نمایش مبدأ برای هندسه محدب

در [[ریاضیات]]، '''هندسهٔ محدب''' یک شاخه از [[هندسه]] است که به بررسی [[مجموعه محدب|مجموعه‌های محدب]] می‌پردازد. مجموعه‌های محدب در زمینه‌های بسیاری از جمله [[هندسه محاسباتی]]، آنالیز محدب، [[آنالیز تابعی]]، [[برنامه‌ریزی خطی]]، [[نظریه احتمالات]]، هندسهٔ اعداد و غیره کاربرد دارد.

مطابق خوشه‌بندی موضوعی ریاضیات<ref>{{یادکرد وب |نشانی=http://www.msc2010.org/mscwiki/index.php?title=52Axx |عنوان=Mathematics Subject Classification MSC2010, entry 52A "General convexity" |بازبینی=۳۰ ژانویه ۲۰۱۷ |archive-date=۲ آوریل ۲۰۱۵ |archive-url=https://web.archive.org/web/20150402092300/http://www.msc2010.org/mscwiki/index.php?title=52Axx |dead-url=yes }}</ref>
موضوعات هندسهٔ محدب دارای سه بخش اصلی زیر است:
* تحدب عمومی
* چندوجهی‌ها
* هندسهٔ گسسته
{{سخ}}
موضوعات مورد بحث در هندسهٔ محدب در [[ترکیبیات]] نیز کاربرد دارند.

== تاریخچه ==
هندسهٔ محدب یک رشته نسبتاً جوان در ریاضیات است. اولین بررسی‌ها در هندسهٔ محدب را می‌توان در نوشته‌های [[اقلیدس]] و [[ارشمیدس]] پیدا نمود ولی با فعالیت‌های هرمان بران
{{به انگلیسی|Hermann Brunn}} و [[هرمان مینکوفسکی]] در هندسهٔ دو بعدی و سه بعدی در قرن بیستم، هندسهٔ محدب به صورت یک شاخهٔ مستقل از ریاضیات در نظر گرفته شد. بسیاری از نتایج آن به سرعت به ابعاد بالاتر از سه تعمیم داده شد. در سال ۱۹۳۴ [[گاه‌شماری میلادی|میلادی]] تامی بانیسین {{به انگلیسی|Tommy Bonnesen}} و [[ورنر فنشل]] یک تحقیق جامع در رابطه با هندسهٔ محدب در [[فضای اقلیدسی]]
<math>R^{k}</math>
ارائه کردند.<ref>" (1987){{عبارت چپ به راست|Bonnesen, Tommy, et al. "Theory of convex bodies.}}</ref>
پیشرفت‌های بعدی در هندسهٔ محدب در ''کتاب راهنمای هندسهٔ محدب''<ref>{{عبارت چپ به راست|Gruber, P. M. , J. M. Wills, and G. M. Ziegler. "Handbook of convex geometry." Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung 98.4 (1996): 40-40.}}</ref>
خلاصه شده است.
با توجه به کاربرد روش‌های [[بهینه‌سازی محدب]] و هندسهٔ محدب در حل مسائل با بردارهای ابعاد بالا، هندسهٔ محدب مجانبی (یا هندسهٔ محدب مدرن) جهت تحلیل و بررسی این دسته از بردارها بنا نهاده شده است.<ref name=ToolAutoGenRef1>{{عبارت چپ به راست|Vershynin, Roman. "Estimation in high dimensions: a geometric perspective." Sampling theory, a renaissance. Springer International Publishing, 2015. 3-66.}}</ref>

== هندسه محدب مجانبی ==
'''هندسه محدب مجانبی''' {{به انگلیسی| asymptotic convex geometry}} یا '''هندسه محدب مدرن''' {{به انگلیسی| modern convex geometry}} یک شاخه از هندسه محدب است که به بررسی شکل و قوانین حاکم بر [[مجموعه‌های محدب]] در ابعاد بالا و [[بی‌نهایت (ریاضی)|بی‌نهایت]] می‌پردازد.<ref name=ToolAutoGenRef1/>
هندسه محدب سنتی هندسه اشکال محدب و روابط هندسی بین آن‌ها در [[فضای اقلیدسی]] و با ابعاد پایین را تحلیل می‌کند. با میل دادن ابعاد به سمت بی‌نهایت ویژگی‌های خطی و هندسی یک فضای [[نرم (ریاضیات)|نرم]] دار با ابعاد محدود یا اشکال محدب، یک رفتار مجانبی از خود نشان می‌دهند. در نظریهٔ هندسه محدب مجانبی، پدیده‌های غیرمنتظره، ساختارهای پنهان زیادی کشف شده و شهودهای و ابزار جدیدی بدست آمده است. این نظریه ساختار و مرتبهٔ اشکال را در ابعاد بالا مشخص می‌کند.<ref>{{عبارت چپ به راست|Giannopoulos, A. A. , and V. D. Milman. "Asymptotic Convex Geometry Short Overview." Different faces of geometry. Springer US, 2004. 87-162.}}</ref>

