه پایه ====
پایهٔ یک فضای برداری یکتا نیست ولی تمام پایه‌های آن به تعداد برابری عضو خواهند داشت. اگر پایه‌های یک فضای برداری <math>V</math> به تعداد [[فضای اقلیدسی|<math>n</math>]] عضو داشته باشند آن فضا را '''[[فضای اقلیدسی|<math>n</math>]]-بعدی''' می‌نامیم. بعد یک فضای برداری را با <math>\operatorname{dim}(V)</math> نمایش می‌دهیم. طبق تعریف قراردادی <math>\operatorname{dim}(\{0\}) = 0</math>.<ref name=":02" />

اگر <math>H</math> زیرفضای <math>V</math> باشد <math>\operatorname{dim}(H) \leqslant \operatorname{dim}(V)</math>.

قضیهٔ پایه بیان می‌کند که اگر <math>\operatorname{dim}(V) = n > 0</math>‌ باشد، هر زیرمجموعهٔ مستقل خطی و [[فضای اقلیدسی|<math>n</math>]] عضوی از اعضای <math>V</math> پایهٔ <math>V</math> است. همچنین هر زیرمجموعهٔ مولد <math>V</math> و [[فضای اقلیدسی|<math>n</math>]] عضوی از اعضای <math>V</math> پایهٔ <math>V</math> است.<ref name=":02" />

هیچ زیرمجموعه‌ای از <math>V</math> با تعداد اعضای بیشتر از [[فضای اقلیدسی|<math>n</math>]] مستقل خطی نخواهد بود و هیچ زیرمجموعه‌ای از <math>V</math> با تعداد اعضای کمتر از [[فضای اقلیدسی|<math>n</math>]] مولد <math>V</math> نخواهد بود.

== دستگاه مختصات ==
{{همچنین ببینید|دستگاه مختصات}}
طبق [[فضای برداری#تعریف|تعریف]]، یک فضای برداری با نام فرضی <math>U</math> به صورت <math>U = (V, +, \cdot)</math> تعریف می‌شود که در آن <math>V</math> مجموعهٔ تمام بردارهای فضای <math>U</math> است. توجه کنید که در بیشتر موارد خود فضا (<math>U</math>) نامگذاری نمی‌شود و به جایش برای اشاره به آن از عبارت «فضای <math>V</math>» استفاده می‌کنیم.

[[دستگاه مختصات دکارتی|دستگاه مختصاتی دکارتی]] محیطی برای نگاشت [[بردار اقلیدسی|بردارهای اقلیدسی]] به یک [[نوع تاپل|<math>n</math>-تایی مرتب]] فراهم می‌کند. هر چند هر فضای برداری [[فضای اقلیدسی|<math>n</math>]]-بعدی لزوماً [[فضای اقلیدسی|اقلیدسی]] نیست، می‌توان رفتار تقریباً مشابهی با آن داشت.

اگر <math>\mathcal{B} = \{ v_1, \cdots, v_n \}</math> پایهٔ فضای <math>V</math> باشد، هر بردار <math>u \in V</math> را می‌توان به صورت یک [[ترکیب خطی]] یکتا از عناصر <math>\mathcal{B}</math> نوشت: <math>u = c_1 v_1 + \cdots + c_n v_n</math>

ضرایب این ترکیب خطی را '''مختصاتِ''' بردار <math>u</math> (نسبت به پایهٔ <math>\mathcal{B}</math>) می‌نامیم: <math>c_1, \cdots, c_n</math>

نمایش این ضرایب در یک [[نوع تاپل|<math>n</math>-تایی مرتب]] را '''بردار مختصاتیِ <math>u</math>''' (نسبت به پایهٔ <math>\mathcal{B}</math>) می‌نامیم و آن را با <math>[u]_\mathcal{B}</math> نمایش می‌دهیم:<ref name=":02" /> <math>[u]_\mathcal{B} = (c_1, \cdots, c_n)</math>

'''تابع''' '''نمایش استانداردِ <math>V</math>''' (نسبت به پایهٔ <math>\mathcal{B}</math>) به صورت <math>\phi_\mathcal{B} (u) = [u]_\mathcal{B}</math> تعریف می‌شود. [[نگاشت خطی|تبدیل خطی]] <math>\phi_\mathcal{B}: u \mapsto [u]_\mathcal{B}</math> '''نگاشت مختصاتی''' <math>V</math> به <math>F^n</math> (نسبت به پایهٔ <math>\mathcal{B}</math>) است (<math>\phi_\mathcal{B}: V \rightarrow F^n</math>).<ref name=":02" />

