نمایش مبدأ برای هندسه سیمپلکتیک

[[پرونده:Limitcycle.svg|جایگزین=نمودار فازی|بندانگشتی|نمودار فازی نوسانگر ون در پل، یک سیستم تک-بعدی. فضای فازی اولین شیء مورد مطالعه در هندسه سیمپلکتیک بود.]]
'''هندسه سیمپلکتیک''' {{انگلیسی|Symplectic Geometry}} شاخه‌ای از [[هندسه دیفرانسیل]] و [[توپولوژی دیفرانسیل]] است که به مطالعه منیفلدهای سیمپلکتیک می‌پردازد؛ یعنی، منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیری که مجهز به ۲-فرمی‌های بسته ناتباهیده باشند. منشأ هندسه سیمپلکتیک در فرمولبندی همیلتونی [[مکانیک کلاسیک]] می‌باشد، در آنجا فضای فازی سیستم‌های کلاسیک خاصی، روی ساختار یک منیفلد سیمپلکتیک اختیار می‌شود.<ref>{{cite news|first=Kevin|last=Hartnett|date=February 9, 2017|title=A Fight to Fix Geometry’s Foundations|work=[[Quanta Magazine]]|url=https://www.quantamagazine.org/20170209-the-fight-to-fix-symplectic-geometry/}}</ref>

== معرفی انتگرال‌گیری ==
یک هندسه سیمپلکتیک بر روی فضای هموار زوج-بعدی یک منیفلد دیفرانسیل تعریف می‌شود که در این فضا، یک شیء هندسی، یعنی همان فرم سیمپلکتیک ای تعریف می‌شود که امکان اندازه‌گیری اندازه اشیاء دو بعدی را در این فضا فراهم می‌آورد. این فرم سیمپلکتیک در هندسه سیمپلکتیک نقشی مشابه با تنسور متریک در هندسه ریمانی بازی می‌کند. با این تفاوت که تنسور متریک طول و زوایا را اندازه‌گیری می‌کند، در حالی که فرم سیمپلکتیک به اندازه‌گیری مساحت‌های جهت دار می‌پردازد.<ref name="McDuff2010">{{citation|last=McDuff|first=Dusa|contribution=What is Symplectic Geometry?|title=European Women in Mathematics – Proceedings of the 13th General Meeting|editor-last=Hobbs|editor-first=Catherine|editor2-last=Paycha|editor2-first=Sylvie|date=2010|publisher=World Scientific|isbn=9789814277686|pages=33–51|contribution-url=http://barnard.edu/sites/default/files/ewmcambrevjn23.pdf|accessdate=5 October 2014|archive-date=6 اکتبر 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20141006122120/http://barnard.edu/sites/default/files/ewmcambrevjn23.pdf}}</ref>

هندسه سیمپلکتیک از مطالعه [[مکانیک کلاسیک]] ظهور پیدا می‌کند، مثالی از ساختار سیمپلکتیک، حرکت یک شیء در مسیر یک بعدیست. برای مشخص کردن مسیر حرکت یک شیء، نیاز است که هم موقعیت <math>q</math> آن شیء مشخص باشد هم گشتاور <math>p</math> آن، در نتیجه نقطه <math>(p,q)</math> در صفحه اقلیدسی <math>\mathbf{R}^{2}</math> شکل می‌گیرد. در این حالت، فرم سیمپلکتیک به صورت زیر خواهد بود:

: <math>\omega = dp \wedge dq</math>

که یک فرم مساحت است که از طریق انتگرال‌گیری به اندازه‌گیری مساحت ناحیه <math>S</math> در صفحه می‌پردازد:

: <math>A = \int_S \omega.</math>

این ناحیه مهم است، چون با عبور سیستم‌های دینامیکی محافظه‌کار در زمان پیش روند، این مساحت تغییر نکرده، لذا یک پایای مهم برای آن سیستم خواهد بود.<ref name="McDuff2010"/>

هندسه‌های سیمپلکتیک ابعاد بالاتر نیز به‌طور مشابه تعریف می‌شوند. یک هندسه سیمپلکتیک 2n-بعدی به صورت زوج جهت‌های زیر:

: <math>((x_1,x_2), (x_3,x_4),\ldots(x_{2n-1},x_{2n}))</math>

در یک منیفلد 2n-بعدی به همراه فرم سیمپلکتیک زیر تعریف می‌شود:

: <math>\omega = dx_1 \wedge dx_2 + dx_3 \wedge dx_4 + \cdots + dx_{2n-1} \wedge dx_{2n}.</math>

این فرم سیمپلکتیک یک ناحیه 2n-بعدی <math>V</math> در فضا تشکیل می‌دهد. این ناحیه به صورت جمع نواحی تصویرهای <math>V</math> روی هر صفحه حاصل از جفت جهت‌ها می‌باشد:<ref name="McDuff2010"/>

: <math>A = \int_V \omega = \int_V dx_1 \wedge dx_2 + \int_V dx_3 \wedge dx_4 + \cdots + \int_V dx_{2n-1} \wedge dx_{2n}.</math>

== یادداشت‌ها ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* {{cite book|first=Ralph|last=Abraham|authorlink=Ralph Abraham (mathematician)|first2=Jerrold E.|last2=Marsden|authorlink2=Jerrold E. Marsden|title=Foundations of Mechanics|year=1978|publisher=Benjamin-Cummings|location=London|isbn=978-0-8053-0102-1}}
* {{cite book|first=Dusa|last=McDuff|authorlink=Dusa McDuff|first2=D.|last2=Salamon|authorlink2=Dietmar Arno Salamon|title=Introduction to Symplectic Topology|location=|publisher=Oxford University Press|year=1998|isbn=978-0-19-850451-1}}
* {{cite book|first=A. T.|last=Fomenko|title=Symplectic Geometry|edition=2nd|year=1995|publisher=Gordon and Breach|isbn=978-2-88124-901-3}} ''(An undergraduate level introduction.)''
* {{cite book|first=Maurice A.|last=de Gosson|authorlink=Maurice A. de Gosson|title=Symplectic Geometry and Quantum Mechanics|year=2006|publisher=Birkhäuser Verlag|location=Basel|isbn=978-3-7643-7574-4}}
* {{cite journal|last=Weinstein|first=Alan|authorlink=Alan Weinstein|year=1981|title=Symplectic Geometry|url=http://www.ams.org/bull/1981-05-01/S0273-0979-1981-14911-9/S0273-0979-1981-14911-9.pdf|journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]]|volume=5|issue=1|pages=1–13|doi=10.1090/s0273-0979-1981-14911-9}}
* {{Cite book|last1=Weyl|first1=Hermann|author1-link=Hermann Weyl|title=The Classical Groups. Their Invariants and Representations|year=1939|ref=harv}} Reprinted by [[Princeton University Press]] (1997). {{ISBN|0-691-05756-7}}. {{MR|0000255}}.
{{پایان چپ‌چین}}
* {{یادکرد-ویکی
|پیوند = https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Symplectic_geometry&oldid=897343969
|عنوان = Symplectic Geometry
|زبان = انگلیسی
|بازیابی = 16 می 2019}}

{{پانویس-هندسه}}

[[رده:هندسه سیمپلکتیک| ]]