== اشکال محدب ابعاد بالا ==
پرسش اصلی در هندسه محدب ابعاد بالا این است که ''یک جسم محدب در ابعاد بالا به شکل است؟''. یک پاسخ اکتشافی به این سؤال این است که [[مجموعه محدب]]
<math>K</math>
در ابعاد بالا از یک ''توده'' و تعدادی ''شاخک'' تشکیل شده است. حجم اصلی مجموعه در توده بیان شده قرار می‌گیرد و شاخک‌ها حجم کمی از مجموعه را تشکیل می‌دهد ولی قطر بالایی دارند.
{{سخ}}
اگر
<math>K</math>
به صورت صحیح مقیاس دهی شود، توده اصلی معمولاً به شکل یک توپ اقلیدسی است. شاخک‌ها نیز باریک و بلند هستند که اولین بار توسط ویتالی میلمن {{به انگلیسی|Vitali Milman}} توصیف شده است. تصویر توصیف شده محدب به نظر نمی‌رسد ولی برای آن دلیل مناسب وجود دارد.<ref>{{عبارت چپ به راست| Milman, Vitali. "Surprising geometric phenomena in high-dimensional convexity theory." European Congress of Mathematics. Birkhäuser Basel, 1998.}}</ref>
[[پرونده:جسم محدب با ابعاد بالا.png|بندانگشتی|جسم محدب با ابعاد بالا]]
در ابعاد بالا اگر مجموعه در
<math>2</math>
ضرب شود، حجم با ضریب
<math>2^n</math>
افزایش می‌یابد. به همین دلیل اگرچه شاخک‌ها دارای طول بلند هستند ولی در حجم مجموعه اثر کمی دارند.

== مثال ==
با در نظر گرفتن مجموعه به صورت
<math>K = B^{n}_{1} = \lbrace \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}\  :\     |  |  \mathbf{x}  |  | _1 \leq 1 \rbrace </math>
یا به عبارت دیگر توپ واحد نرم یک و همچنین با در نظر گرفتن
<math>B</math>
، به صورت توپ اقلیدسی محاط در مجموعه
<math>K</math>
، می‌توان مشاهده نمود که حجم
<math>B</math>
و
<math>K</math>
قابل مقایسه هستند. (دو عبارت
<math>a_n</math>
و
<math>b_n</math>
را قابل مقایسه می‌نامیم، اگر به ازای تمامی
<math>n</math>ها
دو ثابت مثبت
<math>c</math>
و
<math>C</math>
را بتوان پیدا نمود، که
رابطهٔ
<math>ca_n< b_n<Ca_n</math>
برقرار باشد)
بنابراین با توجه به این‌که
<math>B</math>
دارای قطر
<math>2/\sqrt{n}</math>
است،
<math>B</math>
و
<math>K</math>
قابل مقایسه هستند.

== تمرکز حجم ==
مطابق آنچه در کتاب {{عبارت چپ چین|Concentration of mass on convex bodies}}<ref>{{عبارت چپ چین|Paouris, Grigoris. "Concentration of mass on convex bodies." Geometric & Functional Analysis GAFA 16.5 (2006): 1021-1049.}}</ref>
آمده، تمرکز جحم در حول توده و شاخک‌های باریک در اشکال محدب [[همسانگرد]] را به صورت زیر بیان شده است:

=== توزیع حجم در مجموعه‌های محدب ابعاد بالا ===
اگر مجموعه
<math>k</math>
یک مجموعه محدب همسانگرد در
<math>\mathbb{R}^n</math>
و
<math>x</math>
یک بردار تصادفی با [[توزیع یکنواخت گسسته|توزیع یکنواخت]] در
<math>K</math>
باشد، به ازای مقادیر ثابت مثبت
<math>c</math>
و
<math>C</math>
داریم:
# (تمرکز حجم) برای هر <math>t\geq 1</math> در یکی:{{سخ}}{{راست‌چین}}<math>\mathbb{P}\lbrace |  | \mathbf{x}  |  |  _2 \ >\ t\sqrt{n} \rbrace \leq \exp{\left(-ct\sqrt{n}\right)}</math>{{پایان راست‌چین}}
# (پوسته نازک) برای هر <math>\varepsilon\in (0,1)</math> در یکی:{{سخ}}{{راست‌چین}}<math>\mathbb{P}\lbrace \vert\  |  | \mathbf{x}  |  |  _2 \ -\ \sqrt{n}\ \vert \ > \ \varepsilon\sqrt{n}  \rbrace \leq C\exp{\left(-c\varepsilon^{3}\sqrt{n}\right)}</math>{{پایان راست‌چین}}

== منابع ==
{{پانویس|۲}}
* {{یادکرد ویکی|عنوان = convex geometry |پیوند = https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_geometry |زبان =انگلیسی| بازیابی = ۱۱ بهمن ۱۳۹۵}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}
{{پانویس-هندسه}}
[[رده:هندسه محدب]]
[[رده:آنالیز ریاضی]]
[[رده:آنالیز محدب]]