به «فضای <math>F^n</math>» '''فضای مختصاتیِ''' <math>V</math> می‌گوییم. [[میدان (ریاضیات)|میدان]] <math>F</math> معمولاً [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] فرض می‌شود: <math>F = \mathbb{R}</math><ref name=":0" />

<math>\phi_\mathcal{B} (c_1 v_1 + \cdots + c_n v_n) = (c_1, \cdots, c_n) = [u]_\mathcal{B}</math>

<math>\varphi_\mathcal{B} (c_1, \cdots, c_n) = \phi_\mathcal{B}^{-1} (c_1, \cdots, c_n) = c_1 v_1 + \cdots + c_n v_n = u</math>

==== مثال ====
اگر '''<math>V = \mathcal{P}_2</math>''' مجموعهٔ تمام چندجمله‌ای‌های با درجهٔ حداکثر ۲ باشد و <math>\mathcal{B} = \{ x^2, x, 1 \}</math> باشد، <math>2x^2 + 3x + 4</math> یک بردار با ''مختصات'' <math>2, 3, 4</math> در فضای '''<math>V</math>''' است و ''بردار مختصاتی'' آن <math>[2x^2 + 3x + 4]_\mathcal{B} = (2, 3, 4)</math>، یک [[بردار اقلیدسی]] در [[فضای اقلیدسی|فضای سه‌بعدی]] خواهد بود. ''تابع نمایش استاندارد'' <math>\phi_\mathcal{B} (ax^2 + bx + c) = (a, b, c)</math> را یک ''نگاشت مختصاتی'' می‌نامیم.

== پایه استاندارد ==
[[پرونده:3D Vector.svg|بندانگشتی|هر برداری مانند <math>a</math> در فضای سه‌بعدی را می‌توان به صورت ترکیب خطی یکتا از پایه‌های استاندارد <math>\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}</math> نوشت: <math>a = a_x + a_y + a_z</math>]]
در [[فضای اقلیدسی]] دوبعدی دو '''بردار پایهٔ استاندارد''' <math>\hat{i} = (1, 0)</math> و <math>\hat{j} = (0, 1)</math> پایهٔ استاندارد فضا را تشکیل می‌دهند.

در فضای اقلیدسی سه‌بعدی سه بردار پایهٔ استاندارد <math>\hat{i} = (1, 0, 0)</math> و <math>\hat{j} = (0, 1, 0)</math> و <math>\hat{j} = (0, 0, 1)</math> پایهٔ استاندارد فضا را تشکیل می‌دهند.

در [[فضای اقلیدسی|فضای اقلیدسی <math>n</math>بعدی]] پایهٔ استاندارد فضا متشکل از [[فضای اقلیدسی|<math>n</math>]] بردار پایه <math>e_1 = (1, 0, \cdots, 0)</math> و ... و <math>e_n = (0, \cdots, 0, 1)</math> است.<ref name=":02" />

پایه‌های استاندارد [[بردار واحد|یکه]] و بر یکدیگر [[تعامد (جبر خطی)|عمود]] (یا یکامتعامد) هستند.

با داشتن یک پایهٔ دلخواه از یک فضای برداری، به کمک [[الگوریتم گرام اشمیت]] می‌توان یک پایهٔ یکامتعامد برای آن فضا پیدا کرد.

== جستارهای وابسته ==
* [[فضای برداری]]
* [[زیرفضای خطی]]
* [[استقلال خطی]]
* [[پوشش خطی|پوشش خطی (اسپن)]]
* [[بعد (فضای برداری)]]

== منابع ==
{{پانویس}}

* [https://web.archive.org/web/20080725105154/http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/text.html جبر خطّی عددی] (انگلیسی)
* [http://www-math.mit.edu/~gs/books/itam.html مقدمه‌ای بر ریاضیات کاربردی]
{{چپ‌چین}}
* Strang, Gilbert (۱۹ ژوئیه ۲۰۰۵), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, {{ISBN|978-0-03-010567-8|en}}{{پایان چپ‌چین}}
{{جبر خطی}}
{{تنسورها}}

[[رده:اصل موضوع انتخاب]]
[[رده:جبر خطی]]
[[رده:مقاله‌های دربردارنده برهان